數學概念教學三原則

【摘 要】 學生對數學概念的習得與建構，總是基于豐富而深刻的數學體驗基礎上的.數學概念教學要注重三原則：感知要忌淺倡深，深入體驗；抽象要忌快倡慢，漸進概括；鞏固要忌聽倡做，實踐反思.從而實現在深度體驗中建構數學概念.

【關鍵詞】 數學概念；教學原則；案例分析

高中數學概念教學有些現象很令人擔憂：教師重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學最小化和習題講解最大化；學生認為概念學習單調乏味而不重視它，對基本概念死記硬背、不求甚解，只是機械記憶.后果表現為學生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會模仿教師解決某些典型例題的題型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情況、新的題目就束手無策，進而導致教師和學生為了提高成績，陷入無休止的題海之中.造成這種現象的主要原因，在于學生僅僅知道數學概念本身，并未理解概念的形成過程，對概念引出的必要性、概念的本質及其功能沒有深刻的認識.《普通高中數學課程標準》指出：“數學教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步理解.由于數學高度抽象的特點，注意體現基本概念的來龍去脈.在教學中要引導學生經歷具體實例抽象數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質.”學生建構數學概念總是基于自我體驗基礎上.學生只有獲得豐富而深刻的數學體驗，數學思考才有具體的經驗支撐，數學概念才能得以有效建構.下面結合案例說明數學概念教學的三原則.

1 感知——忌淺倡深，深入體驗

學生對抽象數學概念的建立，離不開感性經驗的獲得，數學感知也就成了學生學習數學概念的首要環節.而學生對感性經驗的積累，源于對數學素材感知的深淺程度.匆促、膚淺的簡單化感知，不利于學生對數學本質的觸摸、積累.只有深入挖掘數學素材，引導學生循序漸進地從事觀察、操作、比較、思考等深度的數學活動，才能積累豐富的數學活動經驗，進而觸及數學概念本質.

案例1 人教A版《數學2》“3.1直線的傾斜角與斜率”（第一課）的教學片斷.

在介紹完傾斜角這個概念之后，我們需要引入另一個新概念——斜率，如何引入呢？教材中是直接規定的.“我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率”.如果在實際教學中也這樣引入的話，學生會提出這樣的質疑：為何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？面對這樣的提問，有的老師會說這是統一規定；有的老師相對民主些，逐一驗證為何正弦或余弦不好，但總給人“亡羊補牢”之嫌.

其實，完全可以通過設計下面兩個小問題引入斜率的概念.

問題1 請在同一平面直角坐標系中畫出下列方程所表示的直線.

師：問題2中的三條直線有何不同？

生：傾斜角不同，分別是45°，60°，135°.

師：大家發現了什么？

生：問題1中x前的系數恰好是問題2中對應的傾斜角的正切值.

師：這會是偶然現象嗎？（此時，教師可利用“幾何畫板”演示當傾斜角變化時，直線傾斜角的正切值與直線x前的系數始終保持一致）

師：看來，直線傾斜角的正切值與直線方程息息相關，那么我們不妨用直線傾斜角α的正切值來刻畫直線的傾斜程度，并給它取個名字，叫做直線的斜率.

評析 案例中，教師提出問題，通過學生思考、交流，加深了對“直線的斜率”概念的理解，逐步領悟其內涵，把握其本質. 這樣的方式引入斜率的概念，自然、流暢，學生感知深刻，理解深入，把握本質.

2 抽象——忌快倡慢，漸進概括

從具體的感性經驗中抽象出理性的數學概念，是數學認知水平的一大飛越，是概念教學的核心環節.而抽象概括數學概念，是學生不斷地比較、剔除非本質因素，逼近概念本質的漸進過程.因此，抽象數學概念要忌快倡慢，要放慢教學節奏，引導學生多層多角度地對數學素材做出觀察、比較、概括，參與概念的形成過程，深刻揭示抽象定律的特定內涵.

案例2 “函數概念”的教學片斷.

師：下列問題中各含有哪些變量，它們之間的關系是用什么方式表達的？

生：①中含有兩個變量，分別是炮彈距地面的高度h（單位：m）及時間t（單位：s），它們之間的關系是用解析式表達的；②中含有兩個變量，分別是南極上空臭氧層空洞面積及相應年份，它們之間的關系是用圖像表達的；③中含有兩個變量，分別是我國城鎮居民恩格爾系數及相應年份，它們之間的關系是用表格表達的.

師：現在，我們來分析上述各題中兩個變量的關系的特點.如①中，只要給定了時間t（0≤t≤26）的任意一個值，就唯一地確定了炮彈距地面的高度h的值；②中，只要給定了年份（1979～2001）的任意一個值，就唯一地確定了南極上空臭氧層空洞面積；③中，只要給定了年份（1991～2001）的任意一個值，就唯一地確定了我國城鎮居民恩格爾系數.即一個變量每取一個確定的值，另一個變量也相應地唯一確定一個值.這時，我們把后者叫前者的函數.

