基于OMP算法的極化敏感陣列多參數(shù)估計

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(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院， 四川成都 611731)

0 引言

壓縮感知(Compressive Sensing, CS)[1]是近幾年提出的一種稀疏信號重構(gòu)技術(shù)，它突破了奈奎斯特采樣定理對采樣頻率的制約，可以以低頻率進行欠采樣，然后以高概率、高精度重構(gòu)原始信號，降低數(shù)據(jù)采樣、存儲和處理的成本。CS理論為開辟高性能DOA估計算法提供了良好思路，但目前CS理論在多參數(shù)估計方面仍然存在比較大的問題。

對極化敏感陣列的研究自20世紀90年代開始日趨活躍，并成為陣列信號處理研究的新熱點[2]。其中對目標的DOA和極化參數(shù)估計一直都是研究的重點，而與常規(guī)標量陣列相比，利用矢量陣列可以進行多參數(shù)的估計，包括功率、極化參數(shù)等。多重信號分類[3](MUSIC)算法的提出使得高分辨測向技術(shù)發(fā)展有了飛躍性的突破。但是，對于多參數(shù)估計，傳統(tǒng)的MUSIC算法需要進行多維譜峰搜索，計算量太大，文獻[4-5]提出模值約束求解極化參數(shù)，降低了運算量，但在相干信號情況下估計失效。文獻[6]提出了通過旋轉(zhuǎn)不變性進行信號參數(shù)估計(ESPRIT)算法，避免了空間譜峰搜索，解決了運算量和儲存量方面的問題，但相干信號情況下失效。而將壓縮感知理論應(yīng)用于矢量陣列參數(shù)估計時，其表現(xiàn)出的少快拍、低信噪比條件下仍有較好性能，以及天然的解相干能力等優(yōu)勢，是傳統(tǒng)DOA估計算法不具備的，因此利用壓縮感知理論進行矢量陣列DOA估計，具有十分重要的意義。

標量陣列下壓縮感知理論已經(jīng)有了比較成熟的研究，文獻[7-8]分別提出了L1-SVD算法以及L1-SRACV算法，文獻[9-10]提出加權(quán)范數(shù)算法，三者都屬于凸松弛算法，信號分辨率高，但運算復(fù)雜度大。文獻[11]在凸松弛算法的基礎(chǔ)上提出了將極化信號分解并利用LASSO算法求解極化參數(shù)的算法，得到比較精確的DOA估計，但極化參數(shù)估計結(jié)果并不好，并且算法涉及到正則化參數(shù)的選擇，計算復(fù)雜度非常高。文獻[12]提出了標量陣列下的正交匹配追蹤算法OMP算法，相對于L1-范數(shù)算法，OMP算法的優(yōu)點是計算量小，并能夠更多地運用在實際工程中。本文在OMP算法的基礎(chǔ)上，對極化敏感陣列信號觀測矩陣重新建模，將空域與極化域參數(shù)分離進行估計，首先利用改進的OMP算法得到空域到達角估計結(jié)果，在已知空域到達角估計結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用模值約束構(gòu)造代價函數(shù)計算得到極化域參數(shù)估計結(jié)果，將空域和極化域分離處理，達到了降維的目的，減小了算法計算量。與傳統(tǒng)的MUSIC算法以及ESPRIT算法不同，該算法不需要求解協(xié)方差矩陣，進行特征值分解，這使得該算法在相干信號情況下同樣適用，同時也在一定程度上減少了算法運算復(fù)雜度。本文算法在小快拍數(shù)的情況下估計性能相較于ESPRIT算法以及模值約束MUSIC算法也有比較明顯的優(yōu)勢。

1 常規(guī)OMP算法求解DOA

考慮均勻線性陣列，陣元數(shù)為M， 陣元間距為d， 均勻線性陣列空間導(dǎo)向矢量為

as(θ,φ)=[1,e-jφ,…,e-j(M-1)φ]T

(1)

