由一道物理題引發(fā)的對繩子張力的討論

梁依斌

摘 要： 文獻(xiàn)及很多大學(xué)物理教材和解題指導(dǎo)書的《剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)》一章都出現(xiàn)了一道關(guān)于繩子張力的習(xí)題。這些題中對繩子張力的分析都是錯(cuò)誤的，有些教材甚至給出滑輪與繩子之間的摩擦力忽略不計(jì)的條件，這顯然也是錯(cuò)誤的，給學(xué)生造成誤導(dǎo)。學(xué)生對“同一根繩上的張力處處相等”的結(jié)論印象深刻，這種知識負(fù)遷移影響令學(xué)生對繩子張力問題更費(fèi)解。本文指出了教材和參考書對本題敘述和分析的疏漏，并對繩子張力進(jìn)行了討論。

關(guān)鍵詞： 剛體 繩子張力 知識遷移

1.引言

由西安通信學(xué)院朱峰老師主編的《大學(xué)物理》[1]及很多其他版本的《大學(xué)物理》教材和解題指導(dǎo)書上都有這樣一道或者與之非常相似的題：一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質(zhì)量分別為m和M的物體，且M>m。滑輪可看做是質(zhì)量均勻分布的圓盤，其質(zhì)量為m′，半徑為R，轉(zhuǎn)軸垂直于盤面通過盤心，如圖1所示。由于軸上有摩擦，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦阻力矩為M■的作用。設(shè)繩不可伸長且與滑輪間無相對滑動(dòng)。求物體的加速度及繩中的張力。

在該題的分析中有這樣的敘述：“在滑輪繞軸做加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它必須受到兩側(cè)繩子的拉力所產(chǎn)生的力矩，以便克服轉(zhuǎn)動(dòng)慣性與阻力矩的作用。”在其他物理教材及習(xí)題指導(dǎo)書上對于類似的物理模型幾乎都是這樣敘述的。這樣的表述讓學(xué)生非常疑惑，因?yàn)榛喪艿降牟⒉皇抢K子的拉力產(chǎn)生的力矩，而是繩子對滑輪的靜摩擦力產(chǎn)生的力矩；其次，本題中滑輪兩側(cè)繩子中的張力不相等，高中階段提到繩子的張力，每位教師都不忘提醒學(xué)生“同一根繩子上的張力處處相等”，但沒有給此結(jié)論的附加條件，而該結(jié)論往往是學(xué)生解題時(shí)要用到的重要關(guān)系之一，因此，學(xué)生對此印象深刻。基于以上幾點(diǎn)，很多學(xué)生對此題的討論與解析有很多疑慮。本文就這幾個(gè)問題展開相關(guān)討論。

2.對原問題力矩的分析

繩的張力屬于彈性力，其本質(zhì)是原子間或分子間的電磁力，是由于組成繩的微觀粒子之間的電磁相互作用力而產(chǎn)生的。當(dāng)繩子的兩端受到沿繩方向的拉力時(shí)，構(gòu)成繩的分子偏離了原來的平衡位置，從而繩子內(nèi)正負(fù)電荷的分布發(fā)生畸變，原有的電磁力平衡狀態(tài)被破壞，使分子間出現(xiàn)引力或斥力占優(yōu)的情況，亦即產(chǎn)生張力。從繩子張力的產(chǎn)生機(jī)理來看，繩子的張力具有“被動(dòng)”的特點(diǎn)，即外力作用使繩子發(fā)生形變時(shí)，才產(chǎn)生張力，而且張力的大小、方向與外力迫使繩子發(fā)生的形變有關(guān)。設(shè)想在張緊的繩子上某位置作一假想的橫截面，在假想的橫截面兩側(cè)繩被分開的兩部分之間相互施加的繩內(nèi)拉力就是繩橫截面的張力，屬繩的內(nèi)力，張力的方向沿繩的切線并指向繩伸長的方向[2]；此外，繩子的兩端和與之相連接的物體之間也存在相互作用的張力，屬繩所受的外力，物體對繩的拉力方向也是沿著繩子切線并指向繩伸長的方向。因此，繩子的張力是繩上相鄰兩部分之間或繩子與和它相連接的物體之間的相互作用力。

顯然，上述題中繩子的張力并沒有作用在滑輪上，因而不可能對滑輪產(chǎn)生力矩。滑輪是因?yàn)槭艿嚼K子的靜摩擦力的力矩才加速轉(zhuǎn)動(dòng)的。

3.對原問題的解析

滑輪及兩側(cè)物體的受力如圖2，設(shè)兩側(cè)繩子中的拉力分別為T■和T■，兩側(cè)繩子在A、B兩點(diǎn)的橫截面分別受張力T■′和T■′，對與滑輪接觸的AB段繩子而言，繩子內(nèi)部的張力屬內(nèi)力。如果不計(jì)繩的質(zhì)量，則T■′=T■，T■′=T■。同時(shí)，也是由于不計(jì)繩子質(zhì)量，相對于轉(zhuǎn)軸而言，AB段繩子受到的外力矩之和為零，即T■′、T■′，以及滑輪對繩子的靜摩擦力f的力矩之和為零。而靜摩擦力沿著相對運(yùn)動(dòng)趨勢的負(fù)方向，即沿著滑輪的切線方向，則T■′、T■′與靜摩擦力的力臂均為R，因此得T■′R-T■′R-fR=0

