深基坑錨拉式支護結構的有限差分算法研究

陳林靖，孫永佳,2，王志剛

( 1.福州大學 巖土工程研究所，福建 福州 350108；

2.天津市天友建筑設計股份有限公司，天津 300384 )

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深基坑錨拉式支護結構的有限差分算法研究

陳林靖1，孫永佳1,2，王志剛1

( 1.福州大學 巖土工程研究所，福建 福州 350108；

2.天津市天友建筑設計股份有限公司，天津 300384 )

摘要：為克服現行規范建議采用單參數m法的缺點，將分析水平推力樁的綜合剛度原理和雙參數法延伸至作用有水平分布荷載的基坑錨拉式支護結構變形和內力計算中，建立一種基于此原理和方法的改進的彈性地基梁有限差分算法。此外，為考慮動態施工過程，引入增量法對各工況進行計算分析，并根據現場實測數據，反演出合適的綜合剛度和雙參數。研究結果表明：該方法得到的水平位移和彎矩，均與實測結果吻合良好，而采用單參數m法卻很難使支護結構的位移和內力同時較好地與實測值相符。文中反分析所得的綜合剛度和地基抗力雙參數，可應用于同一基坑工程相同結構或同一地區工程地質條件和支護結構相似的設計計算，無疑可獲得較現行單參數法更為準確的設計計算結果。

關鍵詞：錨拉式支護結構；綜合剛度原理和雙參數法；增量法；有限差分算法

近幾年來，我國高層、超高層建筑不斷涌現，與之密切聯系的深基坑工程也隨之迅猛發展，如地下街道、地下停車場和商場以及城市地鐵等。當開挖較大型、深度不大或運用機械挖土，不能安設橫撐的基坑時，特別是現場較窄、無工作面環境情況，錨拉式支護結構由于其經濟合理、安全性可靠而且施工快速簡便等特性得到了迅速地推廣和應用。對于當前錨拉式支護結構的設計計算，現行規范[1]及《基坑工程手冊》[2]均推薦采用彈性地基梁法，此方法避免了大型有限元方法需確定土體本構模型及準確獲得模型參數的困難，更具有實用性。然而，目前支護結構變形和內力的實測值和設計預測值之間往往存在較大的差異，究其原因：一方面，是由于計算土壓力和實測土壓力間的差異；另一方面，筆者認為，現行規范建議的深基坑樁墻式支護結構變形和內力計算的m法是直接來源于計算樁頂作用水平荷載樁的彈性地基梁法，而對于此法，吳恒立[3]指出其明顯缺陷是難以保證樁頂位移、轉角、樁身最大彎矩及其作用位置同時與實際較好相符，只能湊合到相近的程度，為此，開拓性地提出了計算水平荷載樁的綜合剛度原理和雙參數法。筆者曾將該方法成功地應用于基坑水平支護樁的彈性桿系有限元分析中[4-5]。因此，本文基于彈性地基梁法，將綜合剛度原理和雙參數法延伸到多道錨拉式支護結構設計計算中，楊光華[6]提出的考慮施工過程中，圍護結構的變形和內力、支撐體系的變形和受力動態調整的增量法推導出支護結構位移與內力有限差分計算公式，編制相應的計算與繪圖程序，對具體深基坑錨拉體系工程實例進行設計計算，對比現場監測數據，為此類工程的便捷計算提供借鑒經驗。

1彈性地基梁有限差分法

有限差分法[7-8]求解基坑支護結構的變形和內力是直接將撓曲微分方程近似地用相應的差分方程代替，微分方程中的未知函數的各階導數用各個節點上的函數值表示。此法理論成熟，概念明確，表達直觀，是最早應用于工程科學的一種分析方法。

1.1撓曲微分基本方程

基坑支護結構彈性撓曲微分方程：

(1)

式中：EI為綜合剛度；通常認為，支護結構的剛度只取決于其材料和幾何尺寸，但實際上，支護結構是處于有介土層中，應考慮其與土體的相互作用效應，故采用一個反映支護結構-土共同作用的待定參量，即綜合剛度；K(z)為雙參數法確定的地基水平抗力系數，其按雙參數法表示時，有：

