例談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

■　武漢第三寄宿中學(xué)　王　松

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例談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

■武漢第三寄宿中學(xué)王松

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，每個(gè)人的感悟不盡相同。有的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很快樂，為每一次獨(dú)立思考出來一個(gè)問題感到滿足，長(zhǎng)此以往在數(shù)學(xué)能力上有很大提升，進(jìn)而激發(fā)更大的學(xué)習(xí)熱情；而有的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)很痛苦，對(duì)毫無頭緒的數(shù)學(xué)問題面露難色，由于疑難點(diǎn)的不斷積累，久而久之就滋生厭學(xué)逃避的念頭。作為數(shù)學(xué)教師，我始終在思考如何讓學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)輕、效率高、有樂趣、效果好。我認(rèn)為要讓學(xué)生“樂學(xué)、易學(xué)、會(huì)學(xué)”，關(guān)鍵是在在教學(xué)過程中從以下幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的解決數(shù)學(xué)問題的能力。

一、培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的正確性

學(xué)生解題往往是單向思維，能找到解題方向已不容易，但是由于各種原因?qū)е聦W(xué)生出現(xiàn)會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全的現(xiàn)象。針對(duì)這種情況，要注意對(duì)學(xué)生解答過程的“審、解、驗(yàn)”三個(gè)方面進(jìn)行訓(xùn)練，幫助學(xué)生克服會(huì)而錯(cuò)的問題。

1.重視審清題意，養(yǎng)成良好習(xí)慣

在針對(duì)上面問題教學(xué)時(shí)，學(xué)生很容易做錯(cuò)，此時(shí)要讓學(xué)生盡可能的表達(dá)自己的見解，注意留給學(xué)生消化的時(shí)間，積累經(jīng)驗(yàn)以免下次出錯(cuò)，把審題訓(xùn)練和例題結(jié)合在一起，強(qiáng)化學(xué)生正面的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

2.細(xì)心對(duì)待解答過程，關(guān)鍵步驟不出錯(cuò)

學(xué)生會(huì)在去分母時(shí)，對(duì)常數(shù)1漏乘3（χ+1）這個(gè)公分母，導(dǎo)致結(jié)果算錯(cuò)。教師在備課階段要充分預(yù)測(cè)此類問題的出現(xiàn)，采用多人演板的方式，盡可能的暴露這類問題，讓學(xué)生充分討論并發(fā)現(xiàn)問題，幫助學(xué)生加深印象，以免再次出錯(cuò)，同時(shí)還要提醒學(xué)生養(yǎng)成做題后檢查的好習(xí)慣。

3.認(rèn)真檢驗(yàn)答案，避免出現(xiàn)會(huì)而不全的情況

例3：已知一個(gè)直角三角形中兩邊分別為3和4，求第三邊的長(zhǎng)。

在例3這個(gè)問題中，學(xué)生在認(rèn)識(shí)了最熟悉的勾股數(shù)“3，4，5”后，極易產(chǎn)生漏解情況，導(dǎo)致會(huì)而不全的問題出現(xiàn)。在出現(xiàn)這類問題時(shí)，教師一定要引起高度重視，尤其要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)哪里出了問題，是什么原因?qū)е鲁霈F(xiàn)了問題，進(jìn)而知道自己應(yīng)該注意什么問題，糾正自己思維上的片面性。

例4：已知一個(gè)等腰三角形的兩邊分別為3、8，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)。

例4的難度不大，學(xué)生在明確了等腰三角形的定義后，都能知道分兩種情況予以考慮：（1）腰為3，底為8；（2）底為3，腰為8.但是，對(duì)于能否構(gòu)成三角形這一實(shí)際情況沒有考慮，只是單純計(jì)算出來結(jié)果，由于這一解題盲點(diǎn)，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)。在檢驗(yàn)環(huán)節(jié)出錯(cuò)的現(xiàn)象，是學(xué)生最容易犯的錯(cuò)誤，也是學(xué)生最忽視的問題，針對(duì)這類問題，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)很重要，尤其是出錯(cuò)的經(jīng)驗(yàn)，能幫助學(xué)生不再出錯(cuò)。教學(xué)中要滲透檢驗(yàn)答案與題目是否協(xié)調(diào)的解題意識(shí)，通過正反例子的比對(duì)，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生認(rèn)識(shí)檢驗(yàn)的重要性。

