基于SVM的大壩可靠度分析響應(yīng)面方法

鄭鵬翔，陳 敏(. 中國(guó)電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，杭州 3004；. 河海大學(xué)水利水電學(xué)院，南京 0098)

0 引 言

結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算可以用來(lái)評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性，結(jié)構(gòu)的變量輸入與響應(yīng)量之間的聯(lián)系，往往需要經(jīng)過(guò)復(fù)雜數(shù)學(xué)計(jì)算，而大壩尤其是超靜定結(jié)構(gòu)高拱壩的極限狀態(tài)功能函數(shù)往往是隱式的，難以通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算得到。響應(yīng)面方法RSM(Response Surface Method)[1]常被用來(lái)有效解決功能函數(shù)為隱式的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算中。用響應(yīng)面進(jìn)行可靠度分析時(shí)，最關(guān)鍵的問(wèn)題就是響應(yīng)面重構(gòu)方法和重構(gòu)函數(shù)的選擇[2]。目前，最常用的重構(gòu)函數(shù)為二次多項(xiàng)式，然而二次多項(xiàng)式不能逼近任意精度的響應(yīng)面，用其計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度的精度也是有限的，因此，尋找一種能逼近任意精度響應(yīng)面的重構(gòu)函數(shù)和重構(gòu)方法具有重要意義。

近年來(lái)，常用的能夠逼近任意精度非線性問(wèn)題的方法有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3](Artificial Neural Network，ANN)和支持向量機(jī)[4](Support Vector Machine，SVM)方法。其中，ANN存在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)難以確定、容易陷入局部最優(yōu)和過(guò)擬合等缺點(diǎn)，用其確定的響應(yīng)面計(jì)算的結(jié)構(gòu)可靠度在精度和穩(wěn)定性上均存在一定的缺陷。SVM能夠克服上述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題，并且能有效解決小樣本、高維度的非線性問(wèn)題。本文利用SVM來(lái)重構(gòu)響應(yīng)面函數(shù)方程，針對(duì)復(fù)雜大壩的輸入變量和響應(yīng)量難以計(jì)算的問(wèn)題，采用有限元法，通過(guò)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)有限個(gè)樣本點(diǎn)，將樣本點(diǎn)的輸入變量作為SVM的輸入，有限元計(jì)算結(jié)果為SVM的輸出，通過(guò)SVM對(duì)小樣本的學(xué)習(xí)構(gòu)建響應(yīng)面重構(gòu)函數(shù)，結(jié)合一次二階矩法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度。

1 支持向量機(jī)

通過(guò)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的樣本點(diǎn)具有小樣本的特點(diǎn)，而支持向量機(jī)對(duì)于小樣本的非線性問(wèn)題具有出色的擬合能力。支持向量機(jī)的核心是核函數(shù)，即內(nèi)積函數(shù)，基本思想是通過(guò)核函數(shù)將原本在低維空間中線性不可分的樣本映射到高維空間中，從而變得線性可分[5]。

假設(shè)給定訓(xùn)練樣本集：(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi)∈(Rn×R)，支持向量機(jī)的決策函數(shù)如下：

(1)

s.t.yi=ωTφ(xi)+b+ξi,i=1,2,…,l

(2)

式中：ω為權(quán)向量；ξ為松弛變量，ξ≥0；C為懲罰變量；l為樣本數(shù)。

通過(guò)Lagrange變化可得：

?L?ω=0, ?L?b=0, ?L?ξ=0,?L?α=0

可得：

定義滿足Mercer條件的核函數(shù)k(x,xi)，消去ξi和ω后，得到如下方程組：

(4)

式中：e=[1,1,…,1]T;I為單位矩陣；α=[α1,α2,…,αl]T；Qij=K(xi,xj)，i,j=1,2,…,l。

SVM的核心是核函數(shù)，核函數(shù)的選擇和核參數(shù)的確定至關(guān)重要，本文采用具有較好統(tǒng)計(jì)性能的RBF核函數(shù)[6]：

K(xi,xj)=exp(-g‖x-xi‖2),g>0

(5)

式中：g為高斯核參數(shù)。

最后可得到模型如下：

(6)

懲罰因子C和核參數(shù)g的選取關(guān)系到SVM模型的精度，本文用改進(jìn)的PSO算法[7]對(duì)懲罰因子和核參數(shù)g進(jìn)行尋優(yōu)。

2 基于SVM的大壩可靠度分析響應(yīng)面方法

2.1 SVM偏導(dǎo)數(shù)推求

SVM的最終表達(dá)式如式(6)所示，其偏導(dǎo)數(shù)取決于核函數(shù)的類型。本文選取的核函數(shù)為RBF核函數(shù)，其構(gòu)造的響應(yīng)面方程對(duì)應(yīng)的一階偏導(dǎo)數(shù)如下：

(7)

2.2 基于SVM的響應(yīng)面方法

傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可靠度響應(yīng)面方法通過(guò)循環(huán)重構(gòu)展開點(diǎn)附近的局部響應(yīng)面和搜索設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行迭代計(jì)算，本文利用SVM進(jìn)行響應(yīng)面的重構(gòu)，運(yùn)用驗(yàn)算點(diǎn)法(JC法)計(jì)算設(shè)計(jì)點(diǎn)和結(jié)構(gòu)的可靠度，基本步驟如下：

(1)假定初始展開中心點(diǎn)X(1)(x(1)1,x(1)2,…,x(1)2)，通常取各變量的均值。

(2)通過(guò)正交試驗(yàn)原理設(shè)計(jì)有限個(gè)具有代表性的訓(xùn)練樣本。各隨機(jī)變量在ui±3σ內(nèi)選擇，ui為第i個(gè)隨機(jī)變量的均值，σi為第i個(gè)隨機(jī)變量的均方差。若各隨機(jī)變量服從N(u,σ)的正態(tài)分布，其值在±3σ區(qū)間外的概率不大于0.13%[8]。