K(z)=mzn

(2)

其中，開挖面以上，K(z)=0(0

開挖面以下，K(z)=m(z-h1)n(h1

開挖面處，K=m(h/2)n/2，

樁底，K=m((H-h1)n+(H-h1-h/2)n)/2。

式中：m為地基系數的比例系數;n為冪指數；h1為開挖深度;H為樁長；b0為支護結構的計算寬度，對于地下連續墻取單位寬度；bs為支護結構計算間距。

1.2計算模型及有限差分公式的推導

圖1所示為彈性地基梁法計算模型，將圍護樁看成一根豎向放置的彈性地基梁，彈性支撐彈簧代替支撐體系，圍護樁前土彈簧模擬土體對圍護樁的作用。

圖1　彈性地基梁法計算模型Fig.1 Model of beam on elastic foundation

對于錨桿(或錨索)，其與支護樁成一定水平傾角，一般為15°～30°。將錨桿(或錨索)簡化為與水平向呈一定傾角的彈性支承，分離出水平向支撐作用力。在缺少試驗依據時，錨桿(或錨索)彈性支點剛度系數按照下式計算。

(3)

(4)

式中：Es為錨桿桿體的彈性模量，kPa；Ec為錨桿的復合彈性模量，kPa；Em為注漿固結體的彈性模量，kPa；Ap為錨桿桿體的截面面積，m2；A為注漿固結體的截面面積，m2；lf為錨桿的自由段長度，m；l為錨桿長度，m；s為支撐水平間距，m。

現有有限差分方法分析橫向受荷樁變形與內力時，是將樁身分為自由段和錨固段，結合約束條件，分段列出有限差分格式，并在交界面處，按變形和內力連續條件以矩陣方程將兩段聯系起來，用線性方程組代替彈性撓曲微分方程求解樁身變形與內力。但此法需建立10個計算方程，方程復雜，計算參數較多。針對此缺點，本文提出改進的有限差分格式，從整體上將支護結構等距離離散化，簡化求解格式，這樣，可將有限差分計算公式縮減為5個方程，大大提高計算效率，具體推導過程如下所述。

如圖2所示，從樁頂至樁底采用等距離離散成N段，節點編號從0，1，2，… ，N，且在樁頂以上和樁底以下增設2個虛擬點。

圖2　樁身撓曲及其差分點Fig.2 Deflection and differential points of pile

由式(1)可得任意節點i(0≤i≤N=H/h)的有限差分格式為：

yi-2-4yi-1+6yi-4yi+1+yi+2+b0(K(i)+

kR(i))h4yi/EI=bspa(i)h4/EI

(5)

式中：bs為樁間距；pa(i)為任意節點主動土壓力值;h為等量差分段長度(一般h=0.02或0.05)。

因屬于樁頂無集中水平力或力矩的支護樁，樁頂處剪力和彎矩為0，即Q0=0,M0=0，則有

y-2-2yi-1+2yi-y2=0

(6)

y-1-2y0+y1=0

(7)

由式(6)和(7)可得:

y-2=2y-1-2y1+y2

(8)

y-1=2y0-y1

(9)

當i=0時，樁身有限差分控制方程(5)整理為

y-2-4y-1+6y0-4y1+y2=bspa(0)h4/EI

(10)

將式(8)和(9)代入式(10)得

y0=2y1-y2+bspa(0)h4/2EI

(11)

令

a-1=2,b-1=0,c-1=0,d-1=0

a0=4/d0,b0=2/d0

c0=bspa(0)h4/EI/d0,d0=2

仿此，可得

yi=aiyi+1-biyi+2+ci

(12)

yi-1=ai-1yi-bi-1yi+1+ci-1

(13)

yi-2=ai-2yi-1-bi-2yi+ci-2

(14)

將式(13)和式(14)代入式(5)，整理可得

(ai-2ai-1-bi-2-4ai-1+6+

aici-1-2ci-2+4ci-1)

