He-變分方法在求解廣義（2+1）-Boussinesq方程和（2+1）-KP方程中的應(yīng)用

白　秀，楊培鳳（.呼和浩特民族學(xué)院　數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古　呼和浩特　0005) （.內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院　公共教學(xué)部，內(nèi)蒙古　呼和浩特　00070)

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He-變分方法在求解廣義（2+1）-Boussinesq方程和（2+1）-KP方程中的應(yīng)用

白秀1，楊培鳳2
（1.呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古呼和浩特010051) （2.內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部，內(nèi)蒙古呼和浩特010070)

摘要：利用He--變分方法構(gòu)造廣義(2+1)-Boussinesq方程和（2+1）-KP方程等的孤子解.該方法也可以適用于求解其它非線性偏微分方程的精確解中.

關(guān)鍵詞:偏微分方程；孤子解；He--變分方法；半逆解法

隨著非線性科學(xué)的迅速發(fā)展，非線性微分方程滲透到應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、地球科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生命科學(xué)和工程技術(shù)科學(xué)的諸多領(lǐng)域中，從而求解其解析解和數(shù)值解是揭示其各類屬性方面具有重要的理論意義和實(shí)際意義.近三十多來(lái)，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者在求解非線性偏微分方程的精確解方面做了很多卓有成效的工作，推出很多有效的求解技巧和方法，如齊次平衡法[1]-[3]、輔助方程法[4,5]、Paialeve截尾展開法[6]、Tanh函數(shù)方法[7]、Exp—展開法[8]、變分迭代法[9]、He-變分方法[10,11]、同倫攝動(dòng)方法[12]和廣義（G'/G）-展開法[13]等．這些方法中，He-變分方法具有既簡(jiǎn)單又直接的特性，它基于He—半逆解法[10]建立一種巧妙的變分泛函，進(jìn)而構(gòu)造非線性偏微分方程（組）的孤立子解等精確解.該方法已成功應(yīng)用到求解Benjanmin One方程[14]和吸孤子方程[15]的孤子解中.

本文從文獻(xiàn)[11,14-16]得到啟示，利用變分方法對(duì)廣義（2+1）—Boussinesq方程和（2+1）—KP方程等進(jìn)行求解，成功推出這些方程的孤子解.

1　利用變分法求解廣義(2+1)—Boussinesq方程

著名的廣義(2+1)—Boussinesq方程[17]為

其中參數(shù)a,b,c和d是任意常數(shù),且cd≠0，此方程在淺水波長(zhǎng)波分析和表層多孔滲水物質(zhì)材料的水滲透分析中廣泛應(yīng)用.

根據(jù)變分方法的基本思想，設(shè)行波變換u(x,y,t)=u(ξ),且ξ=kx+ly-λt，對(duì)方程（1）行波約化，再將所得到的低維形式常微分方程經(jīng)兩次積分得到下列二階微分方程：

再利用半逆解法，便得（2）的如下變分公式

設(shè)方程（2）的孤子解為

其中ξ=kx+ly-λt.

再把（5）帶入到（3）里，得到下列雙參數(shù)函數(shù)

同樣，也可以將（5）帶入到(4)得到對(duì)應(yīng)的雙參數(shù)函數(shù)J2(p,q).

為了討論（6）的穩(wěn)定性，求得：

然后，建立如下方程組：

求解上述方程組，得到

所以,廣義(2+1)—Boussinesq方程（2）的孤子解為：

其中ξ=kx+ly-λt.

2　利用變分方法求解（2+1）—KP方程

具有兩個(gè)空間變量與一個(gè)時(shí)間變量的(2+1)—KP方程[18]

其中α為任意常數(shù)，該方程描述弱色散和非線性介質(zhì)微擾現(xiàn)象.

設(shè)行波變換u(x,y,t)=u(ξ),且令ξ=kx+ly-λt，對(duì)方程（14）行波約化，再將所得到的低維形式常微分方程經(jīng)兩次積分得到下列二階微分方程：

再利用半逆解法，可得到（15）的變分公式

為了求解該方程，通過(guò)構(gòu)造下列2種形式的孤子解，能得到方程（14）的解：

情形1設(shè)(14)的孤子解為

其中ξ=kx+ly-λt.

把（18）帶入到（16）里，得到雙參數(shù)函數(shù)

同樣，可以帶入（17）里得到對(duì)應(yīng)的雙參數(shù)函數(shù)J(p,q).

為了考慮(19)的穩(wěn)定性,求得：

再建立聯(lián)立方程組(20)和(21)，并求解得到：

所以，原(2+1)維KP方程（14）的孤子解為：

其中ξ=kx+ly-λt.

情形2設(shè)(14)的孤子解為

其中ξ=kx+ly-λt.

把（25）帶入到（16）里，再對(duì)通過(guò)討論得到的雙參數(shù)函數(shù)的穩(wěn)定性，求關(guān)于參數(shù)p，q的方程組，并求解得到參數(shù)p，q以下解：

所以，原(2+1)維KP方程（14）又具有以下形式的孤子解：

其中ξ=kx+ly-λt.

3　結(jié)論

He--變分方法是求解偏微分方程精確解的有效工具，本文基于He—半逆解法，對(duì)廣義(2+1)—Boussinesq方程和（2+1）—KP方程等進(jìn)行構(gòu)造對(duì)應(yīng)變分公式，進(jìn)而尋找這些方程的孤子解.這些結(jié)果顯示，該變分方法簡(jiǎn)單明了，利用它可以構(gòu)造其它諸多非線性偏微分方程的孤立子解和周期解.

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基金項(xiàng)目:內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目( 2013MS0118),內(nèi)蒙古高等學(xué)校科學(xué)研究資助項(xiàng)目(NJZC13276，NJZZ14210)和呼和浩特民族學(xué)院科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)資助項(xiàng)目(CXTD1402)

收稿日期：2015年10月22日

中圖分類號(hào)：0175.29

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）01-0010-02