基于實(shí)時(shí)跟蹤的ARIMA大壩安全監(jiān)控模型

黃夢(mèng)婧，楊海浪，葉根苗(.河海大學(xué)水利水電學(xué)院，南京 20098；2.河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 20098；.安徽省引江濟(jì)淮工程有限責(zé)任公司，合肥 2000)

大壩在正常運(yùn)行時(shí)能起到巨大的效益，但是一旦潰壩會(huì)給下游造成巨大的損失，因此，確保大壩安全運(yùn)行非常重要，應(yīng)加強(qiáng)大壩安全監(jiān)測(cè)的力度。為了更準(zhǔn)確地了解大壩的運(yùn)行狀態(tài)，一個(gè)重要的方法是建立大壩安全監(jiān)測(cè)模型，并通過(guò)分析變形規(guī)律，對(duì)大壩的安全性進(jìn)行評(píng)價(jià)。能否有效地進(jìn)行大壩變形監(jiān)測(cè)，對(duì)保證大壩的正常運(yùn)行，保障下游人民的生命財(cái)產(chǎn)安全具有重要的意義[1,2]。由于在大壩運(yùn)行的過(guò)程中，大壩的變形過(guò)程較為復(fù)雜，會(huì)受到水壓力、泥沙壓力、揚(yáng)壓力、溫度荷載等各種因素的影響，因此，如何建立一種最為優(yōu)化并具有普遍性的分析模型仍有待研究。

由于在實(shí)際工程中，大壩變形實(shí)測(cè)值的時(shí)間序列一般是不平穩(wěn)的，會(huì)有一定的趨勢(shì)變化。基于此，我們提出建立差分自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA)來(lái)對(duì)此類不平穩(wěn)的時(shí)間序列的變化過(guò)程進(jìn)行分析。為了提高ARIMA模型的精度以及預(yù)測(cè)長(zhǎng)度，使用了實(shí)時(shí)跟蹤算法對(duì)原ARIMA模型進(jìn)行優(yōu)化，即提出基于實(shí)時(shí)跟蹤的ARIMA模型，并將其應(yīng)用于大壩安全監(jiān)控及預(yù)報(bào)中。

1 ARIMA模型

1.1 ARIMA模型定義

差分自回歸移動(dòng)平均模型，這是一種時(shí)間序列建模的方法，基于對(duì)時(shí)間序列特征的分析，并由3個(gè)參數(shù)來(lái)建立模型，參數(shù)分別為自回歸階數(shù)p，差分次數(shù)d和移動(dòng)平均階數(shù)q[3]，模型表示為ARIMA(p,d,q)。

對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列{ct,t=0,±1,…}差分d次后獲得一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列{xi}，滿足式(1)，模型建立為ARIMA(p,d,q)。

xt=∑pm=1φmzt-m-∑qj-1θjat-j+at

(1)

式中：φm(m=1,2,…,p)是自回歸模型的系數(shù)；θj(j=1,2,…,q)為平均滑動(dòng)系數(shù)；at為白噪聲序列。

1.2 ARIMA模型參數(shù)的判定

1.2.1差分化

為了確定非平穩(wěn)時(shí)間序列中d的取值，對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分化。當(dāng)時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)(ACF)和偏相關(guān)系數(shù)(PACF)的序列值趨于穩(wěn)定時(shí)，此時(shí)序列是平穩(wěn)的，否則為非平穩(wěn)，對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列需要通過(guò)d次差分得到平穩(wěn)序列，此時(shí)，ACF和PACF趨于穩(wěn)定且無(wú)顯著地非零，確定模型的差分階數(shù)為d。

1.2.2p、q值的確定

確定適合的p、q值，一般通過(guò)使用貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)[4]或赤遲信息量準(zhǔn)則(AIC)[5]，兩種準(zhǔn)則相比，貝葉斯準(zhǔn)則的收斂效果更好，而赤遲信息準(zhǔn)則的穩(wěn)健性較強(qiáng)，對(duì)于模型中可能出現(xiàn)的過(guò)度敏感的情況可以較好的解決，基于此，可以根據(jù)建模的具體情況選擇合適的準(zhǔn)則，確定模型階數(shù)，從而模型確定。

