基于主成分回歸的我國居民主要蔬菜人均年消費量的預測

陳　愛

(南京財經大學 應用數學學院， 江蘇 南京 210046)

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基于主成分回歸的我國居民主要蔬菜人均年消費量的預測

陳愛

(南京財經大學 應用數學學院， 江蘇 南京 210046)

摘要：基于SAS軟件，通過建立主成分回歸模型對我國主要蔬菜的人均年消費量進行了估計.首先從影響蔬菜人均年消費量的因素出發，通過主成分分析，構造主成分關于時間T的函數，預測城鎮、鄉村居民蔬菜的總人均年消費量.再通過假定主要蔬菜品種的人均年消費量與所有蔬菜的總人均年消費量的比例等于主要蔬菜品種的年產量與所有蔬菜的總年產量的比例，擬合預測該比例的變化形勢，得到主要蔬菜品種的人均年消費量占總人均年消費量的比例，從而預測了主要蔬菜品種2015-2020年的人均年消費量.

關鍵詞：蔬菜； 主成分回歸； 擬合預測

2001年國務院頒發的《中國食物與營養發展綱要(2001-2010)》中確定了2010年食物與營養發展總體目標，并就城鄉居民人均每年主要食物攝入量進行了明確要求.2003年11月，國家食物與營養咨詢委員會又提出了食物消費的階段性目標及質量要求，分別對2003年、2010年和2020年的具體情況進行了規定.由此可見，營養安全已經成為我國新時期下“食物安全”的重點議題[1].自改革開放以來，我國居民的生活水平大幅度提高，營養和健康狀況已經得到很大改善，而居民的營養健康狀態直接取決于人們的飲食習慣和飲食結構.因此，如何在滿足居民身體健康所需營養均衡的條件下，進行適度的蔬菜消費，是目前一項重要課題[2].

1主成分回歸模型簡介

1.1主成分分析

(1)

它是一個p階非負定矩陣.按照主成分分析的思想，我們首先構造X1,X2,…,Xp的線性組合

Y1=aT1X=a11X1+a12X2+…+a1pXp

(2)

(3)

若第一主成分Y1在a1方向上的分散性還不足以反映原變量的分散性，則再構造X1,X2,…,Xp的線性組合

Y2=aT2X=a21X1+a22X2+…+a2pXp

(4)

為使Y1和Y2所反映的原變量的信息不相重疊，要求Y1和Y2不相關，即

(5)

一般地，若Y1,Y2,…,Yk-1還不足以反映原變量的信息，則進一步構造X1,X2,…,Xp的線性組合

Yk=aTkX=ak1X1+ak2X2+…+akpXP

(6)

(7)

各主成分的總方差為

(8)

1.2主成分回歸模型

主成分回歸模型就是利用少數幾個主成分的得分作為新的自變量進行回歸建模[4].

2主要蔬菜人均年消費量的主成分回歸預測

2.1人均蔬菜量消費狀況分析

以下數據來自2014年全國研究生數學建模大賽D題[5].

改革開放以來，中國蔬菜消費呈現出有規律的變化[6].從圖1中可以看出，蔬菜人均消費量逐漸降低，在2012年，城鄉蔬菜人均消費量分別是112.3kg和84.7kg.

圖1　城鄉居民蔬菜年平均消費量趨勢值

從居民生活費用支出方面來看，由于農村居民的蔬菜消費基本達到自給自足[7]，所以本文僅用城鎮居民的生活費用支出數據進行分析.2012年城鎮居民的恩格爾系數為36.2%，而蔬菜的消費支出占當年食品消費支出的9.8%[8].

從表1中可以看出，蔬菜消費支出在城鎮居民的食品消費支出中所占比重較大，處在第二位，約為肉類消費支出的一半.而且值得注意的是，中國城鎮居民的蔬菜消費支出已經超過居民糧食消費支出.這表明，中國城鎮居民生活水平趨高，人們將眼光投向滿足身體所需的其他營養成分.

