數(shù)學(xué)分析課程中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法探究

何天榮

【摘要】據(jù)筆者多年教授“數(shù)學(xué)分析”課程的經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對本課程有畏難、抵觸情緒.究其原因有兩點：一是本課程是學(xué)生上大學(xué)后接觸到的第一門分析學(xué)，其理論性、系統(tǒng)性很強；二是該課程所涉及的知識點很多，公式、概念太多.于是筆者一直在思考如何教好本門課程的理想方法，而思想方法是課程的靈魂，所以透徹研究其思想方法不失為一種理想的途徑.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)分析

一、關(guān)于“數(shù)學(xué)分析”課程

1.課程的性質(zhì)

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的一門專業(yè)基礎(chǔ)主干課，是許多后續(xù)課程如微分幾何、微分方程、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)與泛函分析、計算方法、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程必備的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的必修課.

2.課程的特點

數(shù)學(xué)分析的理論方法和內(nèi)容涉及幾百年來分析數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，又與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域有著密切的聯(lián)系，是從事數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用工作的必備知識.

二、數(shù)學(xué)分析課程所蘊含的思想方法

數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題.數(shù)學(xué)分析課程主要蘊含以下幾種思想方法：

1.極限思想

數(shù)學(xué)分析之所以能夠解決初等數(shù)學(xué)不能解決的問題，其根本原因是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上引進了一個新的思想方法，即極限思想方法.

所謂極限思想方法就是用聯(lián)想變動的觀點，把所考察的對象看作是對某對象在無限變化過程中變化結(jié)果的思想.極限思想方法是數(shù)學(xué)分析貫穿始終的思想方法，正是利用極限，實現(xiàn)了直與曲、近似與精確、有限與無限的矛盾轉(zhuǎn)化.

例如導(dǎo)數(shù)的背景是求經(jīng)過曲線上一點的切線的斜率，而就初等數(shù)學(xué)知識而言，我們能解決的問題是已知兩點求斜率，于是在曲線上找一個動點，求出曲線割線的斜率，再令動點無限趨近于定點，可以看出此時可以用割線斜率代替切線斜率，即割線斜率的極限為切線斜率；同理，定積分、連續(xù)、無窮積分、無窮級數(shù)的收斂等概念都以極限來定義的.

極限的方法，正是對立統(tǒng)一規(guī)律、否定之否定規(guī)律、質(zhì)變與量變規(guī)律等辯證思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的具體體現(xiàn)與運用.借助極限思想，人們將用常量數(shù)學(xué)研究客觀事物的時代發(fā)展到用變量數(shù)學(xué)研究客觀事物的時代.

2.類比思想方法

所謂類比的思想方法是在兩種不同的事物間進行比較，找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也有可能存在相同或相似之處的思想方法.

類比在引導(dǎo)數(shù)學(xué)分析理論不斷深化中有十分明顯的作用.

類比對拓寬創(chuàng)新思維作用是很大的，但是應(yīng)用類比時還必須重視猜測后的證明，因為并非所有的猜測都是正確的.

3.化歸思想方法

所謂化歸思想方法是指研究問題時，把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類能解決或比較容易解決的問題中，最終獲得原問題解決的一種思想方法.

化歸思想方法是人們對事物間的“普遍聯(lián)系”和矛盾在一定條件下“相互轉(zhuǎn)化”的能動反映，它著眼于揭示聯(lián)系、實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，通過矛盾轉(zhuǎn)化解決問題.

例如極限的四則運算、重要極限、無窮小量等價代換求極限、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、換元積分法、反常積分、多元微積分學(xué)等都是化歸思想的體現(xiàn).

4.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.“數(shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一.

利用幾何圖形的形象直觀、便于理解，代數(shù)方法的一般性，解題過程的程序化，可操作性強，便于把握，數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)分析等許多數(shù)學(xué)課程的重要思想方法.

概念的嚴(yán)格定義結(jié)合幾何直觀解釋，可使極限、連續(xù)、間斷、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念更加清楚易懂.

例：羅爾定理的證明、函數(shù)形態(tài)的研究、定積分的積分區(qū)間采用解析表達式結(jié)合圖形表示更準(zhǔn)確，更易于理解.

5.嚴(yán)密的邏輯推理方法

嚴(yán)密的邏輯推理方法要求對各種問題總是先給出確切的定義，然后從定義出發(fā)，利用邏輯推理，依次推出性質(zhì)、引理、推論，甚至建設(shè)本類問題的整套體系為止.

例如基本初等函數(shù)所有求導(dǎo)公式的理論推導(dǎo)都來源于導(dǎo)數(shù)的概念及求導(dǎo)法則.定積分的基本積分公式的理論依據(jù)是求原函數(shù)是求導(dǎo)逆運算并依求導(dǎo)公式逆推而來.

肯定一個命題必須給出證明，否定一個命題必須給出反例來進行反駁.反例反駁是指用一個反例作為論據(jù)否定猜想的方法，數(shù)學(xué)分析在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理中充分利用反例反駁的方法，尤其是證明命題B是命題A的必要非充分條件時，幾乎完全用舉反例的方法進行的.

三、結(jié)語

張奠宙先生說過：“每一門課程都有其特有的數(shù)學(xué)思想，賴以進行研究（或?qū)W習(xí)）的導(dǎo)向，以便掌握其精神實質(zhì)，只有把數(shù)學(xué)思想方法掌握了，計算才能發(fā)生作用，形式演繹體系才有靈魂.”為此，筆者認(rèn)為，作為數(shù)學(xué)分析的主講教師，透徹研究本課程的思想方法是教授好本門課程的必要條件.