2 基于實(shí)時(shí)跟蹤的ARIMA模型

2.1 實(shí)時(shí)跟蹤算法對(duì)ARIMA模型的優(yōu)化

在ARIMA模型中，模型階數(shù)的選擇對(duì)模型擬合及預(yù)測(cè)的精度的影響較大，為了保證擬合的精度，有時(shí)會(huì)選擇較高階的模型參數(shù)，然而階數(shù)較高會(huì)對(duì)模型預(yù)測(cè)長(zhǎng)度有所限制。因此，為了在保證模型精度的前提下，提高模型的預(yù)測(cè)長(zhǎng)度，提出使用實(shí)時(shí)跟蹤算法對(duì)原ARIMA模型進(jìn)行優(yōu)化。

實(shí)時(shí)跟蹤算法的主要思想即等維遞補(bǔ)的思想[6]，假設(shè)時(shí)間序列{x1,x2,…,xn}，對(duì)該時(shí)間序列建立ARIMA模型，預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)步長(zhǎng)為k，即通過(guò)模型對(duì)n個(gè)實(shí)測(cè)值進(jìn)行擬合來(lái)預(yù)測(cè)n時(shí)刻后的值{xn+1,xn+2,…,xn+k}，由于時(shí)間序列{x1,x2,…,xn}是不斷更新的，即可以獲得之后的k個(gè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，此時(shí)將最開(kāi)始的k個(gè)數(shù)據(jù)去除，即{x1,x2,…,xn}，用之后獲得的k個(gè)數(shù)據(jù)補(bǔ)充到時(shí)間序列中，此時(shí)，更新的時(shí)間序列為{xk+1,xk+2,…,xk+n}，對(duì)更新的時(shí)間序列重新建立ARIMA模型，進(jìn)行下一步的預(yù)測(cè)，保持時(shí)間序列等維，以此類推，不斷加入最新的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，去除舊數(shù)據(jù)，構(gòu)成了動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)的ARIMA模型群，即為等維遞補(bǔ)預(yù)測(cè)模型。

2.2 基于實(shí)時(shí)跟蹤的ARIMA模型建模步驟

大壩變形的監(jiān)測(cè)量一般為非平穩(wěn)的時(shí)間序列，建立基于實(shí)時(shí)跟蹤的ARIMA的大壩變形監(jiān)控模型建模流程如下：

步驟1。對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，得到差分階數(shù)d，首先，初步判斷時(shí)間序列的平穩(wěn)性，可以通過(guò)時(shí)間序列的折線圖初步估計(jì)，然后通過(guò)相關(guān)圖法以及ADF單位根檢驗(yàn)判斷序列的平穩(wěn)性，對(duì)不平穩(wěn)的時(shí)間序列，通過(guò)差分變換進(jìn)行平穩(wěn)化，得到差分次數(shù)d。

步驟2。模型的定階，即確定模型的p、q值。本文采用BIC準(zhǔn)則(貝葉斯準(zhǔn)則)[8]確定模型中的p、q值。其表達(dá)式為：

(2)

式中：N為樣本總數(shù)；σ2k為方差的估計(jì)。

步驟3。模型的階數(shù)確定后，可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)方法計(jì)算得到模型參數(shù)[7]，比如最小二乘，矩陣估計(jì)等，得到參數(shù)后，檢驗(yàn)at是否為白噪聲序列，不是則必須再次估計(jì)，直到at滿足要求，完成ARIMA模型的建立。

步驟4。使用建立好的模型對(duì)大壩變形數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)。即通過(guò)前n個(gè)實(shí)測(cè)值預(yù)測(cè)未來(lái)k個(gè)時(shí)刻的變形值。

步驟5。對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行等維遞補(bǔ)，即加入最新實(shí)測(cè)的k個(gè)變形值，去除最前的k個(gè)變形值，保持時(shí)間序列的長(zhǎng)度不變，建立新的ARIMA預(yù)測(cè)模型。以此類推，不斷更新數(shù)據(jù)，得到動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)的ARIMA模型群，直到預(yù)測(cè)長(zhǎng)度滿足預(yù)測(cè)要求。

基于實(shí)時(shí)跟蹤的ARIMA模型流程圖如圖1。

圖1 組合模型的計(jì)算流程Fig.1 Calculation flow chart of combined model

3 工程實(shí)例

本文以國(guó)內(nèi)某水電站樞紐為例，該壩為混凝土雙曲拱壩，通過(guò)布置正垂線對(duì)大壩進(jìn)行監(jiān)測(cè)，選取該大壩壩頂某點(diǎn)2012年7月1日-8月15日46組的原始位移觀測(cè)值，將這些數(shù)據(jù)分為兩部分：前40組數(shù)據(jù)用于建模擬合；后6組數(shù)據(jù)用于預(yù)測(cè)，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木取Ｔ摯髩挝灰茰y(cè)點(diǎn)的時(shí)間序列，如圖2。