表12012年城鎮居民家庭人均年消費支出

項目金額/元結構/%食品糧食干豆類及豆制品油脂類肉禽及制品蛋類水產品類菜類糖類其他6040.85458.5372.68161.481183.59119408.92591.9755.062989.621007.591.202.6719.591.976.779.800.9149.49

從2004-2012年中國蔬菜消費支出金額所占比例(表2)來看，蔬菜消費金額不斷上升，而圖1中顯示人均蔬菜年消費量卻呈現遞減的趨勢，除了物價上漲的因素外，也從相當程度上說明，城鎮居民蔬菜消費品質的不斷提高.

表22004-2012年中國城鎮居民蔬菜消費支出金額在食品結構中所占的比重

項目200420052006200720082009201020112012蔬菜金額/元256.51276.61298.53348.61409.31446.57501.65527.32591.97食品支出/元2709.62908.63111.936284259.84478.54804.75506.36040.9結構比重/%9.479.519.599.619.619.9710.449.589.8

2.2影響人均蔬菜消費量的主要因素分析

2.2.1收入因素

收入的高低直接影響人們的消費支出金額和結構.根據圖2發現城鎮居民可支配收入與蔬菜消費量之間存在密切關系.已有研究表明，蔬菜的收入彈性為正數，其大于糧食，小于肉類、水產品與蛋類[9].這說明隨著收入水平的提高，城鎮居民也相應地增加蔬菜的消費.

圖2　1990-2012年城鎮居民可支配收入與蔬菜消費量散點圖

從圖2中可以看出，城鎮居民可支配收入與人均年蔬菜消費量之間存在負相關性(-0.4712).這說明在解決溫飽問題之后，城鎮居民會將更多的購買力用于其他高檔食品的消費.

2.2.2價格因素

除了收入作為主要的影響因素外，各類食物的價格之間也存在相互影響.根據理論得知，糧食和蔬菜對中國居民來講是基礎性食物，需求量受價格的影響沒有其他的食物強，但是作為副食品，蔬菜和其他食物之間有一定的替代關系[9].從表3可以發現，蔬菜的消費價格指數相對其他食品價格指數的波動率在-0.2～0.2之間，這說明在多數年份里，蔬菜與肉禽、蛋類和水產的價格變動幅度處于一種競爭關系.這也從一定程度上說明其他食品的價格對蔬菜的人均消費量是有一定影響的.

表3蔬菜與其他食品消費價格指數變化幅度

年份蔬菜∶糧食蔬菜∶肉禽蔬菜∶蛋類蔬菜∶水產品1994-0.1155-0.05860.15910.10811995-0.06940.00710.11080.112819960.11830.13970.02230.123619970.0977-0.05210.2610-0.002019980.02790.0957-0.01290.060719990.04230.11360.10260.082520000.18170.06290.23910.029520010.0161-0.0069-0.04810.03912002-0.0010-0.0131-0.04290.015520030.15050.13940.19370.17352004-0.2476-0.1913-0.2088-0.156220050.07590.06440.04300.030220060.05360.11430.12710.069220070.0151-0.1807-0.11410.026620080.0374-0.08790.0642-0.028020090.07580.24420.11810.108320100.05990.15160.09420.09622011-0.0989-0.1754-0.1147-0.098120120.09330.11360.17100.0528

除了蔬菜相對于其他食品的價格指數波動之外，蔬菜本身的消費價格指數也作為一項重要的影響因素.從蔬菜價格對人均年蔬菜消費量的總體影響來看，蔬菜價格的上升會制約蔬菜的消費量.從兩者的關系可以看出，兩者之間具有負相關，說明蔬菜價格的確是影響其人均消費量的重要因素.

2.2.3恩格爾系數

恩格爾系數是食品支出總額占個人消費支出總額的比重.恩格爾系數是用來反映居民生活水平的一項重要指標.生活水平直接影響消費結構，而消費結構對于消費量又有較大影響[6].因此，為了直接而全面地考察城鎮居民人均蔬菜消費量變化的因果關系，本文將恩格爾系數也作為影響變量.