“審題、解答、檢驗(yàn)”是初中生解決數(shù)學(xué)問題的三個(gè)必須的環(huán)節(jié)。培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好解題習(xí)慣，是提高解決問題能力的前提，并不是一朝一夕就能完成的，必須經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間來訓(xùn)練強(qiáng)化，教師應(yīng)在備課、課堂教學(xué)、作業(yè)評(píng)價(jià)、測(cè)試反饋每個(gè)環(huán)節(jié)上不斷幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)、強(qiáng)化學(xué)習(xí)體驗(yàn)，最終轉(zhuǎn)化成學(xué)生能力的提升。

二、注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行遷移

1.針對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行適當(dāng)變式訓(xùn)練

所謂數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練,即是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式,以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化,使其條件或結(jié)論的形式或內(nèi)容發(fā)生變化,而本質(zhì)特征卻不變，也就是所謂“萬變不離其宗”。題目形式的變式訓(xùn)練就是讓學(xué)生同時(shí)練習(xí)那些在知識(shí)、方法上有關(guān)聯(lián)，而在形式上又不同的題目組成的題組，使學(xué)生對(duì)一些基本知識(shí)、方法及重要的數(shù)學(xué)思想加深領(lǐng)會(huì)，達(dá)到觸類旁通的境地。

例5：在直線L兩側(cè)有A、B兩點(diǎn)，試在直線L上找到一點(diǎn)P，使得AP+BP最小.

此問題是抓住“兩點(diǎn)之間，線段最短”及“三角形中兩邊之和大于第三邊”這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，通過作圖發(fā)現(xiàn)符合條件的P點(diǎn)位置，學(xué)生并不是很難理解。我對(duì)此問題作如下變式訓(xùn)練：

變式1：在直線L同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，試在直線L上找到一點(diǎn)P，使得AP+BP最小.

變式2：在直線L同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，試在直線L上找到一點(diǎn)P，使得│AP-BP│最大.

變式3：在直線L兩側(cè)有A、B兩點(diǎn)，試在直線L上找到一點(diǎn)P，使得│AP-BP│最大.

以上變式仍然是以“三角形三邊不等關(guān)系”及“兩點(diǎn)之間，線段最短”為考察內(nèi)容，思維上升到劃歸的層次，操作上要求學(xué)生進(jìn)行軸對(duì)稱變換，通過解決上述問題，讓學(xué)生對(duì)此類問題有了更深的認(rèn)識(shí)，使得學(xué)生的能力得到提升。

變式4：已知P點(diǎn)為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，試在射線OM上找一點(diǎn)A，在射線ON上找一點(diǎn)B，使得△PAB的周長(zhǎng)最小.

變式4是以三角形為背景，是對(duì)變式2的延伸，通過對(duì)前面問題的研究，使得學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，思維上得到升華。

變式5：（2013年武漢市中考）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD 于G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是________．

變式5是2013年武漢市中考中的一道填空題，以正方形為載體，設(shè)置了運(yùn)動(dòng)與最值的考察內(nèi)容，通過取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，實(shí)質(zhì)上就是線段AG兩側(cè)的兩定點(diǎn)O、D，求AG上一點(diǎn)H，使OD-OH值最小的問題，方法與例4是完全一樣的，結(jié)合OD=、OH=1，得到DH最小為。這道題圖形熟悉、方法常規(guī)，但要求學(xué)生對(duì)問題有很高的辨識(shí)能力，對(duì)學(xué)生知識(shí)整合運(yùn)用能力的要求非常高，達(dá)到了對(duì)學(xué)生能力考察的目的，也體現(xiàn)了在日常教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生對(duì)常規(guī)問題辨析能力的重要意義。

針對(duì)數(shù)學(xué)問題的“變式教學(xué)”，在圍繞一兩道數(shù)學(xué)問題中所需反映的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)進(jìn)行一系列的問題變化，使學(xué)生得以掌握與提高，是培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、靈活轉(zhuǎn)換、獨(dú)立思考能力，從而減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