(15)

令

ai=(ai-2bi-1-4bi-1+4)/di,bi=1/di

ci=(bsh4pa(i)/EI-ai-2ci-1-ci-2+4ci-1)/di

di=ai-2ai-1-bi-2-4ai-1+6+

b0h4(K(i)+kR(i))/EI

根據樁底嵌固條件，可將樁底的約束條件假設為固定端、側向彈性固支端和自由端等8種情況[3]。下文僅給出樁底按自由端，即樁底處剪力和彎矩為0(QN=0，MN=0)的情況，其他情況可類似導出。

yN-2-2yN-1+2yN+1-yN+2=0

(16)

-yN-1+2yN-yN+1=0

(17)

在樁底處建立以線性方程組表示的邊界條件：

[a]{y}=[c]

(18)

式中，

式中：yN-2～yN+2為樁底及其鄰近共5個節點處的位移。

按照式(12)可迭代求解樁身任意節點處的位移，從而可根據有限差分計算公式求解出彎矩、剪力與水平抗力。同時應用MATLAB軟件[9]編制了相應的計算程序提高計算速率，并通過工程實例驗證了該方法的可行性。

2工程實例

2.1工程概況

河南省藝術中心大劇院建筑工程[10]，地上8層，地下3層，建筑安全等級為一級。設計計算剖面選取位于后舞臺靠近臺倉區一側，基坑開挖深度10.0 m，樁徑1.0 m，樁間距1.8 m，樁長22.0 m，支護樁混凝土強度等級為C35。土層物理力學指標見表1。采用3排預應力錨索，錨索長25.0 m，其中自由段5.0 m，錨固段20.0 m，鉆孔直徑150 mm，錨索傾角30°，錨索體采用4束1860級Ф12.7鋼絞線。樁頂位于-2.5 m處，3排錨索分別位于樁頂以下-2.0,-4.5和-7.0 m處。

表1　土層物理力學指標

2.2建模步驟

根據現行規范[1]建議，作用于支護樁上主動土壓力采用朗肯土壓力理論計算，開挖面以上按實際計算出的土壓力分布，開挖面以下矩形分布，即考慮開挖面被動一側若不考慮土體移動時，可以平衡主動側的部分土壓力。支護樁底部位于松散的細砂層中，屬于軟弱土層，可將樁底視為自由端，即彎矩和剪力為0。具體幾何模型、支撐位置、荷載分布和邊界條件如圖4所示。

圖4　有限差分法計算模型Fig.4 Calculation model of finite difference method

采用楊光華提出的增量法[6]，考慮施工動態過程對樁身結構變形和內力的影響。施工過程工況劃分如下。

工況1：自支護樁頂向下開挖至-5.0 m，樁身呈懸臂狀態；工況2：在樁頂以下-4.5 m處施加第1道錨索并施加預應力180 kN，并開挖至-7.5 m處；工況3：在樁頂以下-7.0 m處施加第2道錨索并施加預應力180 kN，并開挖至-9.0 m；工況4：在樁頂以下-9.5 m處施加第3道錨索并施加預應力180 kN，并開挖至基坑開挖面-12.5 m位置。

圖5(a)所示為計算步1：在樁頂向下開挖至-5.0 m處，采用朗肯土壓力計算理論，算得樁頂以下0.7 m范圍內及-1.1～-2.5 m范圍內，主動土壓力為負值，故取為0，主要是由于該粉質黏土層黏聚力過大，造成主動土壓力計算值為負。圖5(b)顯示為計算步2：即在-4.5 m處施加第1排預應力錨索并向下開挖至第2排預應力錨索底-7.5 m處。此步中作用在樁身的荷載由3部分構成：一是上一計算步開挖面-5.0 m至本次計算步開挖面-7.5 m范圍內，作用在樁前的土抗力，作為反力施加在樁身上；二是樁后主動土壓力荷載增量；三是樁前土彈簧水平抗力系數間差異，所產生的土抗力荷載增量。若將計算步1和計算步2計算得到的墻身計算值相疊加，便得到工況2的計算結果。以此類推，圖5(c)表示為計算步3：即自樁頂向下開挖至-9.0 m處，在-7.0 m處施加第2排預應力錨索；圖5(d)表示為計算步4：即自樁頂向下開挖至-12.5 m處，在-9.5 m處施加第3排預應力錨索。作用在各計算步上的荷載均為樁后的主動土壓力荷載增量、樁前土抗力荷載增量以及樁前土彈簧水平抗力系數間產生的水平抗力荷載增量。將以上計算步所得結果相疊加，即得開挖完成后，樁身的變形與內力計算值。