綜上，本文把可支配收入與總收入之比、蔬菜價格指數分別相對糧食、肉類、蛋類、水產品的價格指數之比、蔬菜價格指數、恩格爾系數等作為影響變量，并分別記為X1～X7.

2.3模型建立

2.3.1建模思路

本文從影響人均年蔬菜消費量的影響因素出發，通過主成分分析，構造主成分關于時間T的函數，預測城鎮、鄉村居民蔬菜的總人均年消費量.再通過假定主要蔬菜品種的人均年消費量與所有蔬菜的總人均年消費量的比例等于主要蔬菜品種的年產量與所有蔬菜的總年產量的比例，擬合預測該比例的變化形勢，得到主要蔬菜品種的人均年消費量占總人均年消費量的比例，從而預測主要蔬菜品種的人均年消費量.其中蔬菜的總人均年消費量=0.5×城鎮居民的人均年蔬菜消費量+0.5×農村居民的人均年蔬菜消費量(0.5為近年來的城鎮、農村人口比例).

2.3.2建立模型

1) 因素間相關性分析—皮爾遜相關系數

根據皮爾遜相關系數

得到相關系數表4.

表4影響城鎮居民人均年蔬菜消費量各因素的相關系數表

X1X2X3X4X5X6X7X11X2-0.86861X3-0.05470.27391X40.0331-0.13250.07431X50.1907-0.04230.29150.66881X6-0.13070.21610.43410.65170.56261X7-0.25370.27150.66450.56720.75610.59411

2) 主成分分析

從相關系數表4中不難發現，某些變量之間相關系數較大，這說明這些影響因素之間可能存在共線性.因此我們采用主成分分析解決共線性的問題.

3) 各主成分對城鎮居民人均年蔬菜消費量C1的擬合

因為7個影響變量都是0～1之間的數，而城鎮居民人均年蔬菜消費量特別大，使得方程兩邊的數相差太大.為了得到更好的擬合效果，這里對年消費量取對數后再進行擬合回歸.考慮表達的簡潔與擬合的優度，我們采用一次線性擬合方式.由SAS軟件得到

(9)

4) 預測城鎮居民人均年蔬菜消費量C1

(1)對3個主成分進行關于時間T的擬合預測

(2)利用上面的擬合函數可以預測到各年的主成分數值，再把它們代入回歸方程(9)，即可預測到城鎮居民人均年蔬菜消費量C1.綜上，主成分回歸預測方程為

lnC1=4.745704-0.001171sin0.933T+

0.002397cos0.2426T+0.001291T

(10)

5) 預測農村居民人均年蔬菜消費量C2

各主成分對年消費量擬合以及3個主成分關于時間T的擬合結果如下：

(11)

利用上面擬合函數可以預測到各年的主成分數值，再把它們代入回歸方程(11)，即可預測農村居民人均年蔬菜消費量C2.綜上，主成分回歸預測方程為

lnC2=4.410474-0.001085sin0.8701T-

0.003755cos0.4843T-0.002591T

(12)

6) 綜合考慮城鎮、農村人均年蔬菜消費量，得出我國人均年蔬菜消費量C

C=0.5C1+0.5C2

(13)

7)確定主要蔬菜品種

本文選取中國1994-2012年間各種蔬菜的年產量進行了分析，認為年產量占比靠前并且能夠每年出現在前幾名的蔬菜種類極有可能是主要的蔬菜品種.理由如下：

(1)自1994-2012年，產量比重占據前4位的分別為紅薯、土豆、根及塊莖當量、以及西紅柿，這說明，這幾種蔬菜的產量較高，并且相對較為穩定.

(2)隨著時間的推移，根及塊莖當量逐漸退出蔬菜種類的前3，而西紅柿卻逐漸進入到蔬菜種類的前3中.這說明隨著經濟進步，營養知識的普及，人們越來越認識到，相較于根及塊莖當量，西紅柿可能更滿足人們的健康需求，這也解釋了西紅柿產量逐年遞增的原因.

(3)隨著時間的推移，土豆的年產量逐漸從第3上升到第2，并最終躍居第1，這說明人們對土豆營養成分認識的變化，同時也因為土豆易食、方便、營養成分均衡.

