《整數指數冪》說課教案與評析

蘇顯波 于妍秋

（此課在第九屆全國初中青年數學教師優秀課觀摩與展示活動中榮獲一等獎。）

【說課教案】

《整數指數冪》選自人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》八年級上冊第22章第2節第3課時.下面我將從內容和內容解析、目標和目標解析、教學問題診斷分析、教學過程設計、目標檢測設計五個方面，闡述我對這節課的設計.

一、內容和內容解析

1.內容

整數指數冪及運算性質.

2.內容解析

整數指數冪是在正整數指數冪的基礎上，對冪指數的進一步探究和推廣.它是冪的延伸和發展，也是對冪的認識的一次提升，為后續科學記數法完整體系的構建奠定了基礎.

正整數指數冪的運算性質推廣到整數指數冪，采用的是從特殊到一般的不完全歸納法完成的. 驗證的關鍵是將非正整數指數冪轉化成正整數指數冪，這一過程蘊含著類比的思想和化歸的思想.

運算性質適用范圍的擴大，使性質得到更廣泛的應用，從而給式的運算帶來更大的便利.

基于以上分析，確定本節課的教學重點：對整數指數冪運算性質的理解及運用.

二、目標和目標解析

1.目標

（1）理解數學規定：當n為正整數時，a-n =■ （a≠0）的合理性，體會類比的思想.

（2）整數指數冪運算性質的推廣，體會化歸的思想.

（3）根據運算性質進行運算.

2.目標解析

達成（1）的標志：類比a0=1 （a≠0）的規定，學生能夠體會數學規定：a-n =■ （a≠0）的意義和合理性.

達成（2）的標志：學生在教師的引領下，能夠通過獨立思考、合作交流，完成對運算性質的驗證和推廣.體會化歸思想在問題研究中的作用.

達成（3）的標志：學生能夠根據算式的形式和特點，選擇恰當的性質進行運算.

三、教學問題診斷分析

學生容易將a-n =■ （a≠0）理解成是證明出來的；對于整數指數冪運算性質的推導，學生容易受已有經驗（正整數指數冪的運算性質）的影響，試圖將其轉化成乘方的形式解決. 克服第一個難點，關注同底數冪除法性質的限定條件，通過類比讓學生理解a-n =■ （a≠0）是為了讓同底數冪除法的性質能夠適用于m基于以上分析，本節課的教學難點為：整數指數冪運算性質的推導.

四、教學過程設計

數學課堂教學是有理、有序、有效的育人活動. 合理的教學設計往往會達到事半功倍的效果. 根據課程標準教學建議的要求，本節課的教學將從以下五個環節展開：回顧·設疑·導課、探究·交流·推廣、應用·對比·感悟、總結·歸納·提升、作業·鞏固·加深.

環節一、回顧·設疑·導課

【教學內容】學生獨立思考，得出結論，完成填空.師生共同回顧正整數指數冪的運算性質. 教師提出：如果將性質中限定條件里的“正”字去掉，性質是否還成立呢？

【設計意圖】設置疑問，使學生帶著濃厚的興趣和數學思考走進課堂，從而引出課題.這里沒有采用計算訓練的方式來回顧舊知，目的是讓學生對運算性質的本身有更清楚、更準確的認識，為接下來的性質推廣及后續的應用奠定基礎.

環節二、探究·交流·推廣

【教學內容】提出問題：同底數冪除法的運算性質在m不大于n的情況下，還能否使用呢？

計算：a3÷a3；a3÷a5 .

a3÷a3 =1

a3-3=a0，

即：a3÷a3=a3-3

a3÷a5 =■

a3-5 =a-2

即：a3÷a5 =a3-5

學生根據分式的基本性質，由約分不難得出這兩個算式的結果.教師在和學生共同回顧a0=1 （a≠0）的意義的基礎上，通過類比得出規定：a-2 =■ （a≠0）.

類似地，為了讓同底數冪除法的運算性質能夠適用于a5÷a8 ，a2÷a6 這樣的運算，應該做出什么規定？學生通過思考得出問題的答案.

概括起來，為了讓同底數冪除法的運算性質能夠適用于m

【設計意圖】通過前面的研究，學生對am中的指數又有了新的認識，由原來的非負整數擴大到全體整數，由此，教師提出是否可以繼續弱化性質中的限定條件，去掉“正”字，探究性質是否成立. 學生在教師舉例驗證的引領和示范下，通過類比和轉化驗證性質的成立，體會化歸思想在問題解決中的作用，進而實現同底數冪除法運算性質的再次推廣.

【教學內容】我們再來看一下其他幾條性質，它們限定條件中的“正”字也可以去掉嗎？我們來選擇同底數冪乘法的運算性質進行驗證.

活動要求：1.類比同底數冪除法的研究過程，寫出幾個同底數冪乘法的算式，要注意指數的多樣性. 2.先獨立思考，再小組合作，結合算式驗證.

【設計意圖】類比同底數冪除法運算性質的推廣，對同底數冪乘法的運算性質進行探究. 學生根據活動要求，通過獨立思考、合作交流、匯報展示的方式，經歷尋找研究素材、推理歸納的過程，進而驗證了性質的正確性.對于其他幾條性質，由于探究的方法十分相近，因此，由教師說明其正確性，并沒有讓學生逐一推導，而是采用課后思考完成.這樣既節省了時間、提高了課堂效率，同時也留白給學生，擴大了學生思考的空間.

環節三、應用·對比·感悟

【教學內容】例題：計算（1）a-2÷a5 ，（2）2x-2y·3xy-3 ，（3） （a-1b2）3，（4）（■）-2 .

