基于代理模型的航天器振動夾具優(yōu)化方法

高海洋，馮咬齊,2，岳志勇，張俊剛，邱漢平

（1. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094；2. 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點實驗室，北京 100094）

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基于代理模型的航天器振動夾具優(yōu)化方法

高海洋1，馮咬齊1,2，岳志勇1，張俊剛1，邱漢平1

（1. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094；2. 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點實驗室，北京 100094）

摘要：航天器振動夾具的一般設計原則是在避免安裝干涉的前提下，盡量提高其剛度，同時減小自身重量對試驗條件制定的影響。文章從提高振動試驗夾具設計的效率出發(fā)，在優(yōu)化過程中引入Kriging代理模型來代替原有的動力學輸入輸出關系，最大程度地減少優(yōu)化迭代過程中有限元模型重構(gòu)與求解次數(shù)。為進一步提高代理模型更新的效率，提出了一種混沌鄰域搜索的多點加點準則，在發(fā)掘當前最優(yōu)點的同時，有選擇性地加入了更多的預測點，用以快速改善代理模型的局部代理精度。數(shù)值仿真針對典型航天器力學環(huán)境試驗夾具的幾何參量進行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果驗證了該方法的有效性與高效性。

關鍵詞：航天器；振動夾具；Kriging代理模型；混沌搜索

0 引言

力學環(huán)境模擬試驗中的夾具連接著試驗件與激振設備，起到支撐與能量傳遞的作用。振動夾具的動力學特性會直接影響到對試驗件性能考核的結(jié)果。因此，振動夾具設計一直是動力學環(huán)境試驗前必須要考慮的重要步驟。

航天器振動夾具在設計上存在一定的矛盾性：一方面要提高剛度，盡量使其一階頻率大于試驗最高頻率，或者大于試驗件基頻的3～5倍[1]；另一方面，在保證接口尺寸的前提下，盡可能地降低夾具重量，因為重量過大會消耗激振設備的部分能量，導致分配給試驗件的能量減少，從而降低激振設備的推力指標。由于產(chǎn)品的研制需要進行一系列結(jié)構(gòu)驗證試驗，單純依靠提升激振設備的性能來滿足試驗量級要求往往需要投入大量建設成本，也會延長產(chǎn)品的研制周期。因此，可以從夾具優(yōu)化設計上尋求到一種有效的方法。近年來，國內(nèi)外學者對結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計進行了大量的理論與實踐研究，提出的優(yōu)化方法主要可分為拓撲優(yōu)化設計和參數(shù)化設計。基于均勻化和密度法的拓撲優(yōu)化算法[1-4]在結(jié)構(gòu)構(gòu)型設計上具有廣泛的應用，但有文獻指出，最優(yōu)拓撲在有限元網(wǎng)格敏感性、單元刪除策略、圖像處理技術(shù)等方面都會對優(yōu)化設計結(jié)果有顯著影響[4]。而基于參數(shù)化的反演優(yōu)化算法[5]是將優(yōu)化設計轉(zhuǎn)化為多約束非線性規(guī)劃問題。由于動力學系統(tǒng)的特征量一般是設計變量的復雜隱式函數(shù)，隨著設計變量數(shù)量的增加，優(yōu)化問題趨于復雜，域內(nèi)極值點也會隨之增多，而設計變量或目標函數(shù)值的不連續(xù)性會給域內(nèi)最優(yōu)解的搜索造成不便，這對于經(jīng)典的單純形、最速下降、序列二次規(guī)劃等方法提出了巨大的挑戰(zhàn)。自20世紀末以來，研究人員將人工智能算法應用到工件切削夾具設計中[6-7]，在保證加工精度的基礎上對工件夾持位置、夾持力以及加工工序進行優(yōu)化，一定程度上避免了如經(jīng)典優(yōu)化算法那樣會陷入局部最優(yōu)解的窘境，但是廣度搜索通常需要花費大量時間，尤其是當局部最優(yōu)解過多時。這是因為在優(yōu)化過程中，種群更新迭代需要不斷修改數(shù)值模型，復雜結(jié)構(gòu)往往需要借助于有限元方法對當前模型進行網(wǎng)格重構(gòu)與特性重分析，降低了優(yōu)化設計算法的效率。