(a)計算步1；(b)計算步2；(c)計算步3；(d)計算步4單位：kPa圖5　增量法計算過程Fig.5 Computing procedure of incremental method

2.3結果分析

本工程場地地基范圍內主要是粉土和粉質黏土，應用本文提出的改進的有限差分法，通過試算，得出樁-土綜合剛度EI=2.01×106 kN·m2(為樁身實際剛度的1.365倍)，m=6 000 kN/m4，n=0.85。為簡化計算，本文綜合剛度和雙參數取均值，在各工況下，采用相同的3個參數，仍得到與實測結果較吻合的計算結果。圖6所示為工況2下土反力與被動土壓比較圖。此工況下，土反力與被動土壓力相差較大。圖7所示為工況3下土反力與被動土壓比較圖。隨著開挖深度的增大，樁前土體提供的被動土壓力減小，土反力與被動土壓力間的差值逐漸減小。圖8所示為工況4下土反力與被動土壓比較圖。此工況下，開挖面以下3.58 m至5.65 m范圍，土反力值與被動土壓力值相當接近，但尚未超過被動土壓力值。對于該工程實例，各工況下，土反力均未超過被動土壓力極限值，若出現，應對引起土反力超過被動土壓力的計算步進行土抗力修正。

圖6　工況2下土反力與土壓力比較Fig.6 Comparison of soil reaction and earth pressure in condition 2

圖7　工況3下土反力與土壓力比較Fig.7 Comparison of soil reaction and earth pressure in condition 3

圖8　工況4下土反力與土壓力比較Fig.8 Comparison of soil reaction and earth pressure in condition 4

圖9所示為各工況下樁身水平位移變化曲線，隨著開挖深度的增大，樁身水平位移逐漸增大，呈現出樁頂附近位移最大，樁底位移很小或為0。圖10所示為各工況下樁身計算彎矩變化曲線，可以看出，樁身彎矩曲線呈“S”型，在各工況開挖面處或錨索施加位置存在彎矩反彎點。隨著開挖深度的增大，樁身最大彎矩增大，發生位置向下移動，符合基坑開挖時彎矩的變化規律。

圖11顯示為基坑開挖至-12.5 m處，樁身水平位移實測值與理正軟件計算結果、FLAC計算結果及本文方法計算結果的對比圖。從圖中可以看出，3種計算方法與樁身實測水平位移變化趨勢一致，最大水平位移出現在樁頂處。樁頂實測水平位移為15.0 mm，理正計算值為17.0 mm，FLAC計算值為25.0 mm，而本文方法計算結果為16.39 mm。通過對比表明，本文方法無論是樁頂水平位移值，還是整個支護結構的水平位移數值及趨勢，均比理正計算和FLAC數值計算更接近于實測值。

圖9　各工況下樁身水平位移計算值Fig.9 Calculated horizontal displacements of piles in different condition

圖10　各工況下樁身彎矩計算值Fig.10 Calculated bending moments of piles in different condition

圖11　樁身水平位移計算值與實測值比較Fig.11 Comparison of horizontal displacements of piles between calculated and measured values