(3)將訓(xùn)練樣本的輸入變量代入有限元計(jì)算，可得到各樣本對(duì)應(yīng)的效應(yīng)量。將樣本輸入變量作為SVM的輸入，有限元計(jì)算結(jié)果作為SVM的輸出，進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練可得到SVM響應(yīng)面方程式(6)。為了消除量綱的影響，對(duì)輸入變量和效應(yīng)量進(jìn)行歸一化處理：

X′=0.1+0.8(X-Xmin)/(Xmax-Xmin)

(8)

式中：Xmax、Xmin為每組樣本數(shù)據(jù)的最大值與最小值。

(4)采用驗(yàn)算點(diǎn)計(jì)算SVM響應(yīng)面方程式的結(jié)構(gòu)可靠度β，偏導(dǎo)數(shù)由式(7)求得。

3 實(shí)例分析

為驗(yàn)證上述理論，本文以文獻(xiàn)[9]中的實(shí)例進(jìn)行該重力壩壩踵抗拉強(qiáng)度結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算。該重力壩為1級(jí)水工建筑，設(shè)計(jì)年限為100年，大壩壩高99 m，壩頂寬7 m，擋水壩段的上游面垂直，下游面88 m壩高以上部分垂直，以下部分為1∶0.75的斜坡，壩基面水平。圖1為該重力壩的有限元模型，壩基面向下巖體取1倍壩高，向上游距壩踵、向下游距壩址也取1倍壩高。假設(shè)基巖彈性模量無(wú)限大，其他基本隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表1。

圖1 某大壩有限元模型Fig.1 The finite element model of the dam

根據(jù)重力壩壩踵破壞的失效模式，可以建立極限狀態(tài)方程如下：

Z=σ-g(H1,γc,α)=σ-[σ]

(9)

式中：[σ]為壩踵拉應(yīng)力，該值由有限元計(jì)算得到。

根據(jù)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)隨機(jī)變量為5水平的學(xué)習(xí)樣本：[ui-3σi,ui-1.5σi,uii,ui+1.5σi,ui+3σi]，該例中，共有3個(gè)變量因子，因此可得到25組隨機(jī)樣本，對(duì)這25組隨機(jī)樣本進(jìn)行有限元結(jié)構(gòu)計(jì)算，得到相對(duì)應(yīng)的壩踵拉應(yīng)力值。

表1 隨機(jī)變量及統(tǒng)計(jì)參數(shù)Tab.1 The random variables and statistical parameters

對(duì)25組SVM學(xué)習(xí)樣本根據(jù)式(8)進(jìn)行歸一化處理，對(duì)歸一化后的樣本用SVM學(xué)習(xí)訓(xùn)練，其中核參數(shù)采用改進(jìn)的PSO算法進(jìn)行尋優(yōu)，得到最終的模型如表2所示，SVM學(xué)習(xí)結(jié)果見表3，學(xué)習(xí)樣本的均方誤差FMSE用式(10)進(jìn)行計(jì)算，復(fù)相關(guān)系數(shù)R用式(11)表示。

(11)

表2 支持向量機(jī)參數(shù)表Tab.2 The parameters of the support vector machine

表3 支持向量機(jī)預(yù)測(cè)結(jié)果Tab.3 The predicting results of the support vector machine

由表2和表3可以看出，SVM的預(yù)測(cè)值與有限元的計(jì)算值較接近，可以用SVM訓(xùn)練結(jié)果作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的重構(gòu)函數(shù)。

生成SVM結(jié)構(gòu)響應(yīng)面重構(gòu)函數(shù)后，利用驗(yàn)算點(diǎn)法計(jì)算該大壩壩踵抗拉強(qiáng)度的可靠度，并與文獻(xiàn)[9]中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如表4。根據(jù)材料力學(xué)公式可求出該壩踵拉應(yīng)力強(qiáng)度功能函數(shù)：

Z=σ+99.6γc-9.01αH1-1.55H1-1.84×10-3H31

(12)

根據(jù)式(12)用驗(yàn)算點(diǎn)計(jì)算得到的該壩踵可靠度為3.123。

表4 結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算結(jié)果Tab.4 The predicting results of the support vector machine

由表4可以看出，SVM響應(yīng)面法結(jié)合驗(yàn)證點(diǎn)法的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算結(jié)果與JC法更為接近，而用SVM-Monte-Carlo法計(jì)算的該重力壩壩踵失效概率為JC法的兩倍多，顯然SVM響應(yīng)面法的計(jì)算結(jié)果較SVM-Monte-Carlo法的計(jì)算結(jié)果更為合理，這是因?yàn)榇髩问碌母怕屎苄。肕onte-Carlo法計(jì)算需要計(jì)算較多的次數(shù)，如果循環(huán)計(jì)算次數(shù)太少，則不能保證計(jì)算的結(jié)果可靠性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用支持向量機(jī)對(duì)小樣本、非線性的數(shù)據(jù)具有較好擬合能力，通過(guò)有限元計(jì)算有限個(gè)樣本的效應(yīng)量，建立輸入變量與效應(yīng)量之間的聯(lián)系，構(gòu)造了基于SVM響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式，然后利用驗(yàn)算點(diǎn)法求得結(jié)構(gòu)的可靠度，基于上述算法的可靠度分析方法一來(lái)解決了對(duì)于復(fù)雜水工結(jié)構(gòu)工程難以求出顯示極限狀態(tài)功能函數(shù)的問(wèn)題，二來(lái)不需要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算，大大降低了計(jì)算工作量，提高了計(jì)算精度。

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