為了提高優(yōu)化設計效率，代理模型技術(shù)被廣泛地關注，并且越來越多地被應用于工業(yè)設計中[8-10]。其中，Kriging模型克服了響應面法在描述非線性系統(tǒng)的劣勢和神經(jīng)網(wǎng)絡對大量樣本的硬性需求，使用半插值技術(shù)和少量的樣本點來描述輸入輸出關系，統(tǒng)計地預測樣本點附近區(qū)域的響應值。研究表明[11-13]，Kriging模型在反演問題中能夠發(fā)揮其巨大代理優(yōu)勢，大大地減少了計算量；同時指出，在Kriging模型的構(gòu)建與更新過程中仍有許多關鍵問題，如原始樣本點的選取方法、更新加點策略以及代理精度評價準則等，都需要深入研究。

本文從航天器振動夾具的構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化設計出發(fā)，利用多目標差分進化算法解決參數(shù)可行域不連續(xù)的搜索問題。在優(yōu)化求解過程中，構(gòu)建Kriging代理模型代替原有的動力學輸入輸出關系，并提出基于混沌鄰域搜索的多點加點準則，以進行高效的代理模型更新，保證其在最優(yōu)解附近的代理精確性，最大程度上減少有限元重分析次數(shù)，提高夾具優(yōu)化設計效率。最后，通過數(shù)值仿真驗證該方法的有效性。

1 Kriging代理模型的建立

Kriging 代理模型由回歸部分和非參數(shù)部分組成，即

式中：xi和xj是任意兩個樣本點；R(θ, xi, xj)是帶有參數(shù)θ的相關函數(shù)，表征樣本點之間的空間相關性。上述兩式中參數(shù)β和σ2可以通過最大化響應值的極大似然估計的對數(shù)形式來計算，即

式中：r(x*)為待測點和各已有樣本點的相關函數(shù)向當初始的代理模型建立后，可用平方誤差準則EISE來評價其描述能力和準確性，即

2 混沌鄰域搜索的多點加點準則

代理模型建立后并非一成不變。當代理模型未能滿足代理精度時，需要通過加點準則對其進行更新，保證其在全局最優(yōu)解附近的代理精確性。

加點準則可分為單點加點準則[11-12]和多點加點準則[13]。前者是在每一次經(jīng)過優(yōu)化算法計算后，只將當前最優(yōu)點及其對應響應值加入到訓練樣本集中，以更新原有的Kriging代理模型。常見的方法有最小化響應面法和最大化期望提高加點法。多點加點準則是經(jīng)過每次優(yōu)化算法后，除了在訓練樣本集中加入當前最優(yōu)點及其響應值外，還會根據(jù)某些自定義條件在訓練樣本集中加入其他點，以快速形成更加精確的 Kriging 代理模型。但目前已有的文獻對于多點加點準則的論述相對較少。若要進一步提高代理模型更新效率，多點加點策略還需根據(jù)代理復雜程度和具體工程問題來定制。

本文根據(jù)優(yōu)化設計過程的進程特點，在最小化響應面法基礎上提出了一種混沌鄰域搜索的多點加點準則。在多點加點準則中，新的樣本集中除了加入由優(yōu)化算法得到的最優(yōu)點外，還加入了更多的較優(yōu)點。較優(yōu)點的選擇方法如下：

1）設置問題的條件參數(shù)ζ和Rt，其中ζ是衡量代理模型精確性的參量，可控制加點進程，根據(jù)具體問題進行設置；Rt為控制加點個數(shù)，Rt∈[0.5, 1)。

2）利用最小化響應面法得到當前最優(yōu)點及其響應值。新生成的點為xtotal=xbest+λxbest，其中xtotal是新點，xbest為當前最優(yōu)點，λ為混沌系數(shù)，并滿足λt+1=αλt?2tanh(βλt)exp(-3λt2)[14]，式中t為迭代次數(shù)，α、β為控制參數(shù)，α∈(0, 1)，β≥2。

3）引入式(2)的高斯相關函數(shù)R(θ, xbest, xtotal)，計算新點和最優(yōu)點之間的空間相關性。兩個點的相關性與這兩個點之間的距離有關，隨著兩點之間的距離的增大而減小。