圖12所示為基坑開挖至坑底，樁身彎矩實測值與理正軟件計算結果、FLAC計算結果及本文方法計算結果的彎矩對比圖。3種方法計算出的彎矩值變化形態一致，不同的是最大彎矩值及其所在位置，可以看出，采用理正軟件計算彎矩值結果明顯偏大，將會造成工程配筋浪費。采用FLAC數值軟件計算出樁身最大負彎矩值與實測彎矩值近似，但作用位置偏低，而樁身嵌固段，最大正彎矩值約為180 kN·m，較實測值410 kN·m約小1倍，作用位置與實測值相差較大。然而，本文所采用的綜合剛度原理和雙參數法，最大正彎矩為394.64 kN·m，作用位置為-7.0 m，最大正彎矩為403.2 kN·m，其作用位置為-15.0 m，均與實測結果相當吻合。

圖12　樁身彎矩計算值與實測值比較Fig.12 Comparison ofbending moments of piles between calculated and measured values

3結論

1)與已有的有限差分格式相比，本文提出了一種改進的有限差分格式。從樁頂至樁底將整個支護結構看作是整體，直接推導有限差分格式，這樣可以將10個計算方程縮減到5個計算方程，由繁變簡，顯著提高計算效率。

2)在改進的有限差分方法的基礎上，引入增量法，考慮施工過程對支護結構的變形與內力計算的影響，求得各荷載增量作用下，支護結構位移和彎矩計算值。通過對各計算步結果相疊加，獲得各工況支護結構的變形與內力。

3)將錨桿(或錨索)簡化為與水平向呈一定傾角的彈性支承，分離出水平向支撐作用力，應用綜合剛度原理和雙參數彈性地基梁有限差分法模擬工程實例，可使支護結構變形和內力計算結果與實測結果良好吻合，且綜合剛度和雙參數均為綜合值，在各工況下采用相同的參數，因此適用于同一基坑工程相同結構或同一地區工程地質條件和相似支護結構的設計計算。

4)改進的有限差分方法較彈性桿系有限元法具有顯著優勢。其避免了后者手動建模過程中桿系的施加及單元的細化。對綜合剛度和雙參數這三個參數的反復調試，有限差分法在程序中直接修改參數值即可，桿系有限元法則需通過修改的參數值重新設定每根桿系的參數，降低了計算效率。有限差分法對樁底約束條件進行假定，這會對樁底及其附近計算結果造成一定的影響，不及桿系有限元法合理，但這一影響會隨著樁的嵌固深度的增加而減弱。也就是說，在滿足相同計算精度的條件下，有限差分法更具優勢，具有更好的推廣應用價值。

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(編輯蔣學東)

Research of finite difference method on retaining structures with anchors in deep excavation engineering

CHEN Linjing1， SUN Yongjia1,2，WANG Zhigang1

(1. Institute of geotechnical engineering, Fuzhou University, Fuzhou 350108,China;2. Tenio Tianjin Architectural and Engneering Co., LTD, Tianjin 300384,China)

Abstract:To overcome the defects of the single parameter m method recommended in the current specification, the composite stiffness principle with bi-parameter method applied to piles subjected to laterally concentrated loads was extended to the calculation of the deformation and internal force on retaining structure with anchors in deep excavation. Based on the principle and the method, the modified finite difference solution of beam on elastic foundation was presented. In addition, the incremental method was introduced to consider the dynamic construction process. The composite stiffness-EI with bi-parameters-m and n were obtained through the back analyses of the field measurement. The result shows that both the horizontal displacement and bending moment calculated by the method proposed in this paper were in good agreement with the measured data. In contrast, the result by the current single-parameter method was unsatisfactory. The parameters obtained through the back analyses can be applied to the uniform structures in the same foundation pit or similar retaining structures and engineering geological conditions in the same areas. Undoubtedly it can obtain more accurate results than the current single parameter method.

Key words：retaining structure with anchors; composite stiffness principle with bi-parameter method; incremental method; finite difference method

中圖分類號：TU 47

文獻標志碼：A

文章編號：1672-7029(2016)02-0276-07

通訊作者：陳林靖(1983- )，女，福建莆田人，副教授，從事基坑支護方面的研究；E-mail：cljquite@126.com

基金項目：福建省教育廳科技資助項目(JA12042)

收稿日期：2015-06-08