球面與粗糙平面電接觸模型的理論分析及實驗研究

瞿 航，陳 寧

（國網浙江省電力公司寧波供電公司，浙江 寧波 315000）

球面與粗糙平面電接觸模型的理論分析及實驗研究

瞿 航，陳 寧

（國網浙江省電力公司寧波供電公司，浙江 寧波 315000）

球面與平面接觸是電觸頭中最常見的接觸形式之一，其接觸電阻的計算和分析是電觸頭設計過程中重點關注的。通過對工程粗糙表面進行分析，引入球面與平面接觸的粗糙表面力學模型，結合經典的電接觸理論，從而首次建立了球面與粗糙平面的電接觸模型。并對模型進行了詳細分析，定量研究了壓力、塑性指數以及表面粗糙度等因素對接觸電阻的影響。設計了接觸電阻測量裝置，對接觸電阻的影響因素進行了實驗測試，并對比分析理論模型計算數據和實驗數據。結果表明，壓力較小時，理論模型計算的接觸電阻和實驗數據測試較為吻合；壓力較大時，理論模型有一定的局限性。

粗糙表面；接觸電阻；實驗測試

0 引言

電流通過接觸界面時，被收縮以通過斑點，由于電流收縮產生的接觸電阻稱為收縮電阻，收縮電阻與金屬的電阻率相關，還與接觸硬度等材料表面特性相關。接觸電阻包括收縮電阻和表面膜電阻，清潔表面則可以忽略金屬表面的膜電阻。

接觸電阻是電氣連接中的關鍵參數，直接影響電氣連接的發熱與溫升，進而影響電氣設備的整體性能，小而穩定的接觸電阻是電氣連接設計的最終目標。觸頭的接觸電阻和觸頭的材料、形狀、接觸壓力以及表面狀態等參數密切相關，精確且符合實際的接觸電阻計算分析是觸頭設計的關鍵。

關于接觸電阻的數值計算，國內外的學者做了許多研究[1-2]，提出了很多接觸電阻的數值計算方法，如基于分形法描述的觸頭表面粗糙形貌的接觸電阻數值計算方法。影響接觸電阻阻值大小的電接觸面積和機械接觸密切相關，通過研究觸頭表面的機械接觸可以對接觸電阻進行比較真實的分析。

Li首次提出了包含彈性、彈塑性和塑性變形的粗糙表面機械接觸模型[3]，并對3種變形情況下的接觸壓力和接觸面積計算進行了總結，給出了接觸壓力和接觸面積的通用表達式。Li的模型主要分析了平面與平面接觸、球面與平面接觸2種接觸方式。賈丹在Li平面與平面接觸模型分析的基礎上，對粗糙表面的接觸電阻和接觸熱阻進行了詳細分析，并采用數值計算得到了接觸電阻與表面塑性指數等的關系，對經典的電接觸理論進行了對比[4]。

球面與平面接觸是電觸頭中最常見的接觸形式之一，在許多電氣連接中均有運用。以下在Li和賈丹的研究基礎上，結合粗糙表面力學接觸模型和電接觸理論相關假設，首次對球面與平面接觸的接觸電阻進行了理論計算。

1 電阻理論模型的建立

1.1 理論背景與假設

2個金屬接觸時，經典的接觸電阻認為單個斑點的收縮電阻RC可以表示為[5]：

式中：ρ1和ρ2是接觸金屬的電阻率（文中所有分析的接觸材料均為銅）；a是導電面積的半徑。當接觸面發生彈性變形時，在Herz彈性變形的假設下，得到接觸電阻的計算式：

式中：F為正向壓力；E為導體的楊氏模量；R為兩接觸表面的曲率半徑。

當接觸面發生塑性變形時，接觸電阻可以用式（3）表示[6]：

式中：H為材料的洛氏硬度。

上述接觸電阻理論均假設接觸表面是光滑的，未引入粗糙表面的特性參數，且認為只存在單一變形。然而任何的工程表面均是粗糙的，可以認為通常的加工表面的粗糙峰高度符合高斯分布[7]。粗糙峰高度的概率密度函數φ（z）用式（4）表示：