4）根據(jù)當前代理模型精度來討論加點范圍。當EISE＞ζ時，即問題開始階段，代理模型精度較差，因此搜索到的當前最優(yōu)解不一定是真實的，此時取相關函數(shù)值較小的點，計算由混沌搜索得到的一系列新點與當前最優(yōu)點的空間相關性Ri，若Ri≤1?Rt，則將Ri對應的點作為較優(yōu)點加入到初始樣本集中，更新代理模型。經(jīng)過一段時間的計算，當EISE≤ζ時，即當前代理模型趨于精確，說明真實的全局最優(yōu)解可能在當前最優(yōu)解附近，因此取相關函數(shù)值較大的點，若Ri＜Rt，則將Ri對應的點作為較優(yōu)點加入到初始樣本集中，更新代理模型。

可以看出，混沌鄰域搜索的加點方法實際上是隨著優(yōu)化迭代進程，在保證當前最優(yōu)點代理精確性的基礎上，適當?shù)卣{(diào)整加入較優(yōu)樣本點的范圍，以提高代理模型局部精度的更新效率[15]。

3 基于Kriging模型的振動夾具設計流程

基于代理模型的振動夾具優(yōu)化設計流程如圖1所示。

圖1　夾具優(yōu)化設計流程Fig. 1 Process of fixture design optimization

優(yōu)化設計流程步驟說明如下：

1）利用超拉丁抽樣方法，生成關于設計參數(shù)的初始樣本點集X，通過有限元程序計算得到相對應的振動夾具特征輸出值矩陣Y。

2）利用X和Y建立初始的Kriging代理模型，基于其建立的輸入輸出關系，調(diào)用復合型混合進化（shuffled complex evolution, SCE）優(yōu)化算法搜索當前的全局最優(yōu)解。同時，根據(jù)EISE準則檢查當前代理模型的準確性，并設k=1。

3）如果Kriging模型滿足EISE準則以及目標函數(shù)，輸出此時的設計參數(shù)，識別過程結(jié)束；如果不滿足準則，則需要進行代理模型更新。利用本文提出的混沌鄰域搜索方法生成新樣本點加入樣本集，并計算相應的輸出值，形成新的代理模型，令k=k+1。

4）重復步驟2，直到代理模型滿足EISE準則，輸出設計參數(shù)。

4 振動夾具優(yōu)化設計算例

4.1問題描述

航天器力學環(huán)境試驗對振動夾具的上下接口有明確的規(guī)定和嚴格的限制。因此，夾具中段的設計剛度和強度直接影響其整體特性。本算例對夾具整體厚度、筋的排布數(shù)量和幾何外形進行優(yōu)化，優(yōu)化原則包括以下幾個方面：1）盡量提高夾具基頻；2）最大程度減小夾具質(zhì)量，以保證振動臺額定指標滿足試驗條件要求；3）在試驗過程中，夾具應力分布盡量均勻[5]。

以現(xiàn)有的某航天器力學環(huán)境試驗夾具模型為例（如圖2所示）。其材料為鑄鋁；上端直徑為1260mm，與試驗產(chǎn)品相連；下端直徑為1800mm，與激振設備相連。上下接口尺寸已經(jīng)固定，預留均布的φ125mm圓形通孔用于進行特殊操作。因此，優(yōu)化時需要考慮的設計參數(shù)包括：夾具側(cè)壁厚度ts；內(nèi)置三角筋的數(shù)量nm；三角筋底邊長度tl；筋的厚度tm。

圖2　典型航天器力學環(huán)境試驗夾具模型Fig. 2 Typical fixture model for spacecraft dynamic environmental test

根據(jù)上述振動夾具的優(yōu)化原則，為提高優(yōu)化的全局搜索能力和魯棒性，本文采用多目標差分進化算法。該算法具有工作機制簡單、受控參數(shù)少、收斂速度快等優(yōu)點。在處理多變量、不可微和多極值的各種非線性函數(shù)時適應性強[16]。

4.2不連續(xù)可行域的算法適應性修改

一般夾具優(yōu)化參數(shù)都具有連續(xù)的可行域[13,17-18]，而算例中的優(yōu)化設計涉及夾具加筋數(shù)量的優(yōu)化，屬于不連續(xù)的參數(shù)優(yōu)化，因此需要對算法進行適應性修改，以保證反演迭代時按整數(shù)形式搜索。算法原始的變異形式為

式中：r1、r2、r3為1～PN之間的3個互不相同且不等于i的隨機整數(shù)；PN為群體的規(guī)模為第g代基向量；為第g代差分向量；W為差分比例因子。通過式(8)對第g代的每一個個體進行變異得到變異個體。為了在變異過程中搜索出與加筋數(shù)量相對應的隨機整數(shù)，節(jié)省搜索時間，對該參數(shù)的變異修改為