圖2 大壩變形實(shí)測(cè)值時(shí)間序列Fig.2 Time serious of dam deformation

對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性分析，分析ACF和PACF值的變化趨勢(shì)，未差分前的值如圖3所示。

圖3 大壩變形實(shí)測(cè)值的ACF和PACF系數(shù)Fig.3 ACF and PACF coefficients of dam deformation

由圖3可見(jiàn)，該序列的ACF值和PACF值的大多數(shù)都超出了置信區(qū)間，為不平穩(wěn)的時(shí)間序列，因此，對(duì)原序列進(jìn)行一次差分計(jì)算，差分后的時(shí)間序列見(jiàn)圖4，差分后的ACF系數(shù)和PACF系數(shù)見(jiàn)圖5。

圖4 大壩變形實(shí)測(cè)值一次差分序列Fig.4 First difference serious of dam deformation

圖5 大壩變形實(shí)測(cè)值一次差分序列的ACF和PACF系數(shù)Fig.5 ACF and PACF coefficients of first difference series of dam deformation

經(jīng)過(guò)一次差分，可見(jiàn)大壩變形的一次差分序列圍繞某值上下波動(dòng)且趨于穩(wěn)定，ACF系數(shù)和PACF系數(shù)的波動(dòng)也在置信區(qū)間范圍內(nèi)，因此，認(rèn)為原序列一次差分后為平穩(wěn)序列，基于此，d定為1。

確定差分次數(shù)d后，使用BIC準(zhǔn)則確定模型階數(shù)，從低階到高階依次計(jì)算BIC值，具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 模型的BIC準(zhǔn)則值Tab.1 BIC guideline values of model

由表1可知，p=4,q=4時(shí)BIC值最小，故該ARIMA模型的p值取4，q值取4，即建立ARIMA(4，1，4)模型，對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合及預(yù)測(cè)，擬合曲線見(jiàn)圖6，計(jì)算擬合及實(shí)測(cè)值的殘差序列，如圖7。

圖6 擬合模型比較圖Fig.6 Comparison chart of prediction models

圖7 ARIMA模型與原監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合殘差值Fig.7 Fitting errors of ARIMA model

為了保證擬合的精度，在選擇模型階數(shù)時(shí)選值較大，由圖7可以看出，擬合的殘差值都在1.5 mm內(nèi)，精度較高，但是該模型卻對(duì)預(yù)測(cè)的長(zhǎng)度有所限制，為了在保證模型精度的同時(shí)增加預(yù)測(cè)的長(zhǎng)度，采用實(shí)時(shí)跟蹤算法對(duì)ARIMA模型進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)定模型的預(yù)測(cè)步長(zhǎng)為1，對(duì)未來(lái)6天的變形值進(jìn)行預(yù)測(cè)，將時(shí)間序列進(jìn)行等維遞補(bǔ)，保持時(shí)間序列的長(zhǎng)度不變，建立動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)的ARIMA模型群。將優(yōu)化模型與原模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，見(jiàn)表2。

由表2可以看出，基于實(shí)時(shí)跟蹤的ARIMA模型相對(duì)ARIMA模型在預(yù)測(cè)精度上有所提高，更能反

表2 兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Two predicted values and the relative errors of the model

映出大壩變形的實(shí)際情況，同時(shí)優(yōu)化后的模型對(duì)于預(yù)測(cè)長(zhǎng)度的局限性較小，可以進(jìn)行步長(zhǎng)較長(zhǎng)的變形預(yù)測(cè)。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在ARIMA模型的基礎(chǔ)上，使用實(shí)時(shí)跟蹤算法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，建立基于實(shí)時(shí)跟蹤的ARIMA模型，并應(yīng)用到大壩安全監(jiān)測(cè)中。以某水利工程的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象進(jìn)行建模，與原ARIMA模型相比精度有所提高，預(yù)測(cè)結(jié)果較好，更能反映大壩安全性態(tài)，同時(shí)具有較長(zhǎng)的預(yù)測(cè)步長(zhǎng)，其等維遞補(bǔ)的思想充分利用了數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)信息，值得用于較為復(fù)雜的大壩變形安全監(jiān)控及預(yù)報(bào)中。

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