關于Hermite矩陣Schur補的跡的幾個不等式

?

關于Hermite矩陣Schur補的跡的幾個不等式

引文格式： 解運運,段復建.關于Hermite矩陣Schur補的跡的幾個不等式[J].桂林電子科技大學學報，2016,36(1):79-82.

解運運，段復建

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林541004)

摘要：利用Schur補的理論知識和Hermite矩陣的跡的不等式，研究了Hermite矩陣Schur補的跡的不等式的遺傳性質，得到了Hermite矩陣Schur補的跡的Minkowski不等式、Holder不等式以及其他形式的不等式，并給出了理論證明，為處理大規模的矩陣計算提供了理論支撐。

關鍵詞：Schur補；Hermite矩陣；矩陣的跡

Schur補的概念[1]的提出大大地推動了數學領域的發展，大量工程問題可以歸結為大規模的矩陣計算問題，而矩陣的Schur補是處理大規模矩陣計算的有效工具，在數值計算、矩陣理論、線性方程組求解、控制理論、統計分析等領域中有著重要的應用[2-7]。由于Hermite矩陣是一類特殊矩陣，它的跡作為矩陣的一個重要的數字特征也受到廣泛的關注，文獻[8-9]介紹了(半)正定Hermite矩陣的跡的幾類不等式，但對于Hermite矩陣Schur補的跡的遺傳性質的研究較少。為此，研究不同條件下Hermite矩陣Schur補的跡，得到了Hermite矩陣Schur補的跡的Minkowski不等式、Holder不等式等其他形式的不等式，并給出了理論證明，為求解大型Hermite矩陣計算提供了理論依據。

1基礎知識

M/B=C-DB-1A；

M/C=B-AC-1D；

M/D=A-BD-1C。

定義2設A∈Cn×n，若AH=A，則稱A為Hermite矩陣，記為H(n)。

引理1[8]設A、B分別為n×m和m×n矩陣，則tr(AB)=tr(BA)。

當B=μA，μ>0時等號成立。

當B=μA，μ>0時等號成立。

2主要結論及其證明

證明由題意知

根據Schur補的定義得

M/A=D-BHA-1B=D+BHB，

當且僅當D=μBHB，μ>0時等號成立。

證明由Schur補的定義得

M/A=D-BHA-1B，

tr(M/A)=tr(D-BHA-1B)，

由引理1和矩陣的跡的線性性質可知，

證明由Schur補的定義得：

M/A=D-BHA-1B，

tr(M/A)=tr(D-BHA-1B)。

由BHA-1∈Cm×n、B∈Cn×m、引理1和矩陣的跡的線性性質可知，

若將M、N推廣到Hermite矩陣，結合定理2和定理3，可得2個Hermite矩陣和的Schur補的跡的不等式。

證明由定理2可知，

由(M+N)/2A=M/A+N/A得：

同理可得：

證明由Schur補的定義可知，

M/A=D-BHA-1B，

tr(M/A)=tr(D-BHA-1B)。

當D=0時，可得Hermite矩陣Schur補的跡的Holder不等式：

3結束語

在Schur補的理論基礎上，通過對二階分塊Hermite矩陣的跡的研究，得到Hermite矩陣Schur補的跡的遺傳性質，即Hermite矩陣Schur補的跡的Minkowski不等式和Holder不等式以及其他幾種形式的不等式，這些不等式反映了Hermite矩陣Schur補的跡與原Hermite矩陣各子陣的跡的關系，可通過求解二階分塊Hermite矩陣的子陣的跡來判斷Hermite矩陣Schur補的跡的上下界。

參考文獻:

[1]SCHURJ.überPotenzreihen,dieimInnerndesEinheitskreisesbeschr?nktsind[J].JournalfürdieReineundAngewandteMathematik,1917,147:205-232.

[2]PETRACG,ANITESCUM.ApreconditioningtechniqueforSchurcomplementsystemsarisinginstochasticoptimization[J].ComputationalOptimizationandApplications,2012,52(2):315-344.

[3]BARTLETTRA,BIEGLERLT.QPSchur:adual,active-set,Schur-complementmethodforlarge-scaleandstructuredconvexquadraticprogramming[J].OptimizationandEngineering,2006,7(1):5-32.

[4]GRIFFINGAR,LYNCHBR,STONEEA.AneigenvectorinterlacingpropertyofgraphsthatarisefromtreesbySchurcomplementationoftheLaplacian[J].LinearAlgebraanditsApplications,2013,438(3):1078-1094.

[5]GOWDAMS,SZNAJDERR.Schurcomplement,SchurdeterminantalandHaynsworthinertiaformulasinEuclideanJordanalgebras[J].LinearAlgebraanditsApplications,2010,432(6):1553-1559.

[6]JBILOUK,MESSAOUDIA,TABAK.SomeSchurcomplementidentitiesandapplicationstomatrixextrapolationmethods[J].LinearAlgebraanditsApplications,2004,392(15):195-210.

[7]LIUJianzhou,HUANGZejun,ZHANGJuan.ThedominantdegreeanddisctheoremfortheSchurcomplementofmatrix[J].AppliedMathematicsandComputation,2010,215(12):4055-4066.

[8]CHENHongqing.Severalinequalitiesofmatrixtraces[J].ChineseQuarterlyJournalofMathematics,1995,10(2):9-10.

[9]馮天祥.Hermite矩陣跡的幾個重要不等式[J],數學雜志,2009,28(3):92-95.

[10]狄勇婧,段復建.矩陣和的Schur補的性質[J].桂林電子科技大學學報,2012,32(6):490-492.

編輯：曹壽平

Several inequalities about the trace of Schur complement of Hermite matrix

XIE Yunyun， DUAN Fujian

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：By using the theoretical knowledge of Schur complement and the inequalities about the trace of Hermite matrix, the genetic properties of the inequalities about the trace of Schur complement of Hermite matrix are investigated. Minkowski inequality, Holder inequality and other inequalities about the trace of Schur complement of Hermite matrix are obtained and proved in the theory. They provide the theoretical support for dealing with the large-scale matrix calculation.

Key words：Schur complement; Hermite matrix; matrix trace

中圖分類號：O151.21

文獻標志碼：A

文章編號：1673-808X(2016)01-0079-04

基金項目：國家自然科學基金(11461015)通信作者： 段復建(1965-)，女，黑龍江黑河人，教授，博士，研究方向為數值代數與最優化理論。E-mail:duanfj@guet.edu.cn

收稿日期：2015-07-08