式中：z表示粗糙峰的高度；σS表示粗糙峰高度的均方差值。

可以用表面的均方根粗糙度Rq衡量σS，其和算術平均粗糙度滿足

為便于分析，以下將平面假定為粗糙平面，球形表面為光滑表面。圖1為光滑球面與粗糙平面接觸的示意圖。

圖1 光滑球面與粗糙平面接觸示意

如圖1所示，h（r）表示從光滑表面到粗糙峰平均高度的距離；d（r）表示從光滑表面到粗糙表面平均高度的距離。σ表示表面高度的均方差值。σs/σ和粗糙表面的特征參數β滿足式（5）[9]：

式中：β為描述表面特性的無量綱表面粗糙特性參數。β=ηρrσ，η為粗糙峰的面密度；ρr為粗糙峰的曲率半徑。

假設球面與粗糙表面發生接觸時，球面最高點與粗糙表面平均高度的距離為d（易知d＞0），令則在r處粗糙表面平均高度與球面的距離d（r）可用式（6）、式（7）表示：

文中的推導采用Li兩粗糙表面接觸理論模型的假設條件，并引入接觸電阻分析中常用的假設條件[10]，模型基于以下假設：

（1）接觸表面是各向同性的，接觸表面的宏觀基體無形變。

（2）各個粗糙峰的頂點是球形的，且有相同的曲率半徑ρr，粗糙峰的高度符合高斯分布。

（3）各個粗糙峰之間有一定的距離并且不存在相互作用。

（4）粗糙峰在接觸壓力作用下可以發生彈性變形、彈塑性變形以及塑性變形。

（5）各個粗糙峰發生實際接觸形成接觸斑點的位置均導電，且各個粗糙峰之間的接觸電阻沒有相互作用，形成電阻并聯關系。

將粗糙峰高度z進行無量綱處理，令z*=z/σ，并代入式（4）得到式（8）：

對粗糙峰的形變位移ω采用σ進行無量綱化，定義為：

由以上分析易知，只有正位移的粗糙峰才是實際接觸的。通過計算單個粗糙峰的接觸壓力、接觸面積和接觸電阻，即可得到總的接觸壓力、接觸面積和接觸電阻。接觸壓力F、接觸面積A以及接觸電阻RC可由式（10）—（12）給出[11]：

然而在電接觸表面發生接觸時，由于單個粗糙峰高度的差別，并不是所有表面的變形情況均一致。高度值較小粗糙峰的變形很小，可認為是完全彈性變形；高度值較大粗糙峰的變形很大，可以認為是發生完全塑性變形；粗糙峰也可能發生彈塑性變形。下面在對3種變形情況下的接觸壓力、接觸面積和接觸電阻進行分析。

1.2 模型建立

式中：FC，δC，AC分別為完全粘著條件下，光滑球體由彈性變形向彈塑性變形過渡時的臨界法向作用力、臨界位移、臨界作用面積。

當法向位移ω滿足δC＜ω＜110δC時，粗糙峰發生彈塑性變形，接觸力Fep、接觸面積Aep和接觸電阻Rpl分別用式（16）—（18）表示[12]：

式中：α，γ為泊松比υ的函數（見表1）。此時ω＞110δC，單個粗糙峰完全塑性，Jackson和Green利用有限元仿真并擬合，得到接觸力和實際接觸面積的經驗計算式，如式（19）—（21）所示[13]：

根據文獻[10]，臨界接觸壓力、臨界位移、臨界接觸面積滿足式（22）—（26）：

表1 泊松比函數

引入衡量表面特性的參數，塑性指數ψ。根據文獻[9]，無量綱臨界位移和塑性指數ψ滿足關系式（27）：

結合式（25）和式（27）可得塑性指數滿足式（28）：

由式（28）可知，塑性指數由材料特性和表面粗糙度決定。Y0與材料的接觸硬度H相關，材料硬度越小，塑性指數越大；表面越粗糙時，塑性指數越大。

引入Ig對式（25）和式（26）進行簡化，令Ig滿足式（29）：

引入AC按式（30）對接觸電阻進行無量綱化：

球面與平面接觸時，總的接觸壓力、接觸面積和接觸電阻可以根據不同變形情況下的粗糙峰疊加而得，式（10）—（12）進一步可化為式（31）—（33）：

球面與平面接觸時，無量綱接觸壓力、無量綱接觸面積、無量綱接觸電阻的表達式如式（34）—（36）所示。影響粗糙表面接觸的無量綱接觸電阻的因素有：粗糙表面的穿刺距離d；粗糙表面的特性參數 β，ρr，σS；材料參數如楊氏模量E，屈服強度Y0，泊松比υ以及接觸表面曲率半徑等，下文對其進行分析。