式中，φ=2πdsinθsinφ/λ，λ為波長。為方便且不失一般性，假設(shè)信源方位角φ=90°。為得到波達方向估計，將整個空間的方位角劃分為Nθ份，構(gòu)造M×Nθ維的冗余字典：

(2)

(3)

式中，x和n分別為陣列各通道的接收矩陣和其中的噪聲，均為M×N維，α為Nθ×1維的稀疏向量，只有信號入射方向?qū)?yīng)的位置非零，其余位置全為零。上述稀疏表示模型對應(yīng)的稀疏重構(gòu)問題可以寫為

(4)

1) 初始值設(shè)置：殘差R0=x，原子集合A0為空矩陣，原子指針集Γ0為空，迭代次數(shù)k=0；

4) 計算最小二乘問題s′k=arg max‖x-Aks′‖2，并更新殘差Rk=x-Aksl；

5)如果k=K那么結(jié)束迭代，得到K個信號的DOA估計，否則k=k+1重復(fù)步驟2)。

OMP算法屬于壓縮感知重構(gòu)方法中貪婪算法的一種，相較于凸優(yōu)化算法雖然精度稍有欠缺，但運算復(fù)雜度小，因此更多的運用在實際工程中。本文中選擇OMP算法對極化敏感陣列模型進行求解。

2 極化敏感陣列信號模型

為了將標量陣列下的OMP算法運用到極化敏感陣列信號多參數(shù)估計中，進行如下信號建模。對于完全極化波，考慮一個由M個天線單元所組成的極化敏感均勻線性陣列，陣元間距為d，以及K個遠場窄帶極化信源。對應(yīng)的極化矢量可以表示為

ap(θ,φ,γ,η)=V(θ,φ)·E(γ,η)=

(5)

式中，γ∈[0,π/2)為極化幅角，η∈[-π,π)為極化相角，θ∈[-π/2,π/2]和φ∈[0,2π)分別為空域俯仰角和空域到達角。為推導(dǎo)方便且不失一般性，假設(shè)空域角度φ=90°，那么極化矢量ap(θ,φ,γ,η)退化為

ap(θ,γ,η)=V(θ)·E(γ,η)=

記api為極化矢量ap(θ,γ,η)中對應(yīng)的每一行的元素值。極化敏感陣列的導(dǎo)向矢量可以表示為極化矢量與空域?qū)蚴噶康腒ronecker積，即

as,p(θ,γ,η)=ap(θ,γ,η)?as(θ)

(7)

式中，as(θ)=[1,e-jφ,…,e-j(M-1)φ]T，φ=2πdsinθ/λ，λ為波長。第k個信號的接收模型可以表示為

xk(t)=as,p(θk,γk,ηk)sk(t)+nk(t)

(8)

將上述極化敏感陣列信號接收模型對應(yīng)行相加可以表示為

(9)

x′=As′+n′

(10)

x′=A(Θ)α+n′

(11)

觀察式(11)和式(3)可以發(fā)現(xiàn)，此時的極化敏感陣列是可以采用OMP算法求解的。

3 改進的OMP算法及極化參數(shù)求解

3.1 改進的信號波達方向估計算法

RK-1=x′-AK-1s′K-1

(12)

那么最小二乘問題的解為

[(AK-1)HAK-1]-1(AK-1)Hx′

(13)

將x′及式(10)代入式(9)，可以得到下面的形式：

RK-1=(I-AK-1((AK-1)HAK-1)-1(AK-1)H)·

(14)

4) 計算最小二乘問題s′k=arg max‖x′-Aks′‖2，并更新殘差Rk=x′-Aks′l；

6) 如果k=K那么結(jié)束迭代，得到K個信號的DOA估計，否則k=k+1重復(fù)步驟2)。

3.2 極化參數(shù)的估計

極化敏感陣列導(dǎo)向矢量如式(7)中所示，證明得到

as,p(θ,γ,η)=ap(θ,γ,η)?as(θ)=

(V(θ)?as(θ))·E(γ,η)

(15)

