數學美與大學數學教學

丁巍沈陽師范大學，遼寧沈陽110034

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數學美與大學數學教學

丁巍
沈陽師范大學，遼寧沈陽110034

摘要

通過介紹數學美的本質及其基本特征，并結合《線性代數》及《微積分》課的教學實踐，論述了在數學教學中如何挖掘數學美的特征進行美學教育。

關鍵詞

數學美；大學數學教學；美學教育

大學數學基礎課，不僅是學生掌握數學工具的主要課程，是學生培養理性思維的主要載體，更是學生接受美感熏陶的一種途徑。如果教師在教學過程中能經常自覺地滲透數學美的思想，這對于不斷增強學生的學習興趣，提高學習效果是大有裨益的。筆者在《線性代數》及《微積分》課的教學實踐中，曾經進行過一些有益的嘗試，收到了很好的教學效果。

一、數學美的本質

在數學發展史中，不少數學家對數學中的美作過評價。

古希臘偉大的哲學家亞里士多德指出：“認為數學的科學全不涉及美或善是錯誤的……數學的科學特別體現了秩序、對稱和明確性，而這些正是美的主要形式。”古代哲學家、數學家普洛克拉斯斷言：“哪里有數，哪里就有美。”羅素把數學的美形容為一種“冷而嚴肅的美”“數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美……”龐加萊認為：“一個名副其實的科學家，尤其是數學家，他在他的工作中體驗到和藝術家一樣的印象，他的樂趣和藝術家的樂趣具有相同的性質，是同樣偉大的東西。”懷德黑做了形象的比喻：“作為人類精神的創造，只有音樂堪與數學媲美。”著名數學家波萊爾指出：“數學在很大程度上是一門藝術，它的發展總是起源于美學準則，受其指導，據以評價的。”

從這些論述中，清楚地表明數學美是為數學活動者們親身體驗及感受到的一種存在，數學中包含著豐富的美的因素。

關于數學美的本質，從國內的研究來看，有這樣一些描述：“數學美是一種人的本質力量通過宜人的數學思維結構的呈現”“數學美是數學創造的自由形式”“數學美是真與善的統一”“數學美的本質在于序”，等等。

黑格爾曾經這樣指出：“美可以有許多方面，這個人抓住的是這一方面，那個人抓住的是那一方面。”與其尋求一個對數學美的嚴格定義，不如從總體上把握構成數學美的本質的基本方面。

（一）數學美的客觀性

即指客觀存在于數學領域中的審美對象是不以審美主體是否承認、是否意識到為轉移的，盡管審美主體的主觀條件不同，但并不是所有的或特定的數學美都能為審美主體所感知，這并不能改變數學美的存在。

（二）數學美的社會性

數學美是一種社會現象，因為數學美是對人而言的。數學家通過數學實踐活動，使自己的本質力量“對象化”，或者說“自然人化”了。所謂“人化”，就是人格化，即自然物具有人的本質印記，實質上就是社會化。這種社會化的內容正是數學美的內容，它是數學美產生的本原。

（三）數學美的物質性

數學美的內容——人的本質力量必須通過某種形式呈現出來，必須有附體，數學美的這種形式或附體，即數學美的物質屬性。

（四）數學美的宜人性

即數學美的形式應該使審美主體感到愉悅。審美主體的愉悅性，一方面自然是由審美主體的心理和生理的原因造成的，另一方面，也是最根本的，還在于對象本身是具有足以引起主體愉悅的屬性和條件。簡言之，數學美的形式必須與人的認識，人類心靈深處的渴望在本質上相吻合。

二、數學美的基本特征

數學美是一種科學美，我國著名數學家徐利治教授指出:“作為科學語言的數學，具有一般語言文學和藝術所共有的特點，即數學在其內容、結構和方法上也都具有自身的某種美，即所謂數學美。數學美的含義是豐富的，數學概念的簡潔性、統一性，結構系統的協調性、對稱性，數學命題和模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性都是數學美的具體內容”。這段話是對數學美內容和形式的精辟論述，統一性、對稱性、簡潔性和奇異性可以看成是數學美的基本特征。

（一）數學的統一美

數學美的統一性，是指數學中部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。數與形，本是數學研究的兩個獨立的對象，對它們的研究，分別構成了代數與幾何。然而，通過坐標系的建立，使點與數建立了對應，從而把代數研究的對象與幾何研究的對象——方程與曲線聯系起來，實現了統一。