2 模型分析

式（34）—（36）均是復雜的二重積分，無法得到其具體的函數表達式。根據文獻[11]，表面粗糙特性參數通常取β=0.04，微觀粗糙峰的曲率半徑和球面的曲率半徑滿足R/ρr=100。接觸壓力和接觸面積的表達式只與塑性指數有關，而接觸電阻的表達式還與接觸表面的曲率半徑有關。

在給定的塑性指數和表面曲率半徑下，粗糙表面無量綱接觸力、無量綱接觸面積、無量綱接觸電阻只和粗糙表面與球面的無量綱穿刺距離d*有關。應用Matlab軟件，采用數值積分對公式（34）—（36）進行求解，從而得到無量綱接觸壓力、無量綱接觸面積以及無量綱接觸電阻與穿刺距離d*之間的關系。微觀的穿刺距離是無法精確測量的量，而實際的接觸壓力則可以精確測得。接觸壓力是電接觸過程中需要重點關注的參數，文中主要分析接觸壓力與接觸面積、接觸電阻之間的關系，以及相關參數如塑性指數、表面粗糙度對這種關系的影響。

粗糙表面的接觸面積和接觸壓力均與塑性指數有關。通過對式（34）和（35）的數值求解，得到了塑性指數取不同值時，無量綱接觸面積A*與無量綱接觸壓力F*的關系如圖2所示。

圖2 無量綱接觸面積與無量綱接觸壓力的關系

由圖2可知，在壓力相同時，當表面塑性指數越小，接觸面積越大；塑性指數越大時，實際接觸面積越小。

對式（35）和（36）數值求解，得到塑性指數取不同值時，無量綱接觸電阻與無量綱接觸壓力F*的關系如圖3所示。

圖3 無量綱接觸電阻與無量綱接觸壓力的關系

由圖3可知，塑性指數一定時，接觸壓力越大，接觸電阻值越小。塑性指數越小，接觸電阻趨于穩定的臨界接觸壓力越小。并且塑性指數越小，穩定階段的接觸電阻越小。

接觸電阻隨接觸壓力的變化過程可以分為2個階段，即不穩定階段和穩定階段。隨著接觸壓力增大，接觸電阻下降幅度較大，此時接觸電阻處于不穩定階段。接觸力達到接觸壓力時，接觸電阻減少的幅度越來越小并趨于平緩，接觸電阻處于穩定階段。

在接觸電阻處于不穩定階段時，接觸電阻隨著實際接觸壓力的增大降低。塑性指數越小（即表面越光滑）時，需要較小的作用力來增大實際接觸面積；塑性指數越大（即表面越粗糙）時，需要較大的作用力來增大實際接觸面積。

在實際的接觸過程中，由于材料加工等原因，實際表面的塑性指數范圍較小。以通常的電觸頭為例，常用材料為銅，表面鍍銀。為便于分析，忽略觸頭表面的銀鍍層。表面粗糙度在通常的加工情況下分別為0.8，1.6，3.2，6.4（單位為μm），此時塑性指數的取值分別為8.95，12.65，17.89，25.30。假設電觸頭接觸球面的幾何尺寸R=0.072 m，粗糙表面模型表面形貌及材料參數見表2。

表2 粗糙表面模型表面形貌及材料參數

通過對式（34）和（35）的數值求解，得到了不同粗糙度值時，接觸面積A與接觸壓力F的關系如圖2所示。在相同的接觸壓力下時，粗糙度越大，實際接觸面積越小。粗糙度對塑性系數的影響較小，所以接觸面積之間的差別很小，幾乎可以忽略不計。通過對式（34）和（36）的數值求解，可得在不同粗糙度下接觸電阻隨壓力的變化情況（如圖4）。

