基于加權整體最小二乘的礦區平面坐標轉換方法

汪 洋，陳小軼，楊 旭

（安徽理工大學測繪學院，安徽淮南232001）

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基于加權整體最小二乘的礦區平面坐標轉換方法

汪 洋，陳小軼，楊 旭

（安徽理工大學測繪學院，安徽淮南232001）

摘 要：常用的平面坐標系統轉換模型四參數轉換法在實際工程應用中，由于公共點一般分布在較小的范圍內，點之間的距離較近，因此傳統的四參數轉換模型中旋轉參數和平移參數之間的相關性較大，容易導致法方程病態，進而影響轉換參數的精度，文中從重合點坐標重心化的轉換模型出發，還原出重心化之前的四參數。通過加權整體最小二乘的轉換分析及迭代計算，驗證運用加權整體最小二乘（WTLS）方法轉換的參數質量比最小二乘（LS）、整體最小二乘（TLS）方法得到的參數質量有顯著改善。

關鍵詞：四參數轉換法；最小二乘；整體最小二乘；加權整體最小二乘

平面坐標的四參數轉換是在局部范圍內兩套不同的坐標系統之間最常用的轉換方法，4個轉換參數一般是利用重合點的兩套平面坐標值，通過一定的數學模型進行計算得到的。目前主要使用的是LS方法求解轉換參數，而這種方法認為源坐標沒有誤差，而只對目標坐標進行改正，TLS方法在認為坐標等權的條件下對源坐標和目標坐標都進行改正，這兩種方法與實際的情況不太符合，因此本文提出WTLS方法在顧及了不同坐標值的精度不同的條件下對源坐標和目標坐標進行改正，更加符合實際情況，在統計上也具有明顯的優勢，并且對轉換模型進行重心化處理且還原重心化以前的四參數，解決在一個小區域內的轉換模型的法方程病態問題。

1　坐標系統轉換模型

設有兩個坐標系A和B，A為源平面坐標系，B為目標平面坐標系。A中有一點P的準確坐標為（x1，y1），設該點在相應的目標坐標系中的準確坐標為（x2，y2），則平面四參數的轉換模型為［1－2］

式中：Δx和Δy為坐標平移參數；K為尺度比參數；α為旋轉角參數。

為了方便處理，引入中間參數：

得到

式（1）可變換為

當公共點的數目N＞2，傳統的方法是采用經典最小二乘求解轉換參數，對N個公共點建立誤差方程為

式中：角標Ai表示源坐標系中的第i個點；Bi表示目標坐標系中的第i個點，i＝1，2，…，N。若將上式改寫成整體的矩陣形式：

其中

利用間接平差原理求得參數Z后，將參數P和Q代入式（2）便能得到尺度比參數K和旋轉角參數α。

2　法方程病態處理及WTLS理論推導

2．1 轉換模型重心化處理

在上述模型中，在源坐標系下的點進行旋轉、尺度縮放和平移，旋轉中心為坐標原點，尺度縮放和平移是將原點為起點的矢徑作為對象。在實際工程應用中，公共點一般分布在較小的范圍內，由于點之間的距離較近，上述模型中旋轉參數和平移參數之間的相關性較大，容易導致法方程病態，從而影響轉換參數的精度。針對此問題，可先對重合點坐標進行重心化處理，重新確定平面直角坐標系，再求解四參數。

將N個公共點的源坐標和目標坐標都進行重心化：

其中

式中：（xAg，yAg）和（xBg，yBg）分別為兩套坐標系的重心坐標，確定以后就作為常數處理。這就相當于建立為以各自坐標重心為新的坐標原點的平面直角坐標系，此時各點的坐標已均勻分布其中。重心化后的轉換模型為

將式（8）改寫成整體矩陣形式后，利用最小二乘的間接平差原理同樣可求得重心化后的兩套坐標系統之間的轉換參數（Δx′，Δy′，P，Q）T，這一過程中法方程的病態性已被大大削弱。

由于實際中需要解決的仍是重心化前兩套坐標系統間的轉換問題，上述過程得到的四參數不能直接使用。本文從重心化后的轉換模型出發，還原出了重心化前的四參數。推導過程：

由式（6）和式（7）可得

顯然，右端括號中的各項均與i無關，式（10）與式（3）轉換模型的形式完全相同，也驗證了重心化前后求得的參數P，Q是不變的（旋轉角α和尺度比參數K不變），從而還原出未重心化的兩套坐標系之間的平移參數為

2．2 坐標轉換的EVI模型及誤差轉換分析

在實際應用中，源坐標和目標坐標一般都是觀測所得，因此坐標值都是具有一定誤差的，然而在使用最小二乘求解四參數時，始終認為源坐標沒有誤差，這與實際情況不符，運用加權整體最小二乘可以合理地解決此問題。