2.針對(duì)數(shù)學(xué)問題適度延伸和拓展

對(duì)問題的延伸和拓展，思考容量大，既包含了對(duì)以往知識(shí)的回顧，又有現(xiàn)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。這種安排方式既讓全體學(xué)生都能在學(xué)習(xí)內(nèi)容上得到發(fā)揮，又使學(xué)生必須“跳一跳，才能摘到果子”，學(xué)有余力的學(xué)生就會(huì)在解題過程中出現(xiàn)強(qiáng)烈的表現(xiàn)欲望，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。因?yàn)槭墙Y(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的習(xí)題，潛能生也要積極參與思考、探究，從其他同學(xué)的解題中受到啟發(fā)，發(fā)展智力、提升能力。

例6：如圖，已知點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)共線，分別以AB、BD為邊在線段AD同側(cè)作等邊三角形ABC、BDE，連接AE 交BC于M，連接CD交BE于N，AE、CD交于F，連接BF.

求證：（1）△ABE≌△CBD；（2）∠AFD=120O；（3）BF平分∠AFD；（4）BF+CF=AF；（5）MF+NF=DF-EF；（6）分別取AC、AD、ED、EC的中點(diǎn)P、Q、R、T，連接PQ、QR、RT、PT，判定四邊形PQRT的形狀；（7）若AB=4，BD=2，求四邊形PQRT的面積.

課堂上設(shè)置以上幾個(gè)問題，是采取階梯提問的方式，一步步引導(dǎo)學(xué)生攀登高峰。問題（1）主要是對(duì)常規(guī)知識(shí)的應(yīng)用與回顧，目的是讓全體學(xué)生都能動(dòng)手，也體現(xiàn)了運(yùn)用全等思想證明線段、角相等的基本思路；問題（2）、（3）、（4）是基本圖形的基本方法與基本結(jié)論的研究，是為了對(duì)問題進(jìn)行延伸與拓展作鋪墊；問題（5）的目的是為了強(qiáng)化問題（4）的學(xué)習(xí)效果，訓(xùn)練學(xué)生識(shí)圖、辨析的能力；問題（6）屬于“中點(diǎn)四邊形”問題，思維上從三角形上升至四邊形高度，體現(xiàn)了四邊形問題與三角形問題的最大區(qū)別在于對(duì)對(duì)角線的研究，進(jìn)一步提升對(duì)對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形為菱形的認(rèn)識(shí)；問題（7）是對(duì)于特定菱形——由兩個(gè)全等的正三角形組成的菱形面積的探究，是對(duì)邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積等于的再認(rèn)識(shí)過程，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形問題，體現(xiàn)了化歸思想的應(yīng)用。

拓展訓(xùn)練：例7：如圖，已知點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)共線，分別以AB、BD為邊在線段AD同側(cè)作等腰直角三角形ABC、BDE，連接AE、CD，延長(zhǎng)AE交CD于F，連接BF.

求證：（1）△ABE≌△CBD；

（2）∠AFD=90°；

（3）BF平分∠AFD；

（5）分別取AC、EC、ED、RT的中點(diǎn)P、Q、R、T，判定四邊形PQRT的形狀；

（6）若AB=4，BD=2，求四邊形PQRT的面積.

例7改變了圖形背景，但方法基本不變，有了前面問題的鋪墊，讓潛能生有了施展本領(lǐng)的機(jī)會(huì)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)了學(xué)生靈活變通的解題素養(yǎng)。

延伸訓(xùn)練：1.將例6中的等邊三角形BDE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，結(jié)論是否仍然成立？

2.將例7中的等腰直角三角形BDE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，結(jié)論是否仍然成立？

延伸訓(xùn)練主要是從運(yùn)動(dòng)的角度看待同一問題，對(duì)于學(xué)習(xí)基礎(chǔ)好的學(xué)生是一次攀登高峰的挑戰(zhàn)，由于運(yùn)動(dòng)過程中，結(jié)論發(fā)生變化，難度變大了，這樣安排培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考的能力，滲透了從特殊到一般、在一般中發(fā)現(xiàn)特殊的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了新課標(biāo)的教學(xué)要求，讓不同層次的學(xué)生均能得到相應(yīng)的發(fā)展，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力。

