數學史融入定積分概念的教學案例

于金青 鄧 碩

（1.石家莊郵電職業技術學院基礎部，河北 石家莊050021；2.河北地質大學數理學院，河北 石家莊050031）

數學史融入定積分概念的教學案例

于金青1鄧 碩2

（1.石家莊郵電職業技術學院基礎部，河北 石家莊050021；2.河北地質大學數理學院，河北 石家莊050031）

定積分是高等數學中一個非常重要的工具，能否把握定積分的思想直接影響后期定積分的應用。本文將數學史融入到定積分概念的教學中，設計具體的教學方案，使得學生能夠理解其中所體現的數學思想，方便以后的應用。

定積分；分割；近似；求和；取極限

16、17世紀，天文學、光學的發展，航海的需要，礦山的開發，火藥、槍炮的制作提出了一系列物理和數學問題[1]。例如面積和變速直線運動的路程，當時直線形的面積不難求出，但曲線圍成的面積就比較困難，如行星的矢徑掃過的面積，同樣，勻速直線運動的路程容易求出，而變速直線運動的路程不易求出。“無限細分、無限求和”的積分思想在古代就已經萌芽，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計算面積和體積的方法。后來也逐步得到了一系列求面積（積分）的重要結果，但這些結果都是孤立的、不連貫的[2]。直到17世紀，牛頓和萊布尼茲在許多數學家工作的基礎上和科學積累的基礎上發現了微分與積分互為逆運算，從而創立了微積分。

在講授定積分概念時，結合數學史，用當時求面積和路程的方法求曲邊梯形的面積和變速運動的路程[3]，從而引入定積分的概念。

1 具體問題

1．1 曲邊梯形的面積

先介紹曲邊梯形的數學定義：由連續曲線y=f（x）（f（x）≥0）、x軸與兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形是曲邊梯形。接下來舉一個具體的例子：由連續曲線y=x2、x軸與兩條直線x=0、x=1所圍成的曲邊梯形。

當時人們并沒有像現在這樣的定積分工具，就無法套用現成的面積公式求出精確值。那么如何求由連續曲線y=x2、x軸與兩條直線x= 0、x=1所圍成的曲邊梯形的面積？沒有現成的公式，那么能否退一步，先求出它的近似值？當時可以用的公式是矩形的面積公式，是否可以用矩形近似表示曲邊梯形呢？整個的曲邊梯形不能用矩形近似表示，那么就把曲邊梯形切分。

具體來說，當時的人們是按照下面的步驟進行求解的。

分割：

對于上面給的具體的曲邊梯形，在區間[0,1]內插入n個等分點0==1，這樣就把區間[0，1]分成了n個小區間每個小區間的長度為，從而曲邊梯形分成了n個小窄曲邊梯形

近似：

求和：

曲邊梯形面積的近似值為：

接下來，用多媒體展示當分割無限加細時，矩形面積的和無限接近曲邊梯形面積的精確值。也就是說當n無限增大時，近似值就無限接近于精確值，這正好就是極限概念的敘述。因此要想得到精確值，就得對近似值求極限。

取極限：

因此，曲邊梯形面積的精確值為：

1.2 變速運動的路程

設某物體作直線運動，已知速度v=v（t）=t2+2是時間間隔[0，1]上t的一個連續函數，求物體在這段時間內所經過的路程s。

同樣，當時人們并沒有像現在這樣的定積分工具，無法套用現成的公式求出精確值。那么能否退一步，先求出它的近似值？當時可以用的是勻速直線運動的路程公式，是否可以用勻速運動近似表示變速運動呢？整個的變速運動的路程不能用勻速運動的路程近似表示，那么就把變速運動的路程切分。

具體來說，當時的人們是按照下面的步驟進行求解的。

分割：

對于上面給的具體的變速運動，在區間[0,1]內插入n個等分點，=1，這樣就把區間[0,1]分成了n個小區間每個小區間的長度為，從而變速運動的路程分成了n個變速運動的路程