數學研究的內容浩如煙海，而依布爾巴基學派的觀點來看，可以統一為代數結構、序結構和拓樸結構；歐氏幾何內容繁多、錯綜復雜、變化無窮，然而，它可以統一在五組公理之下。

從數學發展的規律來看，數學的發展將日益證明數學的統一性。為了使龐大的數學體系變得簡單而精確，數學家們經常依據數學各領域的共性，提出統一數學各部分的新觀點、新理論。算子理論、群論、拓樸理論都是與許多具體數學內容統一的結果。公理化方法、結構思想就是從統一性目標出發而提出的建立數學體系的方法。

（二）數學的對稱美

大自然以對稱方式構造了人，給人自身以美的啟迪。藉此，人們發現了一切生物界的對稱結構及至天體和大自然中的種種對稱結構，進而對稱概念上升為一個哲學范疇受到青睞，且促使人們藝術地潛心研究，創造了越來越多的對稱。

在數學中，對稱概念被嚴格化、形式化了，從而更加展示了它的美。具有對稱性的對象常常具有更多更美的性質，從而，更加吸引數學愛好者。例如，圓所具有的最優秀對稱現象；對稱矩陣的形式美及用其特有的對稱性解決求逆陣的簡明，等等，都說明數學中對稱美的內涵和特殊的意義。此外，數學中的所謂對偶空間，共軛空間，對偶命題，互反定理等，何嘗不是具有一定意義下的對稱性質，且包含極其美妙的內容！特別值得一提的是:對稱性常常給我們帶來計算和證明數學問題中的許多方便和簡單。

（三）數學的簡潔美

所謂數學美的簡潔性，按其內涵來看，有些類似于一般藝術欣賞中所說的淺易美。英國學者威廉·奧卡姆認為，在諸多理論中最簡單的那個理論，即是最美的理論，而美的理論才能在競爭中取勝。伽利略說過:“數學是上帝描述大自然的音符。”的確，數學語言本身就十分優美，不可用別的語言來代替。哲學家也承認，世界上沒有任何一種語言比數學語言來得更為簡潔而確切。如牛頓的力學定律、電磁場的麥克思韋方程、愛因斯坦的相對論公式，等等，其描述的自然規律是何等深刻、重要而復雜，但它的數學表達式又是何等的簡潔！這正是數學語言簡潔美的精彩表現。

許多數學分支都引入簡明的公理體系，依賴于它演譯出了深邃而復雜的種種數學學科，如線性空間理論、群論、歐幾里得幾何等，正是建立在幾條簡單公理之上，而堪稱典型的公理化學科，宛如幾根柱石托起一座座精美的高樓，把數學大觀園點綴得光彩奪目。

（四）數學的奇異美

數學美的奇異性特征，即在于“新”與“奇”。它正好迎合于人們在藝術欣賞和科學探索中求新求異的心理意境。奇異有時也近乎荒誕，因而奇異性與通常藝術欣賞中所說的荒誕美、滑稽美有些類似。因為奇異之處，容易使人產生崇高感，在數學中對于新奇的領域和新奇的問題，也可以使數學家產生一種神秘莫測的美感。

奇異是一種美，奇異到極度更是一種美，在某種意義上，數學中的和諧性與奇異性是世界的統一性和多樣性在數學中的反映。客觀世界表現為統一性與多樣性的統一，而數學則是和諧性與奇異性的統一。數學美是數學發展的內在驅動力之一。對于事物的奇美性，培根曾指出:“沒有一樣極美的東西不是在調和中存在著某種奇異。”事物的奇美性往往能給人以一種奇特而新穎的感覺。就數學中的奇異性而言，其中頗有一些“意料之外，情理之中”的意味。生活經驗也告訴我們，凡是新而不平常的東西，總能在人們的心靈深處感受到一種愉悅的驚奇。同時，人們的好奇心也得到了一定程度上的滿足。如果在學習中能引發起學生的這種好奇心，那么就能極大地提高他們的學習效率。

三、在數學教學中進行美學教育

在數學教學中進行數學美審美教學，應當與數學的理論教學及能力培養相結合，充分揭示數學美的特征，把數學美的教育滲透到數學教學過程中去，寓教于樂，使學生在潛移默化之中獲得美的修養。