這幾種蔬菜種類同時也是日常生活中常見的種類，側面反映了居民的消費習慣及對生活必需品的購買習慣，從而我們可以認為這些蔬菜品種可以滿足日常人體健康需求.因此，我們選擇主要的蔬菜品種為：土豆、根及塊莖當量、紅薯以及西紅柿，并分別記為第1～4種蔬菜.

8) 對主要蔬菜品種的消費率進行模擬預測

考慮土豆、根及其塊莖、西紅柿的消費率關于時間T呈現線性趨勢，所以對它們進行線性擬合，擬合方程分別為：

r1=0.1492868-0.0024325T

r2=0.059649-0.000563T

r4=0.04266+0.25467T

紅薯的消費率關于時間T呈線性遞減趨勢，若擬合線性回歸方程，雖模型顯著，但從2015年開始預測值均為負數，與事實不符.考慮到短時間預測，轉而采用移動平均法，經多次嘗試，三步移動平均擬合效果最佳，故采用三步移動平均法來預測紅薯的消費率r3，從2015到2020年其值依次為0.077235，0.077232，0.077467，0.077311，0.077336，0.077372.

9) 擬合預測主要的蔬菜品種人均年消費量—基于主成分的回歸估計模型

通過上面的步驟，我們可以建立最終的模型，即

(14)

其中Ci是第i種蔬菜的人均年消費量.

3模型結果分析

利用式(14)預測2015-2020年主要蔬菜品種的人均年消費量，結果見表5.

表52015-2020年居民主要蔬菜品種的人均年消費量kg

年份土豆根及塊莖當量紅薯西紅柿201510.68064.03996.51327.5834201610.50833.99606.48347.5812201710.38333.93286.34837.5837201810.26083.88306.26197.5901201910.12623.83716.19847.5986202010.00223.79186.12827.6066

預測的結果顯示，主要品種的蔬菜消費量只有西紅柿呈現逐漸遞增的趨勢，而土豆、紅薯的人均年消費量逐年遞減，這可能是由于隨著經濟水平的提高，人們對于蔬菜類食品消費減少，轉而消費動物性食物，或轉向消費一些高品質的水果類型.

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(編輯：郝秀清)

較大，戰略整合對企業績效影響最小，這與文中選擇的企業績效指標有較大關系，考慮到數據的準確性，本文主要選取的運行指標和財務指標，表征企業競爭力的定性指標選擇較少所致，文化整合能力對企業績效影響位居中間.此外，由于IT能力內部結構之間的關系，戰略整合能力、業務與IT系統整合能力、文化整合能力也對企業績效有著間接的正向影響.戰略整合能力對企業績效影響為0.232；業務與IT系統整合能力為0.424；文化整合能力為0.411.從綜合影響系數數值上看，業務與IT系統整合對企業績效影響為最大，戰略整合對企業績效影響最小.

A forecast based on principal component regression of the main vegetable consumption per person in residents in China

CHEN Ai

(Department of Applied Mathematics, Nanjing University of Financeand Economics, Nanjing 210046, China)

Abstract:This article estimated annual per capita consumption through the establishment of the principal component regression model of the main vegetables based on SAS software. Firstly, considering the influence factors of affect vegetables per capita annual consumption, through the principal component analysis,we constructed the principal component of a function of time T, predicted the total annual per capita consumption of rural and town residents′ vegetables. Secondly,we assumed that the main vegetable varieties of annual per capita consumption and the proportion of total annual per capita consumption of all vegetables was equal to the main vegetable varieties of production and the proportion of the total annual output of all vegetables, fitting to predict the percentage changes in the situation, and got the main vegetable varieties of annual per capita consumption accounts for the proportion of the total annual per capita consumption, so as to predict the main vegetable varieties from 2015 to 2020, the per capita annual consumption.

Key words:vegetables; principal component regression; fitting prediction

中圖分類號：F222.1

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)02-0067-06

作者簡介：陳愛，女，1571308214@qq.com

收稿日期：2015-05-10