平均數和方差的變化規律

□鄒興平

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平均數和方差的變化規律

□鄒興平

一般地，設n個數據x1，x2，…，xn的平均數為，則方差方差反映了一組數據的波動性的大小，方差越大，波動性越大.

當一組數據的每一個數據都發生規律性的變化時，如同時擴大（或縮小）到原來的a倍，或同時增加（減少）b，它們的方差或平均數會有什么樣的變化呢？

引例已知一組數據x1，x2，…，xn的平均數為方差為s2，把每個數據先乘以a，再減去b，得到一組新的數據ax1-b，ax2-b，…，axn-b，這兩組數據的平均數相同嗎？方差呢？

分析：觀察兩組數據可知，第二組數據是第一組數據規律性變化后的結果，求第二組數據的方差或平均數時，應借助于第一組數據的方差或平均數.

在新數據中，令y1=ax1-b，y2= ax2-b，…，yn=axn-b，

綜上所述，我們可以得到這樣一個規律：若數據x1，x2，…，xn的平均數為方差為s2，則新數據ax1+ b，ax2+ b，…，axn+ b的平均數為方差為a2s2.

例1（2015·遵義）如果一組數據x1，x2，…，xn的方差是4，則另一組數據x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是（）.

A. 4 B. 7 C. 8 D. 19

解析：根據題意得：數據x1，x2，…，xn的平均數設為a，則數據x1+3，x2+3，…，xn+3的平均數為a+3，根據方差公式a）2+（x2-a）2+…+（xn-a）2］=4，則 +（xn-a）2］=4.故選A.

例2已知一組數據x1，x2，…，xn的平均數為5，方差為4，把每個數據先乘以3，再減去2，得到一組新的數據3x1-2，3x2-2，…，3xn-2，這兩組數據的平均數相同嗎？方差呢？

在新數據中，令y1=3x1-2，y2= 3x2-2，…，yn=3xn-2，

所以題中兩組數據的平均數、方差均不同，新數據的平均數為3× 5-2=13，方差為32×4=36.