式中，as,p(θ)=V(θ)?as(θ)。由上節(jié)步驟2)中的原子選擇準則可以看到，信號到達角方向與殘差的相關(guān)性最大。同樣，在得到DOA的估計結(jié)果后，極化敏感陣列信號導(dǎo)向矢量與觀測矩陣的相關(guān)性最大，這樣可以得到極化參數(shù)的估計結(jié)果。那么求解極化參數(shù)就可以轉(zhuǎn)換為如下問題：

s.t.‖E(γ,η)‖=1

(16)

式中，x為觀測矩陣，as,p為極化導(dǎo)向矢量。

(‖xH(as,p(θ)E(γ,η))‖1)2=

(xH(as,p(θ)E(γ,η)))H(xH(as,p(θ)E(γ,η)))=

E(γ,η)Has,p(θ)HxxHas,p(θ)E(γ,η)

(17)

式中，

G(θ)=as,p(θ)HxxHas,p(θ)

(18)

那么式(16)就變成如下問題：

maxE(γ,η)HG(θ)E(γ,η) s.t. |E(γ,η)|2=1

(19)

G(θ)E(γ,η)=uE(γ,η)

(20)

為解決上式的問題，建立代價函數(shù)：

L(θ,γ,η)=EH(γ,η)G(θ)E(γ,η)-

u[EH(γ,η)E(γ,η)-1]

(21)

對式(21)關(guān)于E(γ,η)求梯度，并令結(jié)果等于0，得到

(22)

即G(θ)E(γ,η)=uE(γ,η)

(23)

可以看出，E(γ,η)為G(θ)的特征值u所對應(yīng)的特征向量，因為

EH(γ,η)G(θ)E(γ,η)=uEH(γ,η)E(γ,η)=u

(24)

所以，要使得EH(γ,η)G(θ)E(γ,η)最大，相當(dāng)于要求得最大的u。而G(θ)的最大特征值對應(yīng)的特征向量正好是E(γ,η)，即

E(γ,η)=vmax[G(θ)]

(25)

(26)

(27)

3.3 基于OMP算法的極化敏感陣列多參數(shù)估計算法步驟

1) 將極化敏感陣列信號接收矩陣按照式(9)、(10)中所示的形式進行建模；

3.4 算法復(fù)雜度分析

算法的運算量主要與M,N,K和n有關(guān)，其中M代表陣元個數(shù)，N代表采樣快拍數(shù)，K代表入射信號個數(shù)，n代表搜索范圍內(nèi)點數(shù)。通常情況下，M,N和K都比n小得多，所以算法的運算量主要取決于與n有關(guān)的項。在計算入射信號的波達方向時，本文算法構(gòu)造了冗余字典，模值約束MUSIC算法運用譜峰搜索，都與搜索范圍點數(shù)n有關(guān)，但本文算法不需要求解協(xié)方差矩陣，同時也不需要對協(xié)方差矩陣進行特征值分解，相對模值約束MUSIC算法，復(fù)雜度小。對于極化ESPRIT算法，算法不需要進行譜峰搜索，因此算法運算量與n無關(guān)，但與模值約束MUSIC算法相同，兩者都需要比較大的快拍數(shù)才能得到精確的估計結(jié)果，而本文算法小快拍下就可以得到良好的估計結(jié)果，減少了算法運算量。

4 算法仿真及分析

仿真實驗一：假設(shè)陣元數(shù)M=16，陣元間距d=λ/2，噪聲為高斯白噪聲，兩個入射信號的角度及極化參數(shù)分別為(θ1,γ1,η1)=(10°,15°,30°)， (θ2,γ2,η2)=(60°,45°,75°)，兩個信號非相干情況下進行實驗。改變采樣快拍數(shù)，信噪比為5 dB，每個快拍條件下進行500次蒙特卡羅實驗，圖1(a)、(b)、(c)分別給出了在小快拍情況下極化ESPRIT算法、模值約束MUSIC算法、本文的入射信號波達方向估計及極化參數(shù)估計的均方誤差曲線。從仿真結(jié)果可以看出，隨著快拍數(shù)的增加，誤差減小，對于信號到達角的估計，本文算法在快拍數(shù)小于17 dB時，性能比ESPRIT以及MUSIC算法好，這表現(xiàn)出壓縮感知小快拍下性能優(yōu)越的特點。極化參數(shù)估計方面，本文算法優(yōu)于ESPRIT和模值約束MUSIC算法。

