有趣的概率

鄭德馨

生活中各種各樣的現(xiàn)象可以分為兩類，確定性現(xiàn)象和非確定性現(xiàn)象，后者又稱為隨機(jī)現(xiàn)象.由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果出現(xiàn)的隨機(jī)性，以及人們對這些隨機(jī)現(xiàn)象缺乏認(rèn)真的思考，從而導(dǎo)致了很多有趣的事情發(fā)生.

杰克對隨機(jī)事件發(fā)生的概率比較熟悉，經(jīng)常利用這點(diǎn)特長騙人.有一次，他對喜歡賭博的湯姆說，我們擲硬幣，我要正面.如果出現(xiàn)正面，你給我一個(gè)硬幣，如果出現(xiàn)反面，我給你二個(gè)硬幣.因?yàn)槲逸數(shù)臅r(shí)候給你二個(gè)硬幣，所以如果第一次是反面應(yīng)該再擲一次.湯姆感覺很公平，就同意了.結(jié)果可想而知，湯姆很快輸光了身上所有的錢.我們分析一下這其中的原因.整個(gè)過程有三個(gè)結(jié)果：結(jié)果一，第一次擲出了正面，本次游戲結(jié)束，湯姆給杰克一個(gè)硬幣；結(jié)果二，第一次擲出了反面，接著在第二次擲出了正面，本次游戲結(jié)束，湯姆給杰克一個(gè)硬幣；結(jié)果三，第一次擲出了反面，接著在第二次又?jǐn)S出了反面，本次游戲結(jié)束，杰克給湯姆二個(gè)硬幣.湯姆不了解概率，認(rèn)為這三個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)是等可能性的，所以認(rèn)為是公平的.但是，我們知道，在硬幣是均勻的這一假設(shè)下，每次投擲出現(xiàn)正面和反面的可能性是相同的，都是0.5，從而杰克每一局獲勝的可能性是0.5+0.52=0.75，而湯姆每一局獲勝的可能性是0.25，所以，公平的方法應(yīng)該是，出現(xiàn)第三個(gè)結(jié)果時(shí)，杰克給湯姆三個(gè)硬幣.由此可以看出，杰克騙了湯姆.

另一個(gè)故事是狐貍和狼共同去農(nóng)戶家里偷了一只公雞，兩個(gè)家伙為了如何分這只公雞爭吵不休.后來狐貍提出一個(gè)辦法，投擲一只骰子，如果出現(xiàn)一點(diǎn)，就把公雞給狼，否則就給狐貍.狼當(dāng)然不同意，他知道這樣他得到公雞的可能性只有1[]6.狐貍說，你可以擲3次，只要出現(xiàn)一次一點(diǎn)，公雞就歸你.于是，狼就同意了，因?yàn)樗J(rèn)為3個(gè)1[]6的和是1[]2，這樣是公平的.這件事當(dāng)然還是狐貍騙了狼.因?yàn)槔堑挠?jì)算方法是錯(cuò)的.正確的方法應(yīng)該是這樣的：假設(shè)骰子是均勻的，擲三次骰子是獨(dú)立的，則狐貍得到公雞的概率是連續(xù)三次都沒有出現(xiàn)一點(diǎn)，也就是（5[]6）3=125216，這個(gè)數(shù)是大于1[]2的.狐貍利用隨機(jī)事件表面上的公平性騙了狼，雖然他獲得公雞的概率不是1，但是這個(gè)方法使得事情向有利于自己的方向發(fā)展了.

玩紙牌的游戲非常流行，每時(shí)每刻全世界都有數(shù)以百萬計(jì)的人在玩.很多游戲是由四個(gè)人圍坐在桌旁玩的，洗好牌，每人拿到13張牌.最有趣的是，一年里有一次或兩次報(bào)紙上總會(huì)刊登這樣的消息：有一個(gè)人拿到了13張黑桃.四個(gè)人中有一個(gè)人拿到13張黑桃的機(jī)會(huì)到底有多大？都值得報(bào)紙作為新聞刊登了.這其實(shí)屬于典型的古典概率問題.假設(shè)每人得到每張牌的概率是相同的，那么四個(gè)人拿到牌的所有可能的結(jié)果共有C1352C1339C1326種，其中滿足某一個(gè)人恰好有13張黑桃的結(jié)果共有C1339C1326種，因此有一個(gè)人拿到13張黑桃的概率是1C1352=1635013559600.這當(dāng)然是一個(gè)很小的數(shù)，但是，為什么每年都會(huì)有一次或兩次報(bào)紙上總會(huì)刊登這樣的消息呢？這就是“小概率事件”在試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行下去總會(huì)發(fā)生的原理.假設(shè)事件A發(fā)生的概率p很小，雖然概率事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，但是試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次仍然沒有發(fā)生的概率（1-p）n的極限卻是0，因此，如果試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行下去，事件A發(fā)生的概率的極限是1.由于每時(shí)每刻全世界都有數(shù)以百萬計(jì)的人在玩紙牌，這就相當(dāng)于試驗(yàn)一直在重復(fù)進(jìn)行，即使“有一個(gè)人拿到13張黑桃”的概率非常小，時(shí)間長了也總是會(huì)發(fā)生的.

買彩票的原理和上面紙牌游戲的原理是相同的.雖然對某一個(gè)人來說，中大獎(jiǎng)的概率很小，但是買的人多了，“中大獎(jiǎng)”這樣的小概率事件總是會(huì)發(fā)生的.因此，每年都會(huì)有幾個(gè)“幸運(yùn)兒”買彩票中大獎(jiǎng).但是，對于我們個(gè)人來講，由于我們的財(cái)力有限，不可能買太多的彩票，因此，不能認(rèn)為是“試驗(yàn)在無限重復(fù)”，不應(yīng)該把買彩票作為“致富”的途徑.

生活中有很多有趣的隨機(jī)現(xiàn)象可以用概率的知識(shí)來解釋.但是如果不能深刻理解概率的知識(shí)，就會(huì)像湯姆和狼那樣被騙.