式中：round(·)為取整；vNum為對應加筋數(shù)量的迭代參數(shù)。這樣一來，優(yōu)化問題的多目標函數(shù)可建立為

式中：ω(xi)為根據(jù)Num個設計變量xi計算的夾具一階頻率；m為夾具質(zhì)量；分別是垂直和水平正弦掃頻試驗工況的夾具中段最大應力和最小應力的差值，該目標函數(shù)用以約束夾具的受力均勻性。

4.3優(yōu)化結(jié)果分析

選取20個初始樣本建立初始Kriging代理模型，優(yōu)化算法的種群大小為150，交叉率為0.95，EISE閾值為5.0×10-5。混沌搜索公式中α=0.5、β=2.7，每次代理模型更新時，用混沌搜索出5個新樣本點備選。控制加點進程參數(shù)ζ為1.0×10-3，Rt為0.7。設計參數(shù)范圍見表1。

表1　設計參數(shù)范圍Table 1 Parameters for fixture design

圖3為優(yōu)化過程中Kriging代理模型使用單點加點準則[11,19]和本文提出的混沌鄰域搜索加點準則所需的更新次數(shù)，柱狀高度表示該次更新增加的樣本點數(shù)。可以看出，代理模型經(jīng)過18次單點加點更新才滿足在全局最優(yōu)解附近的代理精度，而使用混沌搜索加點方法，代理模型只需要7次就能達到代理精度。值得注意的是，EISE值在某些更新步出現(xiàn)了凸峰，這是因為當前步的代理模型在全局最優(yōu)解附近不能代理原有的動力學輸入輸出關系。將該點加入樣本集更新代理模型后，EISE值減小，說明其代理精度提高。因此可以說，基于代理模型的優(yōu)化過程也是一個不斷完善最優(yōu)解附近代理精度的過程。表2為通過兩種加點準則得到最終代理模型預測輸出與有限元程序計算的輸出結(jié)果對比，可以看出，兩者與有限元法計算出的結(jié)果幾乎完全吻合，說明加點準則并不影響優(yōu)化設計的最終結(jié)果，但在一定程度上影響了代理模型在全局最優(yōu)解附近的精度提高效率。圖4是以最終代理模型為平臺優(yōu)化得到的帕累托解集和最優(yōu)解。表3給出原始設計參數(shù)和最終得到的設計參數(shù)。

圖3　代理模型更新過程中EISE值Fig. 3 EISE value of surrogate model updating

表2　夾具特性優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of final model characteristics

圖4　帕累托解集和全局最優(yōu)解Fig. 4 Pareto set and global optimization solution

表3　夾具參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of fixture parameters

對比表3中的原始值和優(yōu)化后結(jié)果可以看出，原夾具的中段側(cè)壁設計過厚，不但對夾具基頻貢獻較小，而且大大增加了夾具重量。本例在保證應力均勻性要求下，對側(cè)壁進行了大幅度的減重，增加了對剛度貢獻較大的筋的數(shù)量和厚度。但同時也要注意，筋的厚度絕非越大越好，還需要對重量的增加和剛度的貢獻度進行權(quán)衡。圖5為優(yōu)化后夾具在水平方向正弦掃頻試驗時的應力分布情況，最大應力值滿足材料的強度要求。

圖5　優(yōu)化后的應力分布情況Fig. 5 Stress distribution after optimization

下面對混沌搜索中的控制參數(shù)ζ和tR進行討論。加點進程參數(shù)取值為ζ=[5, 1, 0.5, 0.1]×10-3，搜索范圍參數(shù)Rt=[0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9]，分別進行10次重分析，計算代理模型更新次數(shù)的算數(shù)平均，結(jié)果如圖6所示。可以看出，加點進程參數(shù)的變化對代理模型更新次數(shù)影響較大，該參數(shù)值越小，廣度搜索次數(shù)越多；相反，值越大就越早進入深度搜索。搜索范圍參數(shù)的變化對模型更新次數(shù)影響較小，初始樣本的隨機性和優(yōu)化搜索的隨機性使得該參數(shù)與代理模型更新次數(shù)關系存在著一定的不確定性。