（一）揭示統一美，使學生知識系統化

在數學學習中，學生的思維程序紊亂現象較為普遍。不少學生習慣于用單一的、孤立的方式思考問題，不善于將已學過的知識歸納整理，形成知識系統，往往滿足于會解某些類型的題目，忽視進一步的概括綜合和挖掘提煉，缺少從整體上把握內容的有效方法。教師如能努力挖掘教材中的潛在因素，充分展示數學美的統一性特征，有利于學生形成良好的知識結構。如線性代數有兩條主線，即一條是向量空間及其上的線性變換的概念和理論，另一條是矩陣的理論，這兩個方面之間有一個聯系的橋梁，就是“基”，這充分展示了數學的和諧美和統一美。對數學教學中的許多問題，教師應適當引導學生進行統一概括，這樣，不僅可以濃縮內容，而且易于解決相應復雜的問題。在數學教學中，應通過揭示數學美的統一性特征，使學生在頭腦中建立“知識鏈”，形成知識網絡，學會整理知識的方法；引導學生體會并理解數學在各分支間的統一美，提高思維的概括性以及綜合運用知識的能力。

（二）展示對稱美，消除思維定勢的影響

例如對稱矩陣，它蘊含豐富的美學因素，所謂對稱矩陣A是指它的元素滿足aij=aji的n階方陣。任何事物的對稱本身就已有了美的神韻，對稱矩陣有一條天然的對稱軸（主對角線），從對稱矩陣外表來看，它就給人一種美的享受。

對稱矩陣是否有美的內涵？當A為實對稱矩陣時，它不僅合同于對角矩陣，而且也相似于對角矩陣，即有正交矩陣P，使得

其中，λ1,λ2,L,λn為A的全部特征值。

上式說明對稱矩陣進行變換后，仍然是對稱矩陣，而且是最簡單的結果。此式顯示了矩陣的整齊對稱美與最終結果的簡潔美。

在教學中，不僅要讓學生領略這種對稱美，更重要的是讓學生自覺地運用對稱性質解決某些具體問題，以提高分析問題的能力。在教學中，教師挖掘數學美的對稱性特征，對學生掌握數學思想方法和訓練學生思維的靈活性，消除思維定勢的影響，會起到重要作用。目前，在數學教學中存在的不注意學生思維過程，不注意知識的發生和發展過程，而一味要學生背題型、套方法的“題型數學”，嚴重阻礙對學生思維靈活性的培養。因此，讓學生樹立對稱美的意識，教會學生從對立的觀點去思考問題，在思維方向的選擇上，既會順向，又會逆向，靈活運用，具有重要意義。

（三）追求簡潔美、培養思維靈活性

簡潔性這一數學美的特征要求人們在學習數學的過程中，把握事物的主要矛盾，把握事物內部最簡單最基本的聯系。而思維的靈活性是指在學習過程中，不糾纏于事物的表面現象，能有意識地從本質上和整體上看問題，注意從事物之間的聯系和矛盾上來理解事物的本質，克服和減少思維的片面性和絕對化。教師在教學中揭示數學的簡潔美特征，能夠促進學生思維靈活性與深刻性的發展。例如，

如果直接求出每個代數余子式Aij，再求和比較麻煩，如注意到伴隨矩陣A*=(Aji)及A*A=|A|E，即A*=|A|A-1，因此，只要求出|A|及A-1，就可通過A*計算代數余子式的和。

許多數學問題，雖然表面形式可能較為復雜，但其本質總有簡潔的一面。如能培養學生對問題進行整體簡化處理，則可化難為易。

（四）尋覓奇異美，培養創造能力

在數學教學中，教師挖掘奇異美應與培養學生的創造性結合起來。學生在學習過程中，雖然不一定能提出新的科學概念或發現新的理論，但所學的知識對于學生來說都是嶄新的、首次遇到的，從這個意義上說，學生在學習過程中是會有創造思維活動的。

例如微分和積分，當初人們是作為互不相干的兩種運算來做，后來竟發現它們是互逆的（以牛頓——萊布尼茲定理為標志），由以下式子表示：d∫axf(x)dx=f(x)dx。即運算d與運算∫ax互抵了。用幾何的語言來敘述是：一條曲線下方的面積（由積分計算）的微分（求微商）竟是曲線本身。

新奇才有藝術，“未曾料到”才引人入勝，這也是數學的魅力、數學的美。數學美的內涵是豐富多彩的，但數學美的諸方面應互相結合，只要在教學中努力挖掘數學美的特征，著意培養學生的美感，必能收到良好的審美教育效果。此外，在數學教學中進行數學美的教育，教師本人的審美能力與美學修養也很重要。在教學中，教師的精練語言、精辟的分析、生動的表達、巧妙的啟發、嚴謹的推理、講究的板書，等等，都是學生學習審美的榜樣。

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（責任編輯：彭琳琳）

文獻標識碼A

中圖分類號G640

收稿日期2015-12-17

作者簡介：丁巍（1961－），男，遼寧沈陽人，沈陽師范大學數學與系統科學學院副教授，碩士，研究方向：矩陣計算及其應用。