從而f=T■′-T■′

而對滑輪受到的繩的靜摩擦力f′與f為作用力和反作用力的關(guān)系，因此有

f′R-M■=Jβ=（■m′R■）β

對于上下做平動(dòng)的兩物體，可以視為質(zhì)點(diǎn)，由牛頓第二定律得

對m：T■-mg=ma

對M：Mg-T■=Ma

繩子與滑輪之間無相對滑動(dòng)，因此滑輪邊緣上一點(diǎn)的切向加速度和物體的加速度相等，即

a=a■=Rβ

聯(lián)立以上方程，便可得到物體加速度a及繩中張力T■、T■。

對于類似的問題，有的教材[3]給出滑輪與繩子之間的摩擦力忽略不計(jì)的條件，這顯然是錯(cuò)誤的，這也是因?yàn)槌鲱}者錯(cuò)誤地理解為是繩子的張力對滑輪施加了力矩，而不是繩子對滑輪的靜摩擦力的力矩。顯而易見的是，如果忽略繩子與滑輪之間的靜摩擦力，滑輪則不可能轉(zhuǎn)動(dòng)起來，而繩子也不可能與滑輪之間沒有相對滑動(dòng)。此外，若能在題中說明不計(jì)繩子的質(zhì)量則更嚴(yán)謹(jǐn)。

4.繩子的張力處處相等嗎

顯然，上述題中同一根繩子在滑輪兩側(cè)的張力是不相等的。這與中學(xué)老師強(qiáng)調(diào)的“同一根繩上的張力處處相等”是矛盾的，由于思維定勢的負(fù)遷移影響，學(xué)生感覺同一根繩上張力不相等很費(fèi)解。其實(shí)，“同一根繩上的張力處處相等”的傳統(tǒng)結(jié)論是一種理想情況，是需要有附加條件的。實(shí)際的生活與生產(chǎn)中，幾乎不存在繩子的張力處處相等的情況。學(xué)生在中學(xué)時(shí)遇到的相關(guān)物理問題，基本都是輕繩（不計(jì)繩子的質(zhì)量）、輕質(zhì)滑輪（不計(jì)滑輪的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）、與繩子相連接的物體則可以視為質(zhì)點(diǎn)等理想化模型的情況。學(xué)生不明白這一點(diǎn)，曾經(jīng)習(xí)得的知識負(fù)遷移嚴(yán)重，才對該問題中兩側(cè)繩子的張力不相等非常費(fèi)解。

根據(jù)前面談到的繩子張力的本質(zhì)，繩子各處的張力是否相等，取決于繩子各部分分子偏離原來的平衡位置的程度的高低，即取決于各部分繩子的“橫截面”兩側(cè)正、負(fù)電荷的畸變情況，籠統(tǒng)地說“同一根繩上的張力處處相等”顯然是不全面的，下面的例子用于說明這一點(diǎn)。

如圖3所示，質(zhì)量均勻分布的繩子長為L，質(zhì)量為M，置于光滑的水平面上，在繩的一端施加拉力F，以繩的左側(cè)端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正向，對整段繩子，有F=Ma，則繩中距左側(cè)長處的張力大小為T=■M·a=■F，因此繩上的張力并非處處相等。

圖3 圖4

如圖4所示，質(zhì)量為M的細(xì)繩懸掛于天花板上的A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)處的切線方向與天花板的夾角為θ，對整段繩而言，繩子受重力及A、B兩點(diǎn)處天花板的拉力T，繩子內(nèi)部的張力屬內(nèi)力。繩子在三個(gè)外力作用下平衡，則豎直方向合力為零，即2Tsinθ=Mg，則T=■。若截取左側(cè)半段繩子來研究，則左側(cè)半段繩子受到A處天花板的拉力T、重力及O點(diǎn)處繩的張力T′，如圖5所示，繩子受到的水平方向的合力為零，可得到Tcosθ=T′，由此可見，O點(diǎn)處繩的張力T′與A、B兩點(diǎn)處繩的張力也不相等。用同樣的方法，可以得到繩左右兩側(cè)對于中心軸線對稱的點(diǎn)的張力大小相等，方向沿各自的切線方向，但左側(cè)和右側(cè)繩上的不同點(diǎn)的張力大小都不相等。

由此看出，傳統(tǒng)結(jié)論“同一根繩上的張力處處相等”是有附加條件的，即在一些理想化模型中，涉及的物體均可視為質(zhì)點(diǎn)，而繩子為不計(jì)質(zhì)量的理想的輕繩。如果繩子的質(zhì)量不能忽略，或者問題涉及不能視之為質(zhì)點(diǎn)的剛體，同一根繩上的張力通常是不相等的。

5.結(jié)語

物理教學(xué)是螺旋式上升的過程，很多知識點(diǎn)都不可能在一段時(shí)間內(nèi)一次講清楚，而是在教學(xué)中逐步加深和拓寬的。于是在教學(xué)中存在大量的知識的正遷移和負(fù)遷移現(xiàn)象。這就要求我們在教學(xué)中盡可能擺脫知識遷移的負(fù)面影響，促進(jìn)知識的正向遷移，對有些暫時(shí)不能拓展的問題要留有余地，提醒學(xué)生慎用現(xiàn)成的結(jié)論，厘清規(guī)律的適用條件。同時(shí)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中不能死套結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱峰.大學(xué)物理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006：65-66.

[2]呼格吉爾，張良峰，邱為鋼.末端懸掛重物轉(zhuǎn)動(dòng)繩子的研究[J].大學(xué)物理，2011，30（4）：16-18.

[3]李春貴.大學(xué)物理（上冊）[M].北京：中國水利水電出版社，2010：78.