圖4 接觸電阻與接觸壓力的關系

相同的接觸壓力下時，粗糙度越大，實際接觸電阻越大，臨界接觸壓力越大。當接觸表面越光滑時，實際接觸電阻越小，接觸效果越理想。

根據式（2）和（3）可以得到Herz接觸理論不同接觸壓力時的接觸電阻；對式（34）和（36）的數值求解可以得到粗糙表面接觸電阻模型下不同接觸壓力時的接觸電阻。

由圖4可知，Herz接觸理論模型計算的接觸電阻值小于粗糙表面接觸電阻模型的計算值。隨著壓力增大，Herz接觸理論模型的接觸電阻值和粗糙表面模型的接觸電阻值基本相同。可以認為Herz接觸理論模型是粗糙表面模型的一種極限情況。

同樣，由圖4可知，Herz接觸理論模型的臨界壓力小于粗糙表面模型的臨界接觸壓力。Herz接觸理論模型中，當接觸壓力到達臨界接觸壓力時，實際接觸表面發生塑性變形，接觸壓力增大，而實際接觸面積基本不發生變化。粗糙表面模型中，由于粗糙表面存在多個粗糙峰，各個粗糙峰的高度不一。當接觸壓力增大到使較高的粗糙峰發生塑性變形時，稍低的粗糙峰與表面產生新的接觸，從而增加了接觸面積。只有在大部分粗糙峰都發生塑性變形時，實際接觸壓力才達到臨界接觸壓力。

3 實驗研究

3.1 實驗概述

為了評估理論模型的正確性，測試實際工作中觸頭的電阻值是否和理論計算值相符。主要實驗內容包括接觸電阻值與壓力、表面粗糙度之間的關系。

測試平臺包括壓力加載和測試裝置、電阻測量裝置以及支撐部分。根據接觸電阻測量思路，設計的觸頭接觸電阻測試裝置如圖5所示。

圖5 接觸電阻測量裝置

推力球軸承的作用可以保證施力裝置只給觸頭間施加正壓力而不施加旋轉力矩，保證觸頭在加壓過程中不產生切向滑動。通過旋轉上端的施力螺桿對觸頭施加壓力。

接觸電阻采用四點法測量，實驗測試電流為1 000 A，采用穩態直流電流源（華泰HAP300-15）給觸頭供電，采用電流傳感器（CHB-2KB）對電流進行測試。

當接觸壓力小于臨界接觸壓力時，由于接觸電阻隨壓力的變化比較敏感，實驗壓力間隔較小；當接觸壓力大于臨界接觸壓力時，接觸電阻隨壓力變化較小，壓力間隔較大。觸頭之間的壓力值可以通過壓力傳感器測得。

接觸電阻理論計算值在30～200 μΩ，所以接觸壓降在30～200 mV，接觸壓降的測量采用Agilent 34420 A納伏表。實驗過程中，待接觸壓力和接觸壓降穩定后，讀取儀器指示值并記錄。

用酒精清洗接觸表面，除去表面氧化膜，注意保持觸點干凈。在進行接觸電阻測量之前，對接觸表面進行粗糙度測量，測量儀器采用接觸式表面粗糙度測量儀。注意表面清洗與接觸電阻測量之間盡量縮短時間，防止觸頭表面被氧化。

在測試過程中，球面觸頭均采用標號1 000的砂紙進行表面打磨，以使其表面盡量接近光滑表面，對平面靜觸頭進行不同粗糙度的打磨。

3.2 接觸電阻與壓力的關系

加工完成的電觸頭結構如圖6所示。圖6（a）為球面觸頭，圖6（b）為平面觸頭，其表面粗糙度為Ra=0.91 μm。對單觸點的電觸頭結構進行接觸電阻測試。

圖6 電觸頭結構

實驗測試過程中，接觸壓力逐步從10 N增至750 N，測得接觸電阻隨壓力的變化曲線如圖7所示。由圖7可知，當壓力較小時，隨著接觸壓力增大，接觸電阻快速下降；當壓力大于200 N時，隨著接觸壓力增大，接觸電阻基本不發生變化。最終觸頭的接觸電阻穩定在37 μΩ左右。

