淺談向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)研究

蔣婭

【摘 要】向量優(yōu)化問題是向量優(yōu)化理論與方法研究領(lǐng)域中十分重要的研究方向。該問題除了在數(shù)學領(lǐng)域的有效應(yīng)用之外，在經(jīng)濟分析、生態(tài)規(guī)劃建設(shè)等諸多領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用，相比于向量在數(shù)學領(lǐng)域只是單一的數(shù)值上的解答，在其他領(lǐng)域的應(yīng)用中，向量優(yōu)化問題更趨向于一種均衡的關(guān)系，使得事物在均衡關(guān)系中得到有效的發(fā)展，從而實現(xiàn)經(jīng)濟效益和社會效益的最大化。本文以向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)研究為課題，對其研究意義進行了詳細的闡述。

【關(guān)鍵詞】向量；優(yōu)化問題；解的性質(zhì)

向量優(yōu)化理論的應(yīng)用研究是向量發(fā)展的一個重要方向，近年來向量優(yōu)化問題已經(jīng)成為國際優(yōu)化領(lǐng)域的重點研究對象之一。這一問題的研究因為涉及到多門學科，所以在研究上有一定的復雜性和繁復性，此外它在經(jīng)營管理、交通運輸和生態(tài)保護等諸多領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用前景，由此可見向量優(yōu)化問題的重要性[2]。

1 向量優(yōu)化問題解的研究現(xiàn)狀及發(fā)展

1.1 向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)研究現(xiàn)狀

眾所周知，向量優(yōu)化理論在經(jīng)濟管理、生態(tài)保護、交通運輸以及集成電路的設(shè)計等諸多領(lǐng)域都有著深入的研究和發(fā)展，如今，向量優(yōu)化問題也成為國際研究領(lǐng)域的一個重點發(fā)展方向。近年來，研究人員通過對向量優(yōu)化中解的性質(zhì)的研究得出，向量優(yōu)化不僅對數(shù)學領(lǐng)域有著極大的幫助，而且對現(xiàn)實中的各行各業(yè)也有著非常深遠的影響意義。向量優(yōu)化問題的研究當中需要借助于大量的數(shù)學工具，通過對向量優(yōu)化問題的深入研究，不僅能夠促進向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)研究與發(fā)展，還能推動與數(shù)學相關(guān)的理論的發(fā)展，與此同時，這也極大的擴展了向量優(yōu)化問題的應(yīng)用和實踐范圍，使其能夠在更廣泛的空間中得到有序的發(fā)展[3]。

正因為向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)的相關(guān)研究具有豐富的理論和實踐性的研究意義，所以向量的優(yōu)化問題在20世紀60年代就得到了人們的廣泛關(guān)注，并且大量學者在其研究上也投入了大量的時間和精力。正是因為無數(shù)研究人員在向量優(yōu)化上的努力，使得向量優(yōu)化問題取得了一系列的研究成果。這些研究成果主要體現(xiàn)在向量優(yōu)化問題中各類解的概念，包括近似解概念的研究、弱有效解概念的研究以及各種類型的真有效解的研究[4]。

1.2 向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)的發(fā)展

向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)的研究包含了很多豐富的內(nèi)容，關(guān)于向量的優(yōu)化已經(jīng)取得了很多的研究成果。結(jié)合以上對有效解、近似解性質(zhì)的研究可以看出向量優(yōu)化問題的發(fā)展方向應(yīng)該是以其它領(lǐng)域的應(yīng)用實踐為主，例如向量在計算機領(lǐng)域的應(yīng)用是進行一些圖片的處理，因為向量的發(fā)展已經(jīng)日趨成熟，所以在圖片處理中會有一種專門的向量格式，這種情況下的圖片處理相比于以前會更加的便捷和快速。除了在計算機圖片上的應(yīng)用之外，向量還在物理學上有著非常廣泛的應(yīng)用，物理學的力學、運動學和向量都有著密不可分的關(guān)系，此外，在物理中位移、速度和電場的強度都是向量，將這些物理問題用向量的有關(guān)知識進行解答，將會更加的簡潔化和清晰化[1]。

2 向量優(yōu)化問題的解及近似解的研究

2.1 向量優(yōu)化的解

在向量優(yōu)化問題的研究中，如何定義解的概念是研究過程中最基本的問題，向量的優(yōu)化一開始是在數(shù)學領(lǐng)域應(yīng)用，因此數(shù)學領(lǐng)域?qū)ο蛄康慕獾亩x多數(shù)都是數(shù)值上的有效計算，如向量的有效解和最優(yōu)解以及無效解都只是數(shù)值的簡單計算，而在其他領(lǐng)域應(yīng)用向量優(yōu)化問題的研究則需要考慮向量優(yōu)化問題目標空間的“偏好”，這將是定義向量優(yōu)化問題解的概念的基礎(chǔ)。向量中的有效解的概念是在1986年由經(jīng)濟學家Pareto提出的，后來被人們稱之為Pareto有效解，這也是對Pareto在向量優(yōu)化問題上所作出的巨大貢獻的一種認可。

