對等差數列前n項和公式教學的思考

【摘 要】 按照《普通高中數學課程標準（實驗）》要求，等差數列數列求和公式是學生需要掌握的內容.那么，課堂上如何組織引導教學才能既符合學生的認知，又能使教學推進自然流暢，應是每一位教師思考的問題.本文以高斯故事作為推導等差數列求和公式的切入點，探究了“首尾配對”與“倒序相加”的本質，分析了兩種推導公式策略的難點及兩個求和公式之間的聯系，進而運用類比的方法和函數觀點深化了公式的理解。為教師更好地駕馭課堂，文章通過兩個求和實例（1+2+3+…+100與1+2+3+…+99），預設了推導前n個正整數和公式的6種途徑，提供了4條突破倒序相加法推導等差數列求和公式難點的思路，給出了兩個公式互化的4種方法，最后利用幾個經典題目揭示了兩個公式的內含及靈活應用.

【關鍵詞】 等差數列；前n項和公式；倒序相加；駕馭課堂

最近筆者有幸擔任我市招聘教師評委，聆聽了十七位應聘者關于《等差數列前n項和》的講課比賽，聽后感慨頗多，特別是在許多教學環節的呈現上，怎樣才能自然和諧地推進而不生搬硬套，怎樣才能突出數學的邏輯美，并且利于學生數學思維能力的培養，利于學生數學學習興趣的激發等.因此本文欲從等差數列求和的教學中如何更好地駕馭課堂，如何根據課堂教學的實際情景靈活應對，談一點個人的思考與體會.

1 以高斯故事引入

大多教師在教學等差數列求和公式時都用高斯求和的故事引入.高斯故事在全世界廣為流傳，版本較多，最值得信賴的說法有兩種：一是高斯10歲時算出他的老師布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案.二是據對高斯素有研究的著名數學史家E·T·貝爾（E.T.Bell）考證，布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899.當然，這也是一個等差數列的求和問題（公差為198，項數為100）.E·T·貝爾寫道，高斯晚年經常喜歡向人們談論這件事，說當時只有他在老師剛寫完題時就在小石板上寫出了正確答案，而其他的孩子們都錯了.可是高斯沒有明確地講過，他是用什么方法那么快就解決了這個問題.數學史家們推測，高斯當時用的方法可能是：首尾配對法或倒序相加法.雖然兩種方法本質都是配對湊成相同的數，變多步求和為一步相乘，但在方法的應用上是有區別的.作為時間寶貴的課堂教學當然宜采用第一種說法.

2 公式推導方法探究

4 教學難點的確定

本課難點常見的說法有三種：第一種，獲得等差數列前n項和公式推導的思路；第二種，等差數列前n項和公式的推導及從函數角度理解該公式；第三種，①對公式推導過程中歸納出一般規律的理解與領會，②靈活應用公式解決一些簡單的有關問題.不同學生的認知水平不同，不同教師的教學風格不同，理解角度不同，對難點的確定和教學安排多少都會有些許差別，屬于正常現象.其實結合課標要求和課程內容特點，概括地講難點就是：獲得公式的推導方法及公式的理解應用.對于理解應用公式，值得參考的題目，如：

題1 求正整數中前500個偶數的和.

評注 可以用兩個公式求和，也可以用公式推導過程中使用的方法，倒序相加或首尾配對等多種方法求解.此題難度不大，但接地氣，能有效的回顧復習當堂所學的知識.

題2 計算：1-2+3-4+…+（2n-1）-2n.

評注：本題可使學生進一步理解求和的意義，及對等差數列求和公式中基本量的理解和刻畫.其次，公式推導中的配對，實質是一種并項法，宏觀上也可以看作是分組求和，那么本題你是采用并項法，還是分組運用公式求和，是又一仁者見仁，智者見智的好題.題3 等差數列{an}的首項為a1，公差為d，項數為n，第n項為an，前n項和為Sn，請填寫下表：

5 結束語

等差數列求和的兩個公式，體現了數學知識的多樣性和簡潔性.公式Sn=n（a1+an）2的結構呈現對稱美及與項的關系，同時也方便了記憶，如類比梯形的面積公式增強記憶.公式Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n，當d≠0時，Sn可看作是n的二次函數式，方便了從函數的角度進一步認識和理解等差數列的前n項和，特別是為求Sn的最值提供了新思路.普通高中《數學課程標準》指出：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質”，等差數列求和公式的教學便是體現這一思想的良好素材，教學中應注重公式推導的來龍去脈，切莫囫圇吞棗，直接給出公式，然后布置大量習題，把學生趕進題海，將學生變成做題的機器，從而白白浪費了一次培養思維和提升數學文化價值的良機.另外，隨著“以學生為主體，教師為主導”的教學理念逐步深入，學生自主探索、合作交流、觀察發現的能力在不斷加強，課堂教學情境千變萬化，隨機生成的問題將會越來越多，教師“以本論教，經驗定教”是遠遠不能迎接新挑戰的，正如時下流行的說法那樣：過去的教師，要給學生一碗水，教師應有一桶水，現在的教師，要給學生一滴水，自己必須是長流水.因此，教師只有不斷學習，不斷鉆研，教學相長，才能更好的活躍在課堂舞臺上.作者簡介

劉正章，男，1968年8月生，漢中市數學學會常務理事，省數學學會會員，國家級骨干教師，先后獲“省國防工辦系統青年崗位能手”、“漢中名師”、“省教科研先進個人”，十多次各級“優秀教師”，主編數學輔導書籍13部，發表論文近70篇.