泊松方程中域積分的一種新處理方法

徐聰

摘 要：在泊松方程中涉及到的域積分用徑向積分法處理，能夠有效地將源項引起的域積分作為一個解析過程轉化為邊界積分，對于已知函數的源項，則域積分到邊界積分的轉換是精確轉換，為此徑向積分法比其他轉換方法更具有優(yōu)勢。數值算例表明，計算結果很理想。

關鍵詞：泊松方程；域積分；徑向積分法

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）06-001-01

域積分在邊界元中占有非常重要的地位，處理區(qū)域積分的方法大體上分為三類：（1）直接對區(qū)域內部作單元剖分，在內部區(qū)域單元上采用數值積分求解；（2）利用Green公式把區(qū)域積分轉換成邊界型積分；（3）采用數值近似法把區(qū)域積分轉換成邊界型積分.常用的方法是：高效偉教授提出的徑向積分法（RIM）[1]、Brebbia等人提出的DRM法（Dual Reciprocity Method）[2]和MRM法（Multiple Reciprocity Method）[3].徑向積分法將源項引起的域積分轉化為邊界積是一個解析的過程。如果源項是已知函數，則域積分到邊界積分的轉換是精確轉換，不需要任何內部點，從而充分發(fā)揮了邊界元法的優(yōu)勢，得到了快速發(fā)展[4].本文算例采用徑向積分法.

一、泊松方程的域積分的轉化

三、數值算例

邊長為L L（L=6）的正方形區(qū)域內的位勢問題，源項b為已知函數 .邊界條件為上下邊界通量q=0，左右邊界位勢分別為 和 .解析解為

左右邊界通量的解析解分別應為 和 .采用線性邊界單元對該問題進行分析，將分析結果與解析解比較，驗證準確性.

泊松方程中出現的域積分采用徑向積分法把其作為一種解析過程轉換為邊界積分.數值算例表明，本文計算結果非常有效，成功保留了邊界元的優(yōu)點。

參考文獻：

[1] Gao X W. Evaluation of regular and singular domain integrals with boundary-only discret-

ization-theory and Fortran code. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2005，175（2）：265—290.

[2] Nardini D， Brebbia C A. A new approach for free vibration analysis using boundary elements//Brebbia CA. Boundary Element Methods in Engineering. Berlin： Springer， 1982.

[3] Nowak A J， Brebbia C A. The multiplier reciprocity method. A new approach for transforming BEM.domain intrgrals to the boundary[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，1989，6：164—168.

[4] AL-Jawary M A，Wrobel L C. Radial integration boundary integral and integro-differential equation methods for two-dimensional heat conduction problems with variable coefficients. Engineering Analysis with Boundary Elements，2012，36（5）：685—695.