假設N個公共點的源坐標和目標坐標向量分別為XA和XB，其方差－協方差陣分別為DXA和DXB。對源坐標和目標坐標分別重心化后得到的向量分別為X′A和X′B，由于重心坐標作為常數處理，因此X′A和X′B的方差－協方差陣仍與未重心化時相同。令先驗單位權中誤差為σ0，可分別得到重心化源坐標和目標坐標的協因數陣：

式（7）的轉換模型為

式中，i＝1，2，…，N，e（＊）均表示對應＊位置變量的誤差部分，因此寫成整體的矩陣形式就是EIV模型［3－5］：

顯然觀測向量L的協因數陣QL＝QX′B，主要的問題在于如何確定列向量化系數陣的協因數陣QA。將列向量化的系數陣vec（A）對重心化后的源坐標向量X′A求導［6］：

式中：m＝2 N，矩陣G∈R（2 N×4）×2 N。由于系數陣A的前兩列均為常數，故矩陣G的前（2 N×2）行均為零。對于后（2 N×2）行，注意特殊導數：

式中：i＝1，2，…，N，根據系數陣的構成規律容易得到

除這些位置外，矩陣G中其它位置均為零，這也便于進行算法實現。獲得矩陣G后，由誤差傳播律，可計算列向量化系數陣的協因數陣：

2．3 WTLS迭代計算

將LS估計的參數結果作為初值，利用基于Newton－Gauss法的WTLS迭代算法便能得到重心化后的兩套坐標之間的四參數，同樣可代入式（11）還原出重心化之前的坐標系統之間的平移參數。

在實際計算中，可將最小二乘的參數估計結果作為初值，進行迭代計算［7－9］：

1）令EA（0）＝0，（0）＝N－1c，N＝ATA，c＝ATL，A（0）＝A－EA（0）＝A，

3　算例分析

以礦區兩套坐標算例數據為例，5個重合點在源坐標系ξ－η和目標坐標系X－Y下的如表1所示。

表1　兩套坐標系下的坐標值　m

已知兩套坐標的權陣分別為

PX－Y＝diag［10 14．285 7 0．892 9 1．428 6 7．142 9 10 2．222 2 3．225 97．692 3 11．111 1］，

通過對以上的權陣求逆便能得到相應的協因數陣。分別運用傳統的LS方法、TLS（各坐標值的權相等）方法和WTLS方法求解四參數［10－15］，計算前，先對公共點坐標進行重心化，在TLS和WTLS計算過程中，迭代收斂精度取為10－10。將各方法的求參結果見表2。

表2　各種估計方法求得的四參數

從表2中可以看出，TLS方法與LS方法的求參結果差異較小，WTLS方法求得的四參數與LS 和TLS方法均有著明顯的差異，可見不同的權值對轉換參數的影響比較大。

3．1坐標殘差對比分析

各計算方法所得的坐標殘差見表3～表5。

表3　LS的坐標殘差　m

表4　TLS的坐標殘差　m

LS方法只對目標坐標進行改正，TLS方法在認為坐標等權的條件下對源坐標和目標坐標進行改正，而WTLS方法是在顧及不同坐標值的精度不同的條件下對源坐標和目標坐標進行改正，更加符合實際情況，在統計上也具有明顯的優勢。

表5　WTLS的坐標殘差　m

3．2 中誤差對比分析［16］

表6給出了不同計算方法所得四參數的中誤差。

表6　單位權中誤差和四參數的中誤差

對表6中的結果進行分析：TLS方法與LS方法相比，四參數的中誤差在保留的位數內并沒有差異，因此TLS方法并未能提高四參數的精度。然而WTLS方法得到的參數中誤差明顯較小，四參數的中誤差分別為TLS和LS方法的92．5%、72．5%、86．4%和74．3%，因此，WTLS方法能夠有效提高四參數的精度。

4　結 論

1）重心化轉換模型可以解決小范圍內坐標轉換過程中法方程病態的問題。

2）WTLS的方法求解坐標轉換模型四參數，可以提高轉換參數的求解精度，并滿足顯著性要求。

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［責任編輯：李銘娜］

A method of planare coordinate system transformation based on weighted total least－wquares adustment

WANG Yang，CHEN Xiaoyi，YANG Xu

（School of Geodesy and Geomatics，Anhui University of Science ＆Technology，Huannan 32001，China）

Abstract：Common planar four parameters coordinate transformation model in practical application has a strong correlation between the rotation parameter and translation parameters，which can lead to the illconditioned equation coefficient matrix and even affect the accuracy of the transformation parameters．That is due to the following reasons：firstly common points are distributed in local region and secondly the distance between those points is short．This paper restores the four－parameter based on the transformation model of common coordinate points centralized to original shape．By using the converting analysis of weighted total least－squares adjustment and iterative calculation，it verifies the quality of converting parameters is greatly improved via the comparison of the WTLS method and the LS，TLS method．

Key words：four parameters conversion method；LS；TLS；weighted total least－squares adjustment

作者簡介：汪 洋（1987－），男，碩士研究生

收稿日期：2015－04－09；修回日期：2015－08－20

中圖分類號：P216

文獻標識碼：A

文章編號：1006－7949（2016）01－0034－05