魚群互利共生動力學(xué)模型的穩(wěn)定性分析

王斌斌熊煥煥張海亮（浙江海洋學(xué)院，浙江舟山316000）

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魚群互利共生動力學(xué)模型的穩(wěn)定性分析

王斌斌熊煥煥張海亮
（浙江海洋學(xué)院，浙江舟山316000）

摘要：通過對經(jīng)典種群動力學(xué)模型的改進(jìn)，建立了互利共生魚群的動力學(xué)模型。利用非線性微分方程穩(wěn)定性理論,得到了互利共生魚群動力學(xué)模型的平衡點(diǎn)，并對其平衡點(diǎn)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。文章最后從魚群的演化角度解釋了相應(yīng)的變化過程。

關(guān)鍵詞：互利共生；動力學(xué)模型；穩(wěn)定性

1引言

關(guān)于種群問題，Malthus在《人口原理》一書中提出著名的Malthus人口模型，荷蘭生物學(xué)家Verhulst建立了logistic模型，這些模型都準(zhǔn)確的預(yù)測了當(dāng)時的人口數(shù)量變化。那么，對于海洋中的魚群而言，是否可建立類似的模型來探討魚群的變化規(guī)律呢？

20世紀(jì)40年代，Lotka和Volterra建立了種間競爭關(guān)系的理論基礎(chǔ)，提出了著名的Lotka-Volterra模型，為魚群及其它種群問題的研究開辟了新的模型研究方式。在魚群生態(tài)系統(tǒng)里，一般研究具有捕食關(guān)系的魚群競爭模式與非捕食關(guān)系的魚群競爭模型，且后者更具有普遍性。在非捕食的關(guān)系中，研究者對種群的相互競爭做了大量的研究，但缺少對互利共生方面的動力學(xué)模型的研究，為此有必要去建立魚群互利共生的動力學(xué)模型來探討海洋中魚群的數(shù)量變化規(guī)律。

2互利共生模型的建立

海洋捕撈者都希望掌握或了解魚群的變化規(guī)律，甚至希望某些魚群能夠按照他們意愿而發(fā)生相應(yīng)的變化，這樣有利于獲得最大的經(jīng)濟(jì)價值。通過建立魚群動力學(xué)模型來分析魚群隨時間的演化規(guī)律，預(yù)測它們的發(fā)展趨勢，是一種常用的方法。本文通過改進(jìn)Lotka-Volterra模型，建立互利共生魚群的動力學(xué)模型。

對于魚群甲，當(dāng)魚群乙在同一區(qū)域生存時，由于兩個魚群之間互利共生，勢必會促進(jìn)魚群甲的增長。即魚群乙的存在對魚群甲的增長產(chǎn)生積極的影響，需要對lo?gistic模型增加了互利共生的項，給出了類似Lotka-Volt? erra模型的模型。

我們給出的魚群甲的動力學(xué)方程為

類似魚群甲，魚群乙互利共生的動力學(xué)方程：

在logistic模型的基礎(chǔ)上，通過引進(jìn)互利共生項，并且用b1、b2來具體刻畫魚群互利共生的強(qiáng)弱機(jī)制，建立了合理的魚群互利共生的動力學(xué)模型(1)、(2)。

3魚群模型的穩(wěn)定性分析

所建立的魚群互利共生模型在什么情況下保持系統(tǒng)的平衡？如何使魚群在一個相對平衡的狀態(tài)下生存？這可以通過對上述給出的互利共生的模型(1)、(2)穩(wěn)定性分析來得到。

模型(1)、(2)的平衡態(tài)方程為

由式(3)可求得4個平衡點(diǎn)：

下面分別對這些平衡點(diǎn)討論它們的各自的穩(wěn)定性。求導(dǎo)計算得：

對于魚群的平衡態(tài)A1(0,0)，代入(4)式可得

特征方程為

對應(yīng)的特征方程的解為

如果b2< -1，那么平衡態(tài)為穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。如果b2> -1，那么平衡態(tài)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

對應(yīng)的特征方程的解為

1點(diǎn)。如果b1> -1，那么平衡態(tài)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

對于魚群的平衡態(tài)

A4((1+b1)/(1-b1b2),(1+b2)/(1-b1b2))，代入(4)式得

4結(jié)論

本文建立了互利共生魚群的動力學(xué)模型，求出了其4個平衡態(tài)點(diǎn)，并且討論了它們各自的穩(wěn)定性。當(dāng)兩個魚群在海洋中生存時，它們的演化規(guī)律有如下幾條：

1、當(dāng)b1> -1，b2> -1，即二種魚群為雙方各自提供生長資源時，兩種魚群互相促進(jìn)兩種魚群的生長，互相的存在有利于它們的生長。隨著時間的變化，整個魚群將會向A4演化，達(dá)到雙方共存的穩(wěn)定的狀態(tài)。

2、當(dāng)b2< -1或b1> -1時，乙魚群的存在，增加了甲魚群生成資源，而甲魚群的存在，減少了乙魚群生長資源。因此魚群乙的存在促進(jìn)了魚群甲的生長，魚群甲的存在抑制了魚群乙的生長，整個魚群將會向A2演化。

3、當(dāng)b1< -1或b2> -1時，即乙魚群的存在，減少了甲魚群的生成資源，而甲魚群的存在，增加了乙魚群生長資源。魚群乙的存在抑制了魚群甲的生長，魚群甲的存在促進(jìn)了魚群乙的生長，整個魚群將會向A3演化。

4、當(dāng)b1< -1，b2< -1時，，A4為鞍點(diǎn)，兩種魚群互相的減少原有資源，兩個魚群互相之間達(dá)不到促進(jìn)的作用，整個魚群將遠(yuǎn)離A4。

基金項目：浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新活動計劃（新苗人才計劃）項目立項資助項目（2015R411035）

中圖分類號：U693+.9

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006－7973（2016）01－0075－02