仿真實驗二：改變?nèi)肷湫盘柕男旁氡龋炫臄?shù)為50，進行500次蒙特卡羅實驗，兩個信號非相關(guān)條件下進行實驗，其余仿真條件與實驗一中相同。圖2(a)、(b)、(c)分別給出了極化ESPRIT算法、模值約束MUSIC算法、本文的入射信號波達方向估計以及極化參數(shù)估計的均方根誤差曲線。從仿真結(jié)果可以看出，隨著信噪比增加，均方根誤差越來越小。對入射信號的到達角估計，本文算法在信噪比小于0 dB時優(yōu)勢明顯，隨著信噪比的增加MUSIC算法的估計性能優(yōu)勢凸顯出來，這是因為MUSIC算法在求解DOA時運用特征分解，在大信噪比時優(yōu)勢明顯。兩者的估計結(jié)果都優(yōu)于ESPRIT算法。極化參數(shù)的估計本文算法總體優(yōu)于極化ESPRIT算法和模值約束MUSIC算法，從圖1(b)中可以看到在信噪比增大到16 dB左右ESPRIT和模值約束算法的性能要比本文算法好，這也是由于兩種算法都運用了特征值分解而帶來的優(yōu)勢。

仿真實驗三：入射信號的信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200，兩個信號相干情況下進行實驗，其他實驗條件與實驗一中相同，進行500次蒙特卡羅實驗仿真得到統(tǒng)計均方根誤差對比結(jié)果如表1所示。從仿真結(jié)果可以看出，本文算法在相干信號情況下可以進行工作，但模值約束MUSIC算法及ES-PRIT算法已經(jīng)失效，不能夠進行多參數(shù)的估計。所以將壓縮感知運用于極化敏感陣列中，無論在相干信號還是非相干信號的情況下都能夠得到良好的估計結(jié)果。

(a)到達角估計誤差隨快拍變化

(b)極化幅角估計誤差隨快拍變化

(c)極化相角估計誤差隨快拍變化圖1估計誤差隨快拍變化曲線

(a)到達角估計誤差隨信噪比變化

(b)極化幅角估計誤差隨信噪比變化

(c)極化相角估計誤差隨信噪比變化圖2估計誤差隨信噪比變化曲線

表1 統(tǒng)計均方根誤差結(jié)果對比

注：表中的MUSIC算法為模值約束MUSIC算法。

5 結(jié)束語

本文研究壓縮感知理論在極化敏感陣列信號多參數(shù)估計中的應(yīng)用，在OMP算法的基礎(chǔ)上，提出一種改進的極化OMP算法。算法對極化敏感陣列信號觀測矩陣重新建模，將空域與極化域參數(shù)分離進行估計，達到了降維以及獨立估計的目的。與傳統(tǒng)的MUSIC算法以及ESPRIT算法不同，算法不需要求解協(xié)方差矩陣，進行特征值分解，這使得算法在相干信號情況下同樣適用，同時也在一定程度上減少了算法運算復(fù)雜度。本文算法在小快拍數(shù)的情況下估計性能相較于ESPRIT算法以及模值約束MUSIC算法也有比較明顯的優(yōu)勢。通過仿真驗證了算法的正確性以及性能的優(yōu)越性。通過與傳統(tǒng)的ESPRIT算法以及模值約束MUSIC算法的仿真性能對比，也可以看到將壓縮感知理論運用在極化敏感陣列多參數(shù)估計中能夠達到比傳統(tǒng)極化方法更好的估計性能。并且本文算法在小快拍及低信噪比時性能更好，具有很好的估計效果以及較快的收斂速度。

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