Pareto有效解很好的闡述了向量優(yōu)化問題中解的最優(yōu)性，其在向量的研究領(lǐng)域和實際的應(yīng)用領(lǐng)域中都具有非常重要的意義，但這并不意味著Pareto有效解的概念已經(jīng)趨于完美，因此還需要對Pareto有效解概念中的缺陷進行后期的彌補和完善。例如Pareto有效解的解集一般都比較大，不具有標量化的性質(zhì)，不利于向量優(yōu)化問題的計算解答。

2.2 向量優(yōu)化問題中近似解的研究

在現(xiàn)實生活中，利用一般的數(shù)值算法通常只能得到向量優(yōu)化問題的近似解的值，與此同時，向量的優(yōu)化問題若不是在非緊的條件下弱有效解和真有效解可能是不存在的，由此可見，近似值的研究對于向量優(yōu)化問題起著非常重要的作用。近似解的研究概念正式提出是在1979年，Kutateladze在文獻中首次提出了數(shù)值優(yōu)化問題的ε-近似解。通過Kutateladze對近似解的研究，進一步的建立了近似解的最優(yōu)性條件。這也便于向量優(yōu)化的研究人員對各種有效解進行更系統(tǒng)和更深入研究。

3 向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)研究

3.1 向量優(yōu)化問題中近似解的性質(zhì)研究

向量優(yōu)化問題中近似解的性質(zhì)是向量優(yōu)化問題研究領(lǐng)域的一個重要的研究環(huán)節(jié)。由于利用數(shù)值算法得到的一般都是近似解。自從1979年Kutateladze正式提出近似解的概念后，國際上很多學者對近似解都產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，并且對近似解的性質(zhì)和存在性進行了大量的實驗探究，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

首先向量的優(yōu)化問題中衡量向量值的“大小”存在不完全偏序，這樣就導致向量中存在的問題呈現(xiàn)了誤解的狀態(tài)。因此，向量優(yōu)化問題解的存在都是在假設(shè)的情況之下，特別是可行集在某種意義上的凸性。其次，在求解非線性優(yōu)化問題上，都是采用迭代算法進行計算，而利用這種方式也能進一步的得到優(yōu)化問題的“近似”最優(yōu)解。并且在實際的應(yīng)用問題中，優(yōu)化問題的近似解還能提升非線性問題的理論發(fā)展，在實際的生活工作中近似解還能為決策者提供恰當?shù)姆桨浮?/p>

3.2 向量優(yōu)化問題中有效解的性質(zhì)研究

向量優(yōu)化問題中關(guān)于有效解的性質(zhì)研究主要體現(xiàn)在以下三個方面：

（1）在非緊性條件下弱有效解一般不存在，而近似于弱有效解的解在比較弱的條件下可能是存在的。

（2）有效解分為真有效解和弱有效解，然而在大多數(shù)的情況下都是對真有效解進行研究。

（3）有效解的存在在向量優(yōu)化問題中的應(yīng)用大多數(shù)是在有效解集得到限制刻畫后施行的。

以前的研究成果對于有效解的研究都是基于一些定義之上，再根據(jù)其定義的有效推算，探究有效解之間的關(guān)系和內(nèi)在性質(zhì)的研究。雖然中國對有效解的研究起步比較晚，但是在具體的應(yīng)用中有效解集的概念早在20世紀80年代就已經(jīng)出現(xiàn)，經(jīng)過這三十多年的研究，對于有效解性質(zhì)的研究已經(jīng)取得了大量的成果。

綜上所述，通過對向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)的研究可以發(fā)現(xiàn)向量優(yōu)化問題不僅在數(shù)學領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，在經(jīng)營管理、交通運輸和生態(tài)保護等諸多領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用前景。因此，大量研究人員已經(jīng)將向量優(yōu)化問題作為一個重要的研究對象，對其解的性質(zhì)的存在性和應(yīng)用性進行深入的研究和運用。對向量優(yōu)化問題的最優(yōu)解和近似解性質(zhì)、概念和存在性的研究是向量優(yōu)化問題的主要研究成果，也正是通過這些成果使得向量優(yōu)化問題中解的性質(zhì)研究邁入了一個新的臺階，并且為向量優(yōu)化問題在各個領(lǐng)域的應(yīng)用打下了堅實的基礎(chǔ)，這樣也間接的促進了國家經(jīng)濟效益、環(huán)境效益、社會效益的共同提升。

【參考文獻】

[1]文乾英，焦建軍.Minty向量似變分不等式與非光滑向量優(yōu)化問題[J].湘潭大學自然科學學報，2014，（1）：21-25.

[2]趙亮，劉學文.非光滑向量似變分不等式與向量優(yōu)化問題[J].湖南師范大學自然科學學報，2014，（1）：69-75.

[3]傅俊義.具有控制結(jié)構(gòu)與不變凸映射的向量優(yōu)化問題[J].南昌大學學報（理科版），2014，（1）：4-7.

[4]鄧杰，寇喜鵬.含參向量優(yōu)化問題有效解映射的平靜性[J].四川大學學報（自然科學版），2014，（5）：868-872.

[責任編輯：王楠]