重要不等式為何要改為基本不等式

袁素群　徐章韜

重要不等式為何要改為基本不等式

袁素群徐章韜

1.引言

2.語義角度

《現代漢語詞典》中對“重要”和“基本”作了如下解釋：“重要：具有重大意義作用或影響的，有很大意義的。”在重要不等式的表述中，取其形容詞性詞意，用來形容它在高中數學教材中的地位，說明該不等式有重大意義，且對后續課程學習和實際生活具有積極的作用。“基本：根本；根本的；主要的；大體上”。在基本不等式的表述中，“基本”一詞作為形容詞，表示這一不等式是根本的、基礎性的、主要的。教材視這一不等式是一種知識基礎，把它作為后續知識的基礎。要達到預期的學習目的，就必須學好這一基礎性的、根本的、主要的不等式。應用“基本”一詞，凸顯了教材對這一不等式的認識及重視程度提升到了一個新的高度。

3.數學教材編寫的角度

數學教材中有很多重要的概念、定理、公式、法則等，這些重要的數學知識對我們的學習有著不可或缺的作用。知識量越多，越要抓住根本。如人教A版教材《數學》（必修4）“同角之間的三角函數基本關系”將以往的八大關系式改為兩個基本關系式。教材刪繁就簡，間接暗示教師只要把握基本關系sin2θ+ cos2θ=1和tan進行有重點的教學，就會起到事半功倍的效果。不等式的教學也是如此，由于我們還將接觸到許多不等式及其證明、應用等問題，這就要求我們正確認識不等式間的關系及其數學本質。

3.1“重要”和“基本”都強調重要作用，是主干知識

從數學教材編寫的角度來分析，人教A版教科書和以往的教科書都強調不等式（a，b＞0）在證明不等式問題和解決最優化問題時，有著廣泛的應用，這足以說明該不等式在不等式知識體系中的重要性。

在全日制普通高級中學教科書（必修）《數學》第二冊（上）第六章中，首先介紹了不等式的性質；緊接著，教材引出“算術平均數與幾何平均數”這一重要不等式；之后，在“不等式的證明”中，講述綜合法時，又用該不等式及不等式的性質推導其他不等式成立。通過該不等式在證明其他不等關系中的應用，反映了其重要性。在“含有絕對值的不等式”中，教材以例題的形式講述了重要不等式在解絕對值不等式中的應用。由此看來，舊教材強調該不等式在應用時有重要作用。

人教版普通高中課程標準實驗教科書分不同的章節處理不等式問題。在《數學》（必修5）的第三章中，首先介紹了不等關系與不等式；然后是一元二次不等式及其解法、二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題；最后，在第四小節介紹該不等式。在選修教材《不等式選講》中對不等式與絕對值不等式、證明不等式的基本方法、柯西不等式與排序不等式、數學歸納法證明不等式作了更加詳細的介紹。并在書中還安排章節復習了該不等式，并將其推廣到三元的形式。

現行教材對基本不等式的課程內容的分層安排，逐步深入探討，花大量篇幅介紹了該不等式與其他不等式的關聯性，及其在解決其他數學問題、實際問題中的應用性，反映了該內容在高中數學知識體系中的重要性。

3.2“基本”還強調基礎性，更具有底層支柱作用

現行教材用“基本”來形容該不等式的重要性，在說法上更值得考究。重要的數學知識是有用的，有意義的。基本不等式不僅是有用的、有意義的，還是基礎性的、本源性的。

4.教學角度

克萊因指出：“一個數學教師的職責是：應使學生了解數學并不是孤立的一門學問，而是一個有機的整體。一個稱職的教師應該掌握或了解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程以及數學教育演化的經過。”基本不等式從數學上凸顯了溝通基礎數學知識間的內在聯系的可行性，相應的教學應通過數學上基本關系的揭示，來優化學生的認識結構。相較之下，重要不等式的提法有可能旨在強調數學結果，基本不等式的提法更強調基礎性，它是后續學習的出發點，強調的是一個過程的開始。

4.1教學應凸顯知識間的內在聯系，發展學生的認知結構

數學知識并不是離散孤立的存在，而是存在著一定的聯系。數學認知結構是學習者頭腦中對數學知識結構的反映，數學認知結構是否完善，直接影響著學習者的學習。教學若能將新知與舊知通過同化的方式納入學生的認知結構，將有助于優化學生認知結構，培養學生的興趣和自信心。

強調基本不等式是一種基礎性的數學知識，更能凸顯數學知識之間的內在聯系。在教學中要揭示這種內在聯系，以優化學生的認知結構。由于基本不等式本身有多種等價形式，證明方法也多樣，如果能引導學生通過觀察、探索、歸納和驗證，得到該不等式的多種等價形式和證明方法，還能得到意想不到的收獲。這對完善學生數學認知結構具有積極的作用。肖建輝在《解讀基本不等式的代數背景》（《中小學數學（高中版）》，2010年）一文中通過加、減、乘、除、開方、取倒數等一系列代數運算，在對運算結果之間的大小關系比較中，不僅得到了其等價形式，還推出了“調和平均數幾何平均數算術平均數平方平均數”的均值不等式鏈。由于基本不等式在代數中的基本性，教師若能引導學生將其頭腦中零散的數學知識結構有機串聯起來，就能幫助學生優化認知結構。肖建輝在《解讀基本不等式的幾何背景》（《中學數學》，2010年）一文中將代數與幾何有機結合在一起，突出了數形結合的思想方法。從趙爽弦圖、正交切分方塊、斜交切分方塊、射影定理、切割線定理、自相似直角三角形翻折等幾何模型中，推導出基本不等式。這說明了基本不等式與幾何知識之間有內在的聯系，基本不等式的教學能溝通不同幾何知識間的關聯性。方亞斌在《怎樣認識新課標中的基本不等式》（《數學通報》，2013年）一文中構造多種證明不等式的方法，除了從代數、函數、方程角度證明不等式外，還從統計、向量、復數、解析幾何、三角、平面幾何等角度對基本不等式進行了證明。這說明基本不等式與其他數學知識也有著深刻的聯系，數學教學要重視引導學生從中挖掘出這些知識間的內在聯系，形成縱橫交錯的網絡認知結構。

