剖析概念關鍵語，突破教學重難點

魏萍麗

【內容摘要】函數是研究客觀世界變化規律的一個重要模型，也是中學數學的核心概念。初中里，函數是學生數學認識上的一次飛躍，從常量數學轉變到變量數學，學生對函數概念的形成和掌握都有一定難度。教師在設計和組織《認識函數》的教學中，都會遇到同一個疑問——如何對函數概念進行歸納和剖析？本文以函數概念的關鍵語為著力點，一一剖析，逐個擊破，力求攻破教學的重難點。

【關鍵詞】關鍵語 剖析方法 設計意圖 反思

《認識函數》不僅是一堂章節起始課，更是一堂從常量數學到變量數學的認知起始課，而且這種認知還是原有認知基礎的飛躍，因此，函數概念的起始教學顯得更難，也更富有挑戰性。初中課本里對函數概念描述以簡略易懂為宗旨，在教學中，根據學生的認知基礎，對概念的關鍵語進行適當剖析，有助于學生理解函數的本質。

課本函數概念：一般地，在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數，x叫做自變量。

關鍵語一：變化過程中，有兩個變量x和y。

學生困惑：1.較難理解“變化過程中”；2.不理解兩個變量之間的主從關系。

原因概要：學生沒有經過動態變化的體驗，數學思維仍停留在常量的世界里。

剖析方法：

1.“變化過程”，可通過舉例，讓學生體驗動態變化的過程，并用通俗易懂的語言解釋

例如，直棱柱的形狀問題（設底面邊數為n，面數為m）：

若n已知，則m也確定，但如果不知道直棱柱的形狀，則n和m可以取不同的數，即n和m是兩個變量。所以在直棱柱形狀變化的過程中，有兩個變量底面邊數n和面數m。

再如，圓的面積問題（設半徑為r，面積為S）：

若已知r，則S也確定，但如果不知道圓的形狀，則r和S可以取不同的數，即r和S是兩個變量。所以在圓形狀變化的過程中，有兩個變量圓的半徑r和圓的面積S。

設計意圖：學生能從詞面上理解“變化過程”的意思，但并不能理解數學中，為什么“變化過程”是函數概念的前提條件。設計兩個常見的數學實際問題，有利于學生理解“變化過程中，有兩個變量x和y”這一關鍵語。

2.“兩個變量的主從關系”可下列機器模型和表格幫助學生理解

（1）寫出變量x與y之間的內在規則，使得只要知道輸入值就可以得出輸出值。

（2）把表格的缺失部分補充完整。

設計意圖：無論是機器模型還是表格中都用英文單詞“in-out”，以此來幫助學生理解兩個變量以及兩個變量之間的“因果”，“主從”關系，“in”代表首先變化的量x確定一個值，并輸入后，通過某個規則，可以“out”，即輸出一個唯一確定的y值。同時還能幫助學生理解“x叫做自變量”。

關鍵語二：唯一確定

學生困惑：混淆兩個變量之間的幾種關系；不了解為什么“唯一確定”作為函數概念內涵的必要性和合理性。

原因概要：缺乏對“一對一”，“多對一”，“一對多”的比較認識。

剖析方法：

1.探究活動

在古埃及有一個神秘小鎮，古人在鎮上小山的地道里埋藏了很多寶藏。而要進入地道需要破譯很多密碼。

“一對一”

第一重地道門的明碼是“YGVA KEW”，你能否根據破譯規則表寫出這個明碼的密碼？（god is me）

“多對一”

第二重地道門的明碼是“GFVAD Z”，你能否根據破譯規則表寫出這明

碼的密碼？（on hill）

“一對多”