一般地，設集合A是一個非空的實數集，對A內任意實數x，按照確定的對應法則f，都有唯一的實數值y與它對應，則這種對應關系叫做集合A上的一個函數.

好，現在根據函數的定義，判斷下列給出的對應法則，是否是實數集R到R的一個函數：

生：……

師：好，同學們學會了根據函數的概念判斷一個對應法則給出的對應關系是否確定一個函數.現在請大家舉出三個函數的實例.

……

評析 案例中，對函數概念的教學不只是讓學生死記硬背函數概念的定義，也不僅僅關注對函數表達式、定義域、值域的討論，而是通過選取具體事例，引導學生經歷對函數概念的實際背景的感知與抽象概括的過程，并在概念的抽象概括過程中合理設置問題情景，使學生體會函數所反映的實際事物的變化規律，經歷函數概念的抽象概括過程，同時，通過讓學生自己舉出函數的實例，辨別真假例子，較好地對函數概念實施“過程性教學”，不但使學生較為深刻地理解函數概念的內涵，有效地促進學生對函數概念本質的理解，而且也從中學會了抽象概括的思想方法.

3 鞏固——忌聽倡做，實踐反思

認知建構學認為，學生是學習的主體.對于數學學習而言，除了學生本人，任何人都無法代替.學生對數學概念的鞏固，并不是簡單地依賴教師重點強調、反復提醒所能及的，而是學生通過自身對概念的實踐運用中加以反思而建構的.相對于顯性的知識技能而言，內隱的數學經驗的積累、數學方法的習得、數學思想的聚成，都離不開學生的親自“做”.因此，在數學概念的鞏固練習中，僅讓學生聽老師的指令機械訓練是遠遠不夠的，而應忌聽倡做，放手讓學生在做中積累經驗，反思調整，進而深化鞏固數學概念.

案例3 “函數的零點”的教學片斷.

在學生得出，若函數y=f（x）在區間[a，b]上存在零點，必須滿足“連續”和“異號”，兩個條件后，教師提出問題：如果這兩個條件即“連續”和“異號”，現有一個或兩個條件不成立，那么函數還是否存在零點？

學生經過畫圖象，舉反例，反復驗證，他們發現函數可能有零點，一些學生還主動上黑板畫出了圖象（如圖1～3.圖1是不滿足“異號”，圖2是不滿足“連續”，圖3是兩個條件都不滿足）.

同時，學生還發現也可能不存在零點，并舉出反例畫出圖象，恕不贅述.大家感受到“連續”和“異號”這兩個條件是函數在閉區間內有零點的充分條件.接著教師提出問題：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上有零點，那么一定只有一個嗎？

學生們紛紛表示“不一定”，并有幾個學生上黑板畫出了（圖4～6）圖象.

教師再提出問題：如果有且只有一個零點的話，還需要滿足什么條件嗎？

學生經過討論，最后得到要滿足3個（充分）條件：（1）函數y=f（x）的圖象在區間[a，b]上連續；（2）f（a）f（b）<0；（3）函數y=f（x）在區間[a，b]上單調.

評析 案例中，在學生得出，若函數y=f（x）在區間[a，b]上存在零點，必須滿足“連續”和“異號”，兩個條件后，教師通過“如果這兩個條件即‘連續和‘異號，現有一個或兩個條件不成立，那么函數還是否存在零點？”、“如果函數y=f（x）在區間[a，b]上有零點，那么一定只有一個嗎？”、“如果有且只有一個零點的話，還需要滿足什么條件嗎？”的引導，不僅使學生舉出了正例，而且也讓學生舉出了反例.這樣，從概念的形成（具體）到明確概念（一般），再到舉出實例（具體）形成一個完整的概念認知過程，有利于學生理解概念，防止死記硬背.

當然，“做”數學不僅要重視由因及果的數學結論的運用，還要重視由果探因的數學背景探究.因此，在概念的鞏固練習中，不僅要讓學生參與解題，還要重視讓學生參與構題.

總之，學生總是基于深刻的數學體驗而建構的.在教學中，教師要從幫助學生積累數學經驗入手，倡導深入感知，漸進抽象，實踐鞏固，讓學生在深度體驗中深刻建構數學概念.

作者簡介 趙緒昌，男，1963年生，主任，四川宣漢人， 中學特級教師，四川省學術和技術帶頭人，蘇步青數學教育獎和國務院政府特殊津貼獲得者，主要從事中學數學教學研究和中小學教育科學研究.