一類抽象函數的積分問題

李慶娟（大連財經學院　基礎部，遼寧　大連　116622）

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一類抽象函數的積分問題

李慶娟
（大連財經學院基礎部，遼寧大連116622）

摘要：定積分的計算方法有很多，熟練掌握它的計算方法和技巧在定積分學習中是非常重要的，本文主要是就一類抽象函數的積分求解問題進行探討.

關鍵詞:定積分；換元；中值定理

定積分是一種特殊和式的極限問題，它來源于實際問題并應用到實際問題上，定積分的算法有很多，最基本的是牛頓-萊布尼茨公式，典型的計算方法有第一換元法（湊微分），第二換元法（如倒代換，三角代換等），分部積分法，有理函數的積分法等等.在計算定積分時，被積函數的表達式往往是知道的，根據具體的題目可采用不同的方法，但有時候我們會遇到一類抽象函數的積分問題，即在不知道函數的解析式的情況下，求解相應的積分問題，下面主要以實例分析的形式進行探討.

解從問題出發，可以利用湊微分和分部積分法進行處理

解這個題目與上個題目類似，已知條件中并沒有給出函數f(x)的解析式，其實并不需要先求出它的具體表達式，根據已知條件也求不出來，從已知的第二個等式出發，利用湊微分和分部積分法可得

所以f(0)=3.

例3設函數g(x)連續，且滿足g2(x)=4g(x)，證明：

證明換元令x=2t，并且由已知條件g(2x) =4g(x)得，（定積分性質）

進一步，由積分區間可加性可知

分析本題中的f(x)是無法從已知的關系式中得到的，也無需這樣做，首先考慮到在已知等式中，變限積分的被積函數中含有參數，應將其變換到積分上下限，從而進一步尋找的計算方法.

解換元令2x-t=u，則dt=-du，則

進而兩邊關于x求導

分析由已知條件，根據積分中值定理直接可得，存在點ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0，但問題不是這么簡單，我們可采用同樣的思想，為了證明f(1-η)+f(η) =0，則必須想辦法使被積函數出現f(1-x)的形式.

將首尾兩個等式相加，再由定積分的線性性質可得

進而，由積分中值定理可得，至少存在一點η∈(0,1)，使得f(1-η)+f(η)=0.

通過對以上具體實例的分析，我們掌握了含抽象函數的定積分的求解方法，雖然說不同的題目我們采用了不同的解題方法，但萬變不離其宗，最終都演化到定積分求解的基本方法上來，所以只有我們熟練掌握定積分求解的基本方法和技巧，遇到任何問題時方能迎刃而解.

參考文獻：

〔1〕潘福臣，李慶娟，等.高等數學[M].吉林大學出版社，2014.

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〔5〕吳傳生.微積分[M].高等教育出版社，2009.

收稿日期：2015年11月1日

中圖分類號：O177.6

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）01-0005-02