第三重地道門的明碼是“KFMOY Z”，你能否根據破譯規則表寫出這個明碼的密碼？為什么？

設計意圖：

（1）通過比較，理解現實世界中幾種“對應”的方式，“多對一”與“一對一”的特殊意義，有助于對“唯一確定”的理解；

（2）在活動中體會“規則”的重要性，有助于理解“對應法則”在函數模型中的意義。

2.舉例辨析

（1）解析法——算一算

判斷變量y與x滿足下列關系時，y是否為x的函數？為什么？

①y=x2；②y=2x；③y=±x

設計意圖：兩個變量的關系式是否是函數解析式，其判別方法是：任意選取滿足條件的x值，代入關系式，計算結果中y的值是否唯一。

（2）列表法——查一查

辨一辨：上虞國慶黃金周的日最高氣溫如下表：

請問：T是d的函數嗎？

設計意圖：表格中兩個變量是否是函數關系的判別方法是：表格中d的每一個取值下方，T的值是否唯一。

（3）圖像法——畫一畫

下圖是小明放學回家的折線圖，其中t表示時間，s表示離開學校的路程，請根據圖象回答下面的問題：

這個折線圖反映了哪兩個變量之間的關系？路程s可以看成t的函數嗎？

設計意圖：平面直角坐標系中，圖像上兩個變量是否是函數關系，其判別方法是：在圖像范圍內，做橫軸的垂線，與圖像相交，其交點是否唯一（即t每取一個值，是否對應了唯一的s值）。

通過對函數三種常用表示方法的舉例辨析，進一步理解“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，才能說y是x的函數”。

關鍵語三：函數、自變量

學生困惑：“函數”“自變量”這兩個名稱很難直觀表達概念內涵，學生甚至從詞面上錯誤的理解為：“函數”是一個數。

原因概要：“函數”、“自變量”這樣的名稱影響了對其涵義的理解。

剖析方法：了解概念的英文表達方式。

1.函數——function本意：“功能、作用”——自變量取值后，在一定規則的“作用”下變成了函數值。

2.自變量——independent variable本意：“不依賴于誰的變量”。

3.因變量——dependent variable本意：“依賴于誰的變量”。顯然y是依賴于x的變化而變化的。

設計意圖：彌補概念的中文名稱形成的學習障礙，讓學生從名稱的英文解釋中理解函數的關鍵內涵。

反思一：立足本質

數學教學設計及課堂教學組織應立足數學本質，著力解決教學中遇到的疑難問題。基于此，把握課程標準，研透教學目標就顯得十分必要。浙教版教材在編寫意圖和教學建議中闡明“兩個變量之間的函數關系，只有在問題情境中蘊含的數量關系基礎上才能建立，才真正具有意義。因此函數教學中無論是知識的發生過程，還是應用過程，都要充分運用實例，包含可以進行的實驗”。因此在函數概念教學中，選擇學生容易接受的典型情境剖析、探究函數概念，使學生在情境的識別和辨析中逐步體會它的形成過程，并一次又一次的親身感悟，逐步抽象出函數概念，使學生對函數的認識由模糊到清晰、由粗略到精確，這種教學過程是概念教學中值得借鑒的。

反思二：注重過程

現代教育心理學研究指出，學生的學習過程不僅是一個接受知識的過程，也是一個發現問題、分析問題、解決問題的過程。這個過程一方面是暴露學生產生各種疑問、困難、障礙和矛盾的過程，另一方面是展示學生發展聰明才智、形成獨特個性與創新成果的過程。正因為如此，新課程強調過程，強調學生探索新知的經歷和獲得新知的體驗。當然，強調探索過程，意味著學生要面臨問題和困惑、挫折和失敗，這同時也意味著學生可能花了很多時間和精力結果表面上卻一無所獲，但是，這卻是一個人的學習、生存、生長、發展、創造所必須經歷的過程，也是一個人的能力、智慧發展的內在要求，它是一種不可量化的“長效”、一種難以言說的豐厚回報，而眼前耗費的時間和精力應該說是值得付出的代價。

總之，課本是“死”的，而我們的課堂教學卻是“活”的。教學中，一定要注重對課程標準的研究，設計基于學生理解的教法，切勿讓學生死記硬背。因為數學科學嚴謹的推理性，決定了搞好概念教學是傳授知識的首要條件，而學生概念不清，必將表現出思路閉塞，邏輯紊亂，對法則、定理的理解更無從談起。因此，對數學概念的教法，是我們數學教師長期探索的一個課題。

【參考文獻】

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[3] 杜育林. 理解教材是上好課的前提[J]. 中學數學教學參考，2013（4）：14-15.

（作者單位：浙江省紹興市上虞區小越鎮中學）