基本不等式也是溝通數學與其他學科之間的橋梁。袁泉潤在《“重要”不等式為何改為“基本不等式”》（《數學通訊》，2014年）一文中設計物理學的背景知識，進行物體質量測量。首先，用無刻度的天平測得物體的質量，利用杠桿原理，計算物體的質量，這是一個結果。其次，兩次測量物體的質量，用平均值估計物體實際質量，這又是一個結果；最后，通過比較兩個質量之間的大小關系，得出基本不等式。湯云強在《淺談“基本不等式”在高中物理解題中的應用》（《物理通報》，2011年）一文中介紹了基本不等式在高中物理中解決非彈性碰撞、連接體的速度極值等極值問題的應用。在歷史上，有人通過比較勻加速運動過程中的平均速度，和運動過程中時刻中點的瞬時速度，也能得到基本不等式。和物理知識相關聯，能培養學生跨學科的應用意識，同時有利于學生理解整個中學知識體系的關聯性，優化認知結構。

4.2“重要”強調認知結果，而“基本”重視認知過程

重要不等式給學生的感覺有可能這是一個重要的結論，是一個有用的結果，要記住；而基本不等式則告訴學生：這個不等式是證明諸多不等式的一個出發點，是一個過程的開始。從注重結果到關注過程是重大的理念轉變，理念的轉變旨在培養學生的思維能力。

數學教學要重視知識產生與發展的過程。基于這一理念，袁泉潤在《“重要”不等式為何改為“基本不等式”》（《數學通訊》，2014年）一文中對基本不等式這節課的教學重新進行了設計，并將其付諸于教學實踐，取得了很好的成效。這說明教學觀念從重視結果到重視過程的轉變，將更有利于培養學生的思維能力。

數學思想方法孕育于知識的發生發展過程中。思想是概念的靈魂，是數學素養的源泉，是從技能到能力的橋梁；過程是思想的載體，是領悟概念本質的平臺，是培養數學能力的土壤。沒有過程等于沒有思想。在日常教學中，不要搞快節奏，要慢工磨細活，展示思維的過程。如，基本不等式的證明方法多樣，若充分利用函數的思想方法，構造函數y=lnx，取x1=a， x2=b，得，化簡可得到基本不等式。若充分利用方程的思想方法，構造方程（x-，方程化簡得，由于a，b＞0，方程恒有解，那么Δ≥0，化簡得基本不等式。在多樣化的證明過程中，能夠培養學生靈活運用函數與方程的思想方法。把注重認知結果的“重要”改成不但要關注結果，更要關注認知過程的“基本”性，突出了重視教學過程和認知過程，重視在過程中培養學生思維的理念。

4.3基本不等式還強調可推廣性、可遷移性

方亞斌在《怎樣認識新課標中的基本不等式》（《數學通報》，2013年）一文中構造多種證明不等式的方法，除了從代數、函數、方程角度證明不等式外，還從統計、向量、復數、解析幾何、三角、平面幾何等角度對該不等式進行了證明。這說明基本不等式與其他方面的數學知識有著深刻的聯系，數學教學要重視引導學生從中挖掘出這些內在的關系，并對其進行推廣。

前面提到，可以將其推廣到三元甚至n元的算數—幾何平均值不等式或平均值不等式鏈。若將其條件中的范圍擴大到實數域，結論又會如何呢？n個數（不一定為正）的算術平均是一個重要的統計量，有廣泛的用途。在統計中，可將其應用于某一統計量理想值的最佳估計中，等等。對不等式作多方面的推廣過程中，數學的應用天地更廣闊了，更有用了。

數學知識在數學上具有可推廣性，在認知結構上具有可遷移性。我國教學歷來重視基本，如基本知識、基本技能的提法深入人心，現在還新增了基本思想方法、基本活動經驗的提法。那么，何謂基本，如何抓住基本呢？湖北特級教師裴光亞老師曾在《數學通訊》上從復習備考的角度談了如何抓住基本的策略和方法。強調基本，從遷移性來說，就是說這種認知方法、認知態度或認知策略具有超越具體情境的功能，不局限于特定的情境。在平常教學中，是在特定情境下學習特定的知識。為什么要學習這些知識，是因為這些知識中蘊含了可遷移的基本性要素。

5.結語

教科書將重要不等式改成基本不等式，表述上的微變凸顯了基本不等式在知識結構上、在認識結構上的底層支撐性，領悟其中的微言要義，對教學具有重要的指導作用。若能把握教材的微變，切實理解其中深刻的數學和教學道理，從重視結果轉變到過程、結果并重，并將這種教學理念上的變化落實到教學過程中，將更有利于培養學生的能力，更有利于教學目標的達成。（項目：華中師范大學研究生教學研究項目“數學教育方向研究生學術能力提升的研究（2013JG37）”的部分成果）

（作者單位：華中師范大學數學與統計學院）