將數學建模案例思想融入高等數學教學中

周艷麗++++閔建中

摘 要： 在高等數學教學中運用數學建模思想，對培養學生的數學應用能力、實踐能力和創新能力是一條有效途徑。本文主要討論將數學建模思想融入高等數學教學中的方法、作用和意義。

關鍵詞： 高等數學教學 案例 數學建模思想

1.引言

高職高專教育培養學生要有較強的職業綜合能力和解決實際問題的能力，而傳統的教學內容和方法存在一個最重要的問題就是理論與實際聯系不夠緊密，其后果是，學生學了不少數學知識，但不會應用。案例教學法作為一種新型的教學方法不僅已遍及美國，而且早已波及美國以外的國家，我國的案例教學法也有20多年的歷史。據調查，在分析能力培養方面，案例教學法居第一位，在知識傳授、學員對知識的接受程度、知識保留的持久性等三個方面案例教學法均居第二位，在態度轉變和人際關系能力培養上居第四位。可見，適度應用案例教學發輔助數學教學，有利于提高學生的實際解決問題的能力和數學素質。

我校自2009年參加全國大學生數學建模以來，一直注重在高等數學教學程中融入數學建模思想，注重培養學生數學建模能力。全國大學生數學建模競賽是由教育部高教司和中國工業與應用數學學會于1992年創辦，每年一屆，目前已成為全國高校規模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規模最大的數學建模競賽。2015年，來自全國33個省/市/自治區（包括香港和澳門特區）及新加坡和美國的1326所院校、28574個隊（其中本科組25558隊、專科組3016隊）、85000名大學生報名參加本項競賽。

實踐表明，將數學模型案例融入到高等數學教學中，對培養學生觀察能力，抽象思維能力，邏輯推理能力，數學運算能力，更新數學知識能力，以及分析、解決實際問題的能力能起到重要作用，有利于培養有創新精神的復合型人才。目前教育界已達成共識，應實現從以傳授知識為主要目標的繼承性教育轉變到以培養能力為主要目標的創新教育。在數學教學中在傳授知識的基礎上，重視培養學生的能力，提高學生的素質，特別注重學生的創新意識、創新思維與創新能力的培養。為此，要全面提高大學生的素質，培養有創新精神的復合型人才，還要在平時的高等數學教學過程中融入數學建模思想，起到“潤物細無聲”的作用。

2.通過案例在概念教學中融入數學建模思想

數學發展的根本原動力，不是來自它的內部，而是來自它的外部，來自客觀實際的需要。因此我們在數學建模思想的融入中，主張突出數學思想的來龍去脈，揭示數學概念和公式的實際來源和其應用[1]。例如，我國古代數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術，就是數學建模思想在極限概念上的應用。當正多邊形的邊數越大，則內接正多邊形的面積與圓的面積就越接近。學生隨著正多邊形的邊數的增加對極限的概念有了深刻了解，然后從實際問題中抽象出數學概念的過程，引出數學概念。從提出問題到解決問題，讓學生積極參與教學中，大大增強了教學效果。其他概念如導數、定積分、極值、微分方程等均可以從實際案例引入，從而激發學生的求知欲，使其由被動學習到主動研究。

3.應用性案例激發學生學習熱情，培養學習興趣，提高學生的應用能力

要激發學生對高等數學的學習興趣，培養學以致用的意識和能力，關鍵是激發他們對數學重要性和實用性的再認識。在教學過程中適當引入與課堂知識相關的簡單數學模型案例是行之有效的方法。數學模型本身就是用數學方法解決實際問題的手段和橋梁，直接面向現實，走進生活，使學生很容易領悟到數學工具在解決實際問題中的強大威力，如通過對工程、生物、人口、醫藥、環境、市場預測、金融、保險業務分析等數學模型案例的研究及將工程技術領域的新知識、新技術、新內容、新工藝、新案例及時反映到教學中，學生能真切感受到數學知識在各領域中的應用，使學生深刻體會到數學是解決實際問題的銳利武器，有利于教學中貫徹理論和實際相結合的原則，從而激發他們的學習熱情和興趣，可以大大提高學生的分析問題和解決問題的能力。下面通過具體的案例說明在教學中如何融入數學建模思想。

在講授閉區間上連續函數的介值存在定理時，除了一些常規的介值定理應用例子之后，特選了如下案例[2]：在一塊不平的地面上能否把一張方桌放穩？這是個在日常生活中司空見慣的實例，學生首先感到很熟悉，帶有親切感。問題雖然看似簡單，但是怎樣才能將它與今天所學的數學知識聯系起來呢？這個案例激發了他們對問題的好奇心和學習的興趣，促使他們思考問題和分析問題。下面引導學生學會分析問題。

問題分析：（1）憑經驗桌子腿有“缺陷”是放不穩的；（2）在有臺階的地方或地面“崎嶇”也是方不穩的。

問題轉化：證明桌子放穩即四個腳與地面距離為零。

問題解決：（1）用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來：（a）（椅子位置）利用正方形“椅腳連線”的對稱性，用（對角線與x軸的夾角）表示椅子位置；（b）（四只腳著地）椅腳與地面距離為零，距離是θ的函數；（c）四個距離（四只腳）利用利用正方形的對稱性轉化為兩個距離。

（2）設A、C兩腳與地面距離之和f（θ），B、D兩腳與地面距離之和g（θ），則f（θ）和g（θ）均為連續函數，又因為在任何位置，至少有三條腿著地，即對任意θ，f（θ），g（θ）至少一個為0。