圖7顯示，接觸電阻的測量值隨著壓力的增大逐漸變小，最終趨于穩定的接觸電阻值比粗糙表面接觸模型的計算值明顯偏大。原因一方面是測量時不可避免地引入了體電阻；另一方面，不是所有機械接觸斑點均導電。

3.3 接觸電阻與表面粗糙度的關系

觸頭表面按加工方式的不同，粗糙度實測值分別為0.91，1.52，3.11和6.02，測試觸頭的接觸電阻隨壓力的變化情況，圖8分別顯示了不同粗糙度下接觸電阻隨壓力的變化情況。

圖7 接觸電阻理論計算值和接觸電阻測量值比較

圖8 接觸電阻與粗糙度的關系

由圖8可知，在接觸壓力較小時，粗糙度越大，接觸電阻越大；粗糙度越小，接觸電阻越小。當壓力增大時，粗糙度對接觸電阻的影響很小，幾乎可以忽略不計。

在理論模型中，表面粗糙度對接觸電阻的影響較大，但是在實際測量過程中，僅在壓力較小時粗糙度對接觸電阻有影響，在較大壓力時，粗糙度對接觸電阻幾乎沒有影響。主要原因是：當壓力較大時，接觸部位的微觀粗糙峰均發生塑性變形，各個微觀粗糙峰之間由于接觸壓力而存在相互作用，使前述接觸力學的假設不再成立。

3.4 實驗分析

當接觸壓力較小時，接觸電阻隨接觸壓力增大有較大幅度的減小；但當觸頭壓力較大（如大于200 N）時，接觸電阻隨接觸壓力增大只發生很小幅度的減小。實驗結果同樣表明，只有在較小接觸壓力時，表面粗糙度對接觸電阻阻值有影響；當接觸壓力較大時，實驗測試范圍內的表面粗糙度對接觸電阻幾乎沒有影響。

上述實驗測試的接觸電阻值比粗糙表面電接觸模型的計算值略大，原因是：在接觸電阻測試時引入了一部分體電阻，以及不是所有機械接觸面積均導電。

通過仿真分析和實驗數據的對比，提出的粗糙表面電接觸模型在壓力較小時能比較好地反映實際接觸表面的接觸電阻，有較好的實際應用價值。但是當壓力較大時，接觸模型幾乎失效。這是因為在較大壓力時，微觀粗糙峰基本發生塑性變形，微觀粗糙峰之間存在相互作用，上述模型的假設條件不再成立。

4 結語

在粗糙表面力學模型分析的基礎上，結合經典電接觸理論，首次建立了球面與粗糙平面接觸的接觸電阻計算模型。引入塑性參數、表面粗糙度等參量并對接觸電阻進行了分析，得到粗糙表面接觸電阻與塑性指數、粗糙度、壓力之間的關系，并對比分析了經典電接觸理論和粗糙表面電接觸理論。

對接觸電阻進行了實驗測試，主要測試內容有接觸電阻與接觸壓力、粗糙度之間的關系。實驗結果表明，在接觸壓力較小時，粗糙表面電接觸模型具有比較好的實用性，在接觸壓力較大時，粗糙表面電接觸模型不再適用。

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（本文編輯：方明霞）

Theory Analysis and Experiment Research on the Electric Contact Model in Spherical-Flat Rough Surface Contact

QU Hang，CHEN Ning

（State Grid Ningbo Power Supply Company，Ningbo Zhejiang 315000，China）

Spherical-flat surface contact is one of the most common electric contacts.Calculation and analysis of the contact resistance are the key focus in electric contact design.By analyzing the rough surface，the paper introduces a mechanical model of spherical-flat surface contact and establishes the first contact resistance model of the spherical-flat surface on the basis of the classic electric contact theory；in addition，it analyzes the model and the impact of the load，plasticity index and the influence of surface roughness on the contact resistance.A contact resistance measurement unit is designed，and the influencing factors on contact resistance are tested.In the final，the calculation data and experiment data of the theory model are compared and analyzed. The result shows that when the contact load is small，the calculated contact resistance of the theory model is coincident with the experiment data；when the contact load is high，the theory model has its limitations.

rough surface；contact resistance；experimental measurement

TM501+.3

A

1007-1881（2016）12-0036-07

2016-10-17

瞿 航（1990），男，助理工程師，從事變電運維工作。