重視思維培養關注能力發展

盧圣新

摘 要：在課堂教學中，學生思維智慧的火花、探究問題能力的培養容易被忽視，容易被機械訓練、題海戰術取代，由此，文章提出如何在課堂教學中點燃學生思維的火花、發展學生的能力方面開展課堂活動，使學生主動的學、終身學習能力的培養與課堂教學達到完美的統一.

關鍵詞：課堂教學；思維培養；發展能力；思想滲透

《高中數學課程標準》中指出：“高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一.” 在信息爆炸的今天，知識日新月異，許多新的知識隨時隨地可能出現在面前，在學校中所學的許多知識通常在走出校門后不久就會被大量遺忘，但是那些銘刻于頭腦中的數學思想、思維方式、學習方法以及研究問題科學的態度、習慣等都將伴隨著學生一生，并使學生終身受益，因此在課堂教學中，教師不僅要讓學生學會繼續深造所必需的基礎知識、基本技能、基本方法和基本思想，同時還要在教學中讓學生經歷思維產生的過程，培養學生用數學思維去觀察、分析、思考問題，培養學生終生學習的能力. 下面結合本人在教學實踐中是如何培養提升學生的思維能力、關注學生能力發展方面談些膚淺的認識.

[?] 情境教學，尋找思維源泉

建構主義學習理論認為，學習總是與一定的知識背景，即“情境”相聯系，在實際情境下進行學習，可以使學生利用已有知識與經驗同化和索引出當前要學習的新知識，這樣獲取的知識不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中，同時情境教學也有利于培養學生主動觀察生活、積極思考問題的習慣，通過情景搭建思維的平臺，讓學生體驗到思維的價值，找到思維開發的源泉.

例1 在《基本不等式≤》一課教學中就可以通過創設以下情境引入：把一個物體放在天平的一端上，在另一端放上砝碼使天平平衡，稱得物體的質量為a. 但如果天平的兩臂長略有不同，則a并非物體的真實質量，這時我們可以考慮做第二次測量：把物體調換到天平的另一端上，此時稱得物體的質量為b，那么有人認為物體的質量為，你認為合理嗎？若合理請說明理由，若不合理則比物體真實的質量是大還是小？你能用幾種方法說明它們之間的大小關系？（可以用比較法、分析法、綜合法、數形結合法等）

學生在情境的引領下，點燃了解決問題的興趣，思維就如涌泉之水被激發出來.

[?] 過程教學，激發思維潛能

荷蘭教育學家弗賴登塔爾指出，學習數學的正確的方法是學生的“再創造”，即由學生把要學的數學知識自己創造或發現出來. 教材的定理、公式、法則等都是前人探索、研究的成果，僅僅讓學生機械的記憶、簡單的運用顯然是不夠的，教師應學會用教材“教”，而不僅僅是“教”教材. 人民教育出版社新編的A版教材在《二倍角的正弦、余弦、正切公式》、《等比數列》等課的編寫中就已經有了很大的改進，課文中就出現了許多空白的方框（讓學生自己發現公式），此時教師在教學過程中應充分展示知識的產生、發展過程，讓學生在經歷、沖突、體驗中發展思維，在“發現”中激發學生的思維潛能，提升思維水平，促進學生能力的發展.

例2 在《等比數列前n項和》一節教學中，可采用在古印度發明國際象棋之后國王獎賞發明者故事的引領下，引導學生提出并探究問題：如何求S=1+2+22+23+…+263的值？雖然教學中課堂時間緊，但若急急忙忙地就拋出“錯位相減法”后進行實題訓練，這樣顯然有違了學生的認知規律，不僅不利于學生思維的培養，也不利于知識的記憶，教師可緊緊抓住教材的特點，充分利用教材引導學生積極思考，主動發現并歸納總結.

問題1：式子S=1+2+22+23+…+263①的右邊有什么特點？

學生：是公比為2的等比數列的前64項的和.

問題2：如何求①式的值？

讓學生先觀察、分析、思考，幾分鐘之后教師再引導學生類比等差數列前n 項和公式中用首項與公差，或首末兩項來表示公式的特點探究等比數列前n項和公式的推導過程.

問題3：如果把上式①的兩邊同時乘以公比2，能得出一個怎樣的式子？

學生：2S=2+22+23+…+263+264②.

問題4：觀察①、②兩個等式，它們有什么特點與聯系？這對求S的值有什么幫助？

學生：①、②兩個等式有很多相同的項，如果將兩式相減可以消掉，得到一個僅與首末兩項有關的簡單的關系式： -S=1-264，所以S=264-1.

問題5：如何求等比數列{an}的前n項和Sn的值？

學生：Sn=a1+a1·q+a1·q2+…+a1·qn-1=a1·（1+q+q2+…+qn-1）.

問題轉化為先求Tn=1+q+q2+…+qn-1的值，這與式子①的解決方法一致.

學生在問題的啟示下，體會通過等式兩邊同時乘以公比q并將兩式相減達到求同存異、消除差異，從而經歷、體驗、領悟求等比數列前n項和的方法——錯位相減法，這種由特殊到一般也符合學生的認知規律，學生也能在“發現”中提升思維水平.

[?] 變式教學，強化思維深度

心理學研究表明，凡是對比強烈、明顯，不斷變化的事物以及與已有知識經驗有密切關系的事物都容易引起學生的興趣與思考，因此課堂中實施變式教學無疑吻合這一特點. 通過變式教學，對調動學生學習的主動性、激發學生的求知欲望和進取精神具有積極的作用，它有利于培養學生思維的靈活性、嚴密性和深刻性，有利于培養學生思維的深度與廣度，促進學生能力的提高.