（3）轉化為數學問題：已知：f（θ），g（θ）是連續函數；即對任意θ，f（θ）g（θ）=0；且g（θ）=0，f（0）>0。證明：存在θ■，使f（θ■）=g（θ■）=0。

這是個看似和數學問題毫無關系的生活實例，通過數學建模的手段轉化為一個簡單的數學問題，同時又能用當堂所學知識解決。這樣能加深學生對本課程知識應用價值的理解，有利于學生能力的訓練。同時體現了學以致用的價值，消除學了而不會用的尷尬局面。

類似的案例很多，如：在講完一元函數極值后可以引入易拉罐設計問題。在定積分的應用中，讓學生先了解定義積分的概念意義及“四步曲（即分割、取近似、求和、取極限）”，是利用定積分解決實際問題的關鍵。作為積分的實際應用，除了介紹功、引力等物理和體積、面積等幾何應用外，還可以介紹社會、經濟應用問題，比如存貯問題[3]。在微分方程中，結合一些人們所關心的一些實際的問題，體現數學建模思想融入高等數學的重要性。如對人口發展的預測（人口模型），新產品的銷售問題，放射性廢物的處理問題，SARS和HIV等疾病的傳播機理，等等[4]。通過這些實例，讓學生了解到數學在科學的發展過程中的重要作用，更重要的是學生體會到在真正的應用中還需繼續學習，使學生能將學過的數學知識與方法應用于實踐。結合日常生活中的實際問題進行建模，讓學生實實在在地體會到數學就在我們身邊，所學數學知識與日常生活及現代科學技術是密不可分的，使學生在分析實際數學建模案例過程中體會數學的樂趣與應用價值，從而達到培養學生解決實際應用問題能力的目的。

4.課后實踐，加強實際解決問題的能力

由于課時有限，課堂上沒有足夠的時間讓學生進行數學建模，因此只能適當延伸到課外，給學生布置一些較典型的、貼近生活的實例，如全國大學生數學建模競賽的相關題目：手機套餐優惠問題、捕魚問題、洗衣機節水問題、養老金的問題、公交車調度、養豬問題、DVD租賃問題、紅綠燈設置、眾籌建房問題等。要求三個同學一組，以團隊的形式共同進行研究，小組成員相互協作各盡其能，應用數學建模思想解決問題，寫清解題思路和方法，從而提高學生建模能力，這樣為將來參加全國大學生數學建模競賽奠定了基礎[5]。

5.數學模型案例選擇的原則

（1）案例要符合生活實際，使學生真正感覺到數學來自生活實際，又能經得起實踐的檢驗。

（2）案例內容取材廣泛，而且能反映多個領域，反映科技進步，反映現實生活。豐富生動的內容有利于擴大學生的知識面，提高學生學習興趣。

（3）明確主旨，模型案例在教學過程中應作為插件，故內容僅僅集中針對該門課程的概念和重要內容，不要遍地開花。

（4）建模和求解的方法盡可能與本課程的知識相聯系。這樣能加深學生對本課程知識應用價值的理解，有利于學生能力的訓練，同時體現了學以致用的價值，消除學了而不會用的尷尬局面。

6.數學建模案例融入高等數學的意義

數學模型案例可培養學生的創造能力和解決實際問題的能力的發展而不僅僅是獲得固定基本概念、定義、定理。它所解決的是如何用更有效的方式獲得這些知識。數學模型案例教學是一種動態的、開放的教學方式，改變了數學課程那種僅僅依賴由教師單項傳輸知識的模式。它提高了學生在學習過程中的參與度，學生的主觀能動性在建模過程中能得到充分發揮。好的模型案例能引起學生學習數學知識和方法的濃厚興趣，并激發他們自己解決相關實際問題的欲望，因此數學模型案例有助于促進獨立思考和創新意識的培養。數學模型案例讓學生了解和逐步應用所學的數學知識和方法解決實際問題的全過程，在解決案例的過程中還反映了學生對數學原理、數學方法、建模方法等多方面內容的掌握和應用的能力，鍛煉了學生綜合運用各種理論知識、經驗分析和解決問題的能力。因此數學模心案例有助于促進在實際工作中非常需要的綜合應用能力的培養。正如中國科學院院士李大潛提出：“一定要將數學建模的精神融入到數學類主干課程中，才能算是真正牢固地占領了陣地。”[1]

7.結語

融入數學模型的數學教育，能活躍數學課堂氣氛，充分鍛煉學生的思維能力和動手能力不斷提高學生運用數學解決實際問題的能力，真正把數學從一門單純的知識變成一種實用的技術。數學教學應融入數學建模思想，全面提高學生的數學能力，為我國培養更多的富于競爭力的人才作出應有的貢獻。實踐證明，在教學中體現數學建模的思想，注重培養學生解決世紀問題的能力，是數學教育改革的發展方向“學數學”是為了“用數學”，我們應該努力創造機會，讓學生自己動手解決一些簡單的實際問題，并強調對運用數學的方法進行推演或計算的結果，能用一般人能領會的語言“翻譯”出來，即用非數學的、非技術的語言描述結果。因此將數學建模的思想滲透于高等數學教學中，既符合當前素質教育對高等數學教學提出的要求，又是切實可行的方法。

參考文獻：

[1]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學數學，2006（1）：9-11.

[2]周義倉，赫孝良.數學建模實驗[M].西安交大出版社，2007.

[3]姜啟源，謝金星.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]徐全智，楊晉浩.數學建模[M].高等教育出版社，2003.

[5]張勇，黃廷祝，傅英定.數學建模思想融入微積分課程教學初探[J].2010，26（2）：158-160.