“無關”與“不含”型問題例析

□李其明

“無關”與“不含”型問題例析

□李其明

在整式加減這一章中，我們經常會遇到“無關”與“不含”這兩類問題，下面分別介紹這兩類題型的解法，供同學們參考.

一、“無關”型

所謂“無關”型問題，就是在整式加減的運算中，代數式的值與其中的所含字母或部分字母無關的問題.處理這類“無關”型的問題時，只要能靈活運用整式加減的運算法則，就能使問題正確獲解.

例1有一道題“先化簡，再求值：17x2－（8x2＋5x）－（4x2＋x－3）＋（－5x2＋6x－1）－3，其中x＝2009.”小芬做題時把“x＝2009”錯抄成了“x＝2090”.但她計算的結果卻是正確的，請你說明這是什么原因？

分析：本題可先將多項式去括號，合并同類項后，再看化簡結果進行說理.如果化簡后的多項式中不含x，說明合并同類項后結果與x無關.

解：17x2－（8x2＋5x）－（4x2＋x－3）＋（－5x2＋6x－1）－3

＝17x2－8x2－5x－4x2－x＋3－5x2＋6x－1－3

＝（17－8－4－5）x2＋（－5－1＋6）x＋（3－1－3）

＝－1.

由此可知，此多項式的值與字母x的取值無關.所以小芬將x＝2009錯抄成x＝2090時，計算的結果不變.

點評：抄錯未知數的取值但計算結果正確，通常情況下都說明其代數式的化簡結果不含這個未知數.

例2李華老師給學生出了一道題：當a＝0.35，b＝－0.28時，求7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3ba2－10a3＋3的值.題目出完后小明說：“老師給的條件a＝0.35，b＝－0.28是多余的.”王光說：“不給這兩個條件，就不能求出結果，所以不是多余的.”你認為他們誰說的有道理？為什么？

分析：要判斷誰說的有道理，可以先合并同類項，如果最后的結果是個常數，則小明說的有道理，否則，王光說的有道理.

解：7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3ba2－10a3＋3

＝（7＋3－10）a3＋（－6＋6）a3b＋（3－3）a2b＋3

＝3.

通過合并同類項可知，最后的結果為常數3，與a，b無關，所以小明說的有道理.

點評：處理代數式的值與字母取值無關的問題，一般是先將代數式化簡，求出其結果，如果結果中不含有某個字母，那么就能說明這個代數式的值與這個字母無關.

二、“不含”型

例3 已知代數式（2mx2－x2＋3x＋1）－（5x2－4y2＋3x），是否存在m，使代數式不含x？若不存在，說明理由；若存在，求出m的值.

分析：本題實質是化簡題，去括號、合并同類項是關鍵，只要含x的項的系數為零即可.

解：（2mx2－x2＋3x＋1）－（5x2－4y2＋3x）

＝2mx2－x2＋3x＋1－5x2＋4y2－3x

＝（2m－6）x2＋4y2＋1.

假設不含x，則2m－6＝0，所以m＝3，即存在m＝3使代數式不含x.

點評：解決這種“不含”問題，只要不含某未知數的項的系數為0即可.

鞏固練習：

1.有這樣一道題：計算（3x2－2x＋1）－2（x2－x）－x2的值，其中x＝－2.小明同學把“x＝－2”錯抄成“x＝2”，但他的計算結果是正確的，請回答這是怎么回事？試說明理由.

2.試說明無論x取怎樣的值，多項式（8－7x－6x2＋x3）＋（x3＋5x2＋4x－1）－（－x2－3x＋2x3－3）的值與x無關.

參考答案：

1.原式＝3x2－2x＋1－2x2＋2x－x2＝1.故無論x為何值，原式的值恒等于1，所以小明把“x＝－2”錯抄成“x＝2”也不影響計算的結果.

2.因為（8－7x－6x2＋x3）＋（x3＋5x2＋4x－1）－（－x2－3x＋2x3－3）＝8－7x－6x2＋x3＋x3＋5x2＋4x－1＋x2＋3x－2x3＋3＝10.所以無論x取何值，原式的值都等于10，所以多項式的值與x無關.