活用數學思想進行整式加減

□侯國興

活用數學思想進行整式加減

□侯國興

學習整式的加減，不但要熟練掌握運算法則，更要了解其中蘊涵的數學思想方法.下面對本章涉及的主要數學思想方法進行歸納、總結.

一、整體思想

所謂整體思想，就是在解決數學問題時，不是“一葉障目”，而是從大處著眼，由整體入手，通過觀察和分析找出整體與局部的聯系，從而在宏觀上尋求解決問題途徑的一種思維方法.

例1代數式3x2－4x－5的值為7，則的值為______.

分析：由條件可整體求得x2－x的值，問題則容易獲解.

解：因為3x2－4x－5＝7，所以3x2－4x＝12，即x＝4，因此x－5＝4－5＝－1.

點評：此例若考慮由條件求出x的值，再代入x2x－5中計算是不明智的選擇，且以七年級所學知識無法由3x2－4x－5＝7求出x的值.

二、方程思想

所謂方程思想就是從分析問題的數量關系入手，適當設定未知數把已知量與未知量之間的數量關系轉化為方程（組）模型，從而使問題得到解決的思維方法.

例2如果3x2n-1ym與－5xmy3是同類項，則m和n的取值是（）.

A.3和－2B.－3和2

C.3和2D.－3和－2

分析：需根據同類項的定義構造關于m、n的方程，解方程求出m n的值.

解：由同類項的定義，得m＝且2n－1＝m，解得n＝2.因此m＝3，n＝2，選C.

點評：準確理解同類項的定義是解題的關鍵.在本章中，涉及求某多項式中待定系數的值或根據同類項的定義求某單項式中指數的取值，都需用到方程思想.

三、分類討論思想

當被研究的問題包含多種情形，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情形來分別討論，得出各種情形下相應的結論，這種處理問題的思維方法稱之為分類思想.

例3 若多項式3xn+1－xn＋2xm-1是六次二項式，試求出2n2－3m＋1的值.

分析：欲求代數式2n2－3m＋1的值，要先根據條件求出m、n的值.而從表面上看所給的多項式3xn+1－xn＋2xm-1有三項，而已知它是六次二項式，這表明某兩項是同類項，顯然3xn+1與－xn不可能是同類項.至此，解題思路已明了.

解：由多項式3xn+1－xn＋2xm-1是六次二項式，有兩種情況：

（1）若3xn+1與2xm-1都是六次，則n＋1＝6，m－1＝6，解得n＝5，m＝7.此時2n2－3m＋1＝2×52－3× 7＋1＝30；

（2）若3xn+1的次數是6，－xn與2xm-1的次數相同，則n＋1＝6，且n＝m－1，解得n＝5，m＝6.此時2n2－3m＋1＝2×52－3×6＋1＝33.

點評：抓住多項式有關概念的實質是解題的關鍵.不難看出，此題在用分類思想解答的同時，還用到了方程思想.

四、轉化思想

在解題過程中，把生疏的問題轉化為熟悉的問題，把復雜的問題轉化為簡單的問題，把一般問題轉化為特殊問題，這種處理問題的思維方法稱之為轉化思想.

例4當a的取值使得代數式3－（a＋2）2的值最大時，代數式a3－2a2＋3的值為_______.

分析：本題解題的關鍵是理解“a的取值使得代數式3－（a＋2）2的值最大”的含義，即求使（a＋2）2最小的a的值.

解：要使代數式3－（a＋2）2的值最大，必須使（a＋2）2的值最小.因為（a＋2）2≥0，僅當a＝－2時，（a＋2）2的最小值為0.所以，當a＝－2時，3－（a＋2）2取得最大值3.從而a3－2a2＋3＝（－2）3－2×（－2）2＋3＝－13.

點評：此題的解答，很好地體現了由已知向未知的轉化.求一個代數式的最大（小）值本已超出同學們所學知識范疇，但這里利用減數、被減數的關系以及非負數的性質討論求解，相信同學們一定能夠理解掌握.

在今后的學習中，同學們要注意數學思想方法的學習，只有真正領會并掌握數學解題的思想方法，才能成為解題的能手.