另需說明的是代理模型初始樣本點數(shù)量選取問題。有研究表明，初始樣本的數(shù)量與優(yōu)化設計的結(jié)果并沒有直接的相關性，初始樣本數(shù)量直接影響了代理模型的修正次數(shù)[18]。初始樣本量越大，初始代理模型就越精確，但計算樣本響應的時間也隨之增加。優(yōu)化問題的維度、動力學分析工況的復雜性都對代理模型的更新次數(shù)產(chǎn)生一定的影響。

圖6　控制參數(shù)對代理模型更新次數(shù)的影響Fig. 6 The effect of control parameters on the times of Kriging model updating

為了說明本文方法的高效性，圖7分別給出了基于單點加點和混沌搜索加點的代理模型優(yōu)化所用的計算時間，以及單純依靠差分進化算法的優(yōu)化時間。可以看出，采用Kriging代理模型優(yōu)化算法能有效減少優(yōu)化的計算時間。基于代理模型算法的計算時間包含了建立初始代理模型所用的樣本計算的時間，迭代優(yōu)化時只在不滿足代理精度的情況下才調(diào)用有限元程序，而且變異進化過程都使用代理模型對目標函數(shù)進行預測；但對于單純依靠差分進化算法計算，初始種群建立和變異進化過程中都需要不斷調(diào)用有限元程序進行目標函數(shù)值求解，因此增加了運算時間。對比兩種加點準則的代理模型優(yōu)化算法可以看出，混沌領域搜索加點方法雖然在代理模型更新時單次加入了多點，但更新效率的提高減少了總體的計算時間。

圖7　計算時間對比Fig. 7 Comparison of calculation times

5 結(jié)論

本文從典型航天器力學環(huán)境試驗夾具輕量化設計問題出發(fā)，提出了一種基于混沌領域搜索加點準則的代理模型優(yōu)化方法，并開展了優(yōu)化算例的分析，驗證了該方法的有效性和高效性。通過分析得到以下結(jié)論：

1）Kriging代理模型與智能優(yōu)化算法相結(jié)合，代替原有的動力學輸入輸出關系，能夠最大程度上減少有限元程序分析次數(shù)，特別適合于多工況振動試驗夾具的優(yōu)化設計；

2）代理模型更新過程中，通過進行混沌鄰域搜索加點方法，可以有效提高代理模型的更新效率，縮短總體優(yōu)化設計時間；

3）該方法適用于設計變量可行域不連續(xù)的優(yōu)化問題，是一種通用的、高效的優(yōu)化設計方法，對于解決同類振動夾具的設計與優(yōu)化問題具有一定的參考價值。

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（編輯：肖福根）

Optimization of vibration fixture for spacecraft based on surrogate model

Gao Haiyang1, Feng Yaoqi1,2, Yue Zhiyong1, Zhang Jungang1, Qiu Hanping1
(1. Beijing Institute of Spacecraft Environment Engineering, Beijing 100094, China;
2. Science and Technology on Reliability and Environmental Engineering Laboratory, Beijing 100094, China)

Abstract:In a general design guideline for the spacecraft vibration fixture, its stiffness should be as large as possible without any assembly interference to the tested product. Meanwhile, the weight of the fixture should be as small as possible for the consideration of the vibration test condition. In order to improve the efficiency of the fixture design and avoid problems of FE re-meshing and optimization at each iterative step, the Kriging surrogate model is employed to replace the original dynamical input-output relation. To further improve the efficiency of the surrogate model updating, a new multi-points addition criterion based on the chaos neighborhood search is proposed. It means that not only the current optimal point, but also the correlated points are added to update the surrogate model, which can improve the precision of the surrogate model in a short time. A numerical simulation of a typical spacecraft fixture for the dynamic environment test is performed, and the geometrical parameters of the vibration fixture are optimized. The effectiveness and the high efficiency of the proposed method are demonstrated by the obtained results.

Key words:spacecraft; vibration fixture; Kriging surrogate model; chaotic search

作者簡介：高海洋（1985—），男，博士學位，研究方向包括航天器力學環(huán)境試驗、結(jié)構(gòu)仿真分析與動力學反問題分析。E-mail: eric415@126.com。

基金項目：國家重點基礎研究發(fā)展計劃（973計劃）項目（編號：613133）

收稿日期：2015-05-11；修回日期：2016-01-18

DOI:10.3969/j.issn.1673-1379.2016.01.011

中圖分類號：TB535; TH86

文獻標志碼：A

文章編號：1673-1379(2016)01-0065-07