例3 在《雙曲線及其標準方程》的概念教學中，在學習雙曲線的定義“平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數（小于

F1F2

）的點的軌跡叫做雙曲線”以后，可以通過變式教學，編寫如下一組題目，以達到深化概念，強化思維深度，從而提高對雙曲線概念的理解與認識.

問題1：若將定義中的“小于

F1F2

”變為“等于

F1F2

”，其余不變，則點的軌跡是什么？（點的軌跡是分別以F1、F2為端點的兩條射線.）

問題2：若將定義中的“小于

F1F2

”變為“大于

F1F2

”，其余不變，則點的軌跡是什么？（點的軌跡不存在.）

問題3：若將定義中的“絕對值”刪掉，其余不變，則點的軌跡是什么？（點的軌跡為雙曲線的一支.）

問題4：若將定義中的“常數（小于

F1F2

）”改成“常數零”，其余不變，則點的軌跡是什么？（點的軌跡為線段F1F2的中垂線.）

問題5：若將定義中“小于

F1F2

”去掉，其余不變，則點的軌跡是什么？（體現分類討論思想，其實就是上面各種情形.）

問題6：若將定義中“差的絕對值等于常數（小于

F1F2

）”改為“和等于常數”，則點的軌跡是什么？

在本節教學中，為了使問題更加直觀、形象、生動，也可以借助信息技術，動態地體現曲線的變化過程，通過直觀感受、操作確認、對比等方法有效地完成概念教學，以強化思維的深度與廣度.

[?] 實踐探究，升華思維品質

蘇霍姆林斯基曾說：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者.” 將數學與生活聯系起來，通過數學問題生活化，生活問題數學化，進行實例探究，如：上課時，坐在什么位置才能最輕松地看到黑板上的板書？吊燈掛的高度對房間照明度有怎樣的影響？窗戶面積與采光量有怎樣的關系，若同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好還是變壞了？包裝盒如火柴、香煙等為什么多是長方體形式包裝？通過問題強化學生的應用意識，讓學生在探究中體驗到學習的快樂，升華思維的品質，促進能力的提升，實現數學可以讓生活更美好的愿望.

例4 在必修2《球的體積V=πR3》的教學中，除了可以采用教科書中直接給出體積公式外，也可以利用教科書探究與發現“祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積”中介紹的祖暅原理導出體積公式，也可以利用極限思想得出球的體積（高一學生可暫不介紹），還可以如下通過多媒體演示實驗的方法探究得出球的體積公式.

問題1：由球的幾何結構特征可以猜想：球的體積與什么量關系密切？（球的半徑.）

問題2：由圓的周長C=2πR，圓的面積S=πR2，圓柱的體積V=πR2·h，以及圓錐的體積V=πR2·h等公式，可以猜想球的體積表達式可能是關于R的一個什么樣的式子？（三次方式子，如V=k·R3的形式，其中k是與π有關的常數，這里設圓的半徑、圓柱、圓錐底面圓的半徑與球的半徑都為R.）

問題3：如何確定k的值？（可以通過實驗“將球放入盛滿水的容器中，排出的水的體積就是球的體積”，改變R的大小，通過多次實驗估算出k的值.）

問題4：為了便于將球容于圓柱中，可以取圓柱、圓錐的高都為2R，通過實驗發現，圓柱中剩下的水正好可倒滿圓錐，從而發現：

V球=V圓柱-V圓錐=πR2·2R-πR2·2R=πR3

運用這種方法探究，教師沒有將公式直接告訴給學生，而是通過類比、聯想、實驗，讓學生經歷了直觀感知，類比猜想、實驗發現等思維過程，增加了思維的靈活性，提升了思維的遷移能力，使數學學習真正成為學生“思維發展”的平臺.

[?] 滲透思想方法，提升思維策略水平

數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識的發生、發展和應用過程中，是對數學規律的理性認識，是數學的靈魂，是思維結果的一種形式，帶有一般意義和相對穩定的特征，由于它內涵的深刻性和外延的豐富性，需要在長期的思維活動中逐步體會，并形成意向和觀念，此意向和觀念又可以反過來潛意識地影響思維的策略水平，因此在教學中要加強對學生數學思想方法的滲透，這將有利于學生思維水平的整體提升.

例5 在空間向量的教學中可引導學生運用類比思想，讓學生經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；在復數的教學中，可以通過類比實數、向量等運算性質探究復數的運算性質；可以將等差數列與等比數列、圓與橢圓、橢圓與雙曲線等進行類比，發現兩者的異同點，這都將有利于學生合情推理思維能力的培養和提升. 在解析幾何教學中，讓學生體會其本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的數學思想；由三角公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ推導出C（α-β）、S（α±β）、T（α±β）、S（2α）、C（2α）、T（2α）公式過程中便體現了化歸思想；在立體幾何“柱、錐、臺體的側面積”教學中，可應用多媒體輔助教學，通過“展開法”把空間曲面轉化為平面圖形的面積來求解，也滲透了化歸思想和方法；在等比數列前n項和公式的推導與應用、解含參數不等式中就常體現分類討論思想；在解決直線與圓位置關系時就常用函數與方程思想、數形結合思想兩種解題策略.

當然，對學生思維能力的培養并不是一朝一夕就能解決、提高的事情，這需要教師在教學中有意識的滲透和培養，通過對教材的合理處理，讓學生不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，突出以人的發展為目的的教學，促進學生思維水平的提高，培養提升學生終身學習的能力.