對(duì)于所學(xué)內(nèi)容的遷移要根據(jù)教學(xué)或?qū)W習(xí)的需要，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律而設(shè)計(jì)，其目的是通過訓(xùn)練，使學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上，把學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，形成技能技巧，完成“應(yīng)用——理解——形成技能——培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過程。因此，教學(xué)中遷移訓(xùn)練設(shè)計(jì)要巧，要正確把握度，要有目的性，要起到引導(dǎo)、激發(fā)學(xué)生思維活動(dòng)的作用。實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)技能和思維訓(xùn)練的重要方式，它能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、獨(dú)創(chuàng)性和靈活性，通過遷移訓(xùn)練，達(dá)到激活學(xué)生思維，提高課堂效率的目的，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

三、倡導(dǎo)“一題多解”，激發(fā)學(xué)生思維的多樣性

一題多解是指學(xué)生針對(duì)同一道試題得出兩種或兩種以上的解答方法，它屬于解題的策略問題。心理學(xué)研究表明，在解決問題的過程中，如果主體所接觸到的不是標(biāo)準(zhǔn)的模式化了的問題，那么，就需要進(jìn)行創(chuàng)造性的思維，需要有一種解題策略，所以策略的產(chǎn)生及其正確性被證實(shí)的過程，常常被視為創(chuàng)造的過程或解決問題的過程。

在課堂上選擇這樣的例題，不僅可以拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，而且對(duì)學(xué)生解題能力的提高也起著非常重要的作用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要倡導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解，要讓學(xué)生在尋找多種答案的過程中提高思維能力。

例8：已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，CD、AE分別是AB、BC邊上的高，求證：AC=2DE.

圖1

圖2

我選擇這道例題講解時(shí)，學(xué)生提供了幾種方法：方法1，（如圖1）發(fā)現(xiàn)A、D、E、C四點(diǎn)共圓，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)△ABC與△EBD相似且相似比為2：1；方法2，（如圖2）分別取AB、BC的中點(diǎn)P、Q，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)△BPQ與△BED全等，由三角形中位線得到AC=2PQ=2DE；等等。由學(xué)生提供的多種解法來看，學(xué)生的思維是沒有受到限制的，在尋找破題思路上，是在自己主觀指導(dǎo)下創(chuàng)造性地尋求解法，并且有部分學(xué)生獲得了成功。在隨后的講評(píng)過程中，通過學(xué)生們的展示交流和老師的點(diǎn)評(píng)，讓全體學(xué)生有了多元化的體驗(yàn)，思維上得到升華，并且自身又選擇性地接受同伴的思路，增加了解題經(jīng)驗(yàn)的積累，從而提升了解題能力。

一題多解不但從實(shí)際上解決問題，為解題提供不同的策略和方法，也為學(xué)生解題思維的培養(yǎng)產(chǎn)生重大意義。這種意義體現(xiàn)在：（1）利于拓寬學(xué)生的思維空間；（2）利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性；（3）利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性；（4）利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；（5）利于鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立個(gè)性的發(fā)展；（6）利于轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。由于一題多解中解法的多樣性、新穎性，促使學(xué)生自主探究、相互進(jìn)行交流與合作。為了尋找更簡(jiǎn)潔的解題方法，學(xué)生會(huì)主動(dòng)查資料，學(xué)習(xí)從不同角度研究問題，還能主動(dòng)與他人合作，分享經(jīng)驗(yàn)，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。

總之，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的，在解題過程中滲透數(shù)學(xué)的思想方法，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成學(xué)生的邏輯思維能力。學(xué)生在解決問題時(shí)經(jīng)歷從“模仿完成——獨(dú)立完成——?jiǎng)?chuàng)造性完成”，讓不同層次的學(xué)生現(xiàn)有的能力均能得到發(fā)展。所以，教師絕不能充當(dāng)“課本的點(diǎn)讀機(jī)”和“答案的復(fù)印機(jī)”，而應(yīng)該創(chuàng)造性地培養(yǎng)學(xué)生能力，真正成為學(xué)生求學(xué)道路上的“引路人”和攀登高峰的“墊腳石”。

責(zé)任編輯鄭占怡