練習：計算（1）x2y-3（x-1y）3 ，（2）a-2b2·（a2b-2）-3 ，（3）（2ab2c-3）-2÷（a-2b）3 .

【設計意圖】例題、習題的選擇遵循了由簡到繁、由淺入深的原則，學生獨立思考并交流做法.在加深對性質的理解的基礎上，通過對比實現解題方法上的優化.真正把課堂交給學生，讓學生成為課堂的主人.

環節四、總結·歸納·提升

【教學內容】問題解決到這里，本節課也即將進入尾聲，請同學們談談這節課你在知識上和方法上的收獲和體會.

am÷an=am-n

本節課，我們以同底數冪除法的運算性質作為研究的主線，類比a0 =1（a≠0），規定了：一般地，當n為正整數時， a-n =■（a≠0）.并以此作為基礎，逐層弱化了性質中的限定條件，進而將正整數指數冪的運算性質推廣到整數指數冪，從而使運算更加簡便.隨著學習的深入，冪的指數還可以擴大到有理數的范圍.

【設計意圖】認知能力的提升來源于不斷的反思和總結，首先由學生暢談本節課知識上和方法上的收獲和體會，然后教師再現本節課的研究脈絡和知識體系，加深學生對本節課內容的理解和把握，實現對本節課的提升.

環節五、作業·鞏固·加深

【教學內容】課后作業：必做題：89頁1題、2題；選做題：91頁7題.

【設計意圖】布置作業是為了鞏固本節課所學知識，同時根據不同程度的學生設計了分層次作業.

【板書設計】略.

【設計意圖】板書設計力圖保持概括性、系統性以及示范性等.

五、目標檢測設計

有梯度的目標檢測題目，讓不同的學生在學習中都得到收獲，體現人人學有價值的數學，使不同的學生在數學上得到不同的發展.

計算：（1）（x-2y2）（3x2y）-2 （2）（2a2bc-1）（abc）-2

（3）6x2yz÷（-2xy-2z-1） （4）（3x2yz-1）2÷（2x-1y-2）3

課堂教學本身就是一種帶有遺憾的藝術，我深知在我的教學設計中同樣伴隨著這樣或那樣的不足，但這恰恰是讓我不斷走向成熟的關鍵，我非常珍惜這次歷練的機會，同時也真誠地希望各位專家給予指導！

【評析】

立足學情 開啟智慧 導引方法

本節課是在學習了正整數指數冪的基礎上，對整數指數冪學習的進一步深入和拓展，是對性質條件數域的推廣，通過數學思想方法的有效滲透，發展學生后續的數學學習能力.

教師緊緊抓住了運算性質的條件推廣主線作為顯性明線，把數學思想方法的滲透主線作為隱性暗線，從學生的具體學情出發，雙線并用，把學生從知識層面的學習引領到數學學習方法的研究上.具體表現在如下幾個方面：

一、以學生原有認知為基礎，對教材進行重組構建

教材中對于a-n =■（a≠0） 的規定，對于學生理解而言略顯生澀，特別是教材中的假設部分，學生總是有理解上的誤區，認為是把正整數指數冪性質用錯了條件得到的結果. 從學生的最近發展出發，將新知識納入學生原有知識體系，讓學生深刻體會數學規定的意義和合理性是本節課的亮點之一.

得到a-n =■（a≠0）的規定后，教材從同底數冪乘法的性質出發，驗證其他性質的推廣.考慮到學生思維的延續性，教師延續零指數冪的規定得出除法的一貫應用，首先驗證了同底數冪除法法則的性質，使學生的思維得到了正向遷移.教材在探究環節要求驗證其他所有性質的適用性，考慮到在數學思維層面具有重復性，在課堂上只探究了同底數乘法性質的適用性，讓學生感悟其他性質的得出，通過數學常用的同理推理即可獲得驗證.

通過對于教材的重組構建，使教學能夠立足學情，克服“只強調死記結論，不重視知識形成過程”的急功近利的“結論式”的教學心理，并使學生對數學的研究方法有一定的體會，能夠逐步加深對數學學科本質的理解.

二、加強數學思想方法的教學，著眼于提升學生的學習能力

數學的學習既是知識的學習，又是方法的學習.在教學中探索數學思想方法的最終目的是提高學生的思維品質和整體素養，而實現這一目標的主要途徑通常是課堂教學.本節課中，教師將數學思想方法的滲透貫穿教學始終，類比零指數冪的規定到負整數指數冪的規定，通過從特殊到一般的試驗驗證，獲得正確性的結論，并在學生自己舉例驗證的環節滲透分類的思想，使學生的思維品質得到升華.

三、通過培養學生質疑精神，引導學生理性思考

數學的發展過程是一個不斷提出問題、解決問題的過程.教師要重視啟發學生自己去發現問題、提出問題.本節課教師在問題設置上努力創設開放而有界的空間，通過學生自己舉例驗證并體會嚴謹推理過程，鼓勵學生感受問題的發現、提出和質疑過程，讓學生養成從感性認識到理性思考的習慣.

四、通過深度對話助推學生生命成長

教育心理學認為，從某種意義上說，教育背景中對話關系雙方的情感和認知是學生取得學業成功以及教師最終導致教學成功的關鍵.本節課教師努力把教師與個別學生之間的一問一答變成能在房間內到處反彈的復雜公共對話，提供更多師生對話、生生對話和學習共同體間的對話的機會，教師將著力點放在對對話的組織和指導上，使學生的主體性作用得到充分發揮，促使學生知識、能力和健康人格的和諧發展，在學習知識的同時豐富情感.