近似：

求和：

變速運動路程的近似值為：

當n無限增大時，近似值就無限接近于精確值，即：近似值的極限就是精確值。

取極限：

因此，變速直線運動的路程的精確值為：

2 一般問題

2.1 一般曲邊梯形面積的求法

分割：

針對一般的曲邊梯形，在區間[a,b]內插入n個等分點，a=a+=b，這樣就把區間[a,b]分成了n個小區間每個小區間的長度為，從而曲邊梯形分成了n個小窄曲邊梯形

近似：

求和：

曲邊梯形面積的近似值為：

同樣，當n無限增大時，近似值就無限接近于精確值，這正好就是極限概念的敘述。因此要想得到精確值，就得對近似值求極限。

取極限：

2.2 一般的變速直線運動路程的求法

設某物體作直線運動，已知速度v=v（t）是時間間隔[T1，T2]上t的一個連續函數，求物體在這段時間內所經過的路程s。

分割：

針對一般的變速運動的路程，在區間[T1，T2]內插入n個等分點，，這樣就把區間[T1，T2]分成了 n個小區間每個小區間的長度為△ti=，從而變速運動的路程分成了n個變速運動的路程

近似：

求和：

變速運動路程的近似值為：

同樣，當n無限增大時，近似值就無限接近于精確值。因此要想得到精確值，就得對近似值求極限。

取極限：

3 定積分的概念

很多問題都與上述兩個問題存在著共同之處：解決問題的方法步驟相同，所求量的極限結構式相同。這樣就逐漸產生了定積分的一般概念：假設f（x）在[a，b]上有界，分割[a，b]：a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b，（n=2,3,…），其中（i=1，2，3，…，n）.在每個小區間[xi-1，xi]任取一點ξi，構造和式，如果當n→∞時，下述極限存則f（x）稱在[a，b]上的積分存在，并稱這個極限值為f（x）在[a，b]上的定積分。記為：

可以看出，上述定積分的定義與現行教科書中的定義不一樣。定積分概念有兩個任意，實際上，可以將區間分割方式的任意性要求取消，改為對區間進行等分[4]。事實上，上述定義與現行教科書中的黎曼積分定義是等價的。

［1］李文林．數學史概論(第二版)[M]．高等教育出版社，2003.

［2］[美]莫里斯·克萊因．古今數學思想（第二冊）[M]．上海科學技術出版社,2009．

［3］[美]H.伊夫斯.數學史概論[M]．歐陽絳,譯．山西經濟出版社，1993.

［4］郭鏡明,韓云瑞,張棟恩．美國微積分教材精粹選編[M].高等教育出版社，2012．

［責任編輯：李書培］

2.2.1 參數的動態顯示

模擬量使用動態棒圖顯示，當參數超過高限或低于底限時相應的指示燈亮同時發出聲音報警信號，開關量使用指示燈表示，紅色表示斷開，綠色表示接通。

2．2．2 通信操作部分

“接收”按鈕完成參數的手動接收，通信操作通過下拉菜單選擇通信使用的串口號，通信狀態CD、DTR用來顯示單片機和上位機是否準備就緒。

3 結束語

本文通過CH341USB轉串口功能完成了USB接口標準下的數據采集，基于USB接口的數據采集系統由于具有使用簡單、即插即用、開放性、高速、穩定、可靠性高等優點，因此特別適用于儀器儀表、虛擬儀器、數據采集、數據采集設備和監控設備等場合。

【參考文獻】

［1］胡漢才.單片機原理及其接口技術[M].北京:清華大學出版社,1996.48-95.

［2］曹桂琴.數據采集基礎[M].大連:大連理工大學出版社,2002:39-41.

［3］葉玉明,姚伯威,彭偉.基于USB總線數據采集系統研究[J].中國測試技術報, 2003(1):7-8.

［責任編輯：李書培］

于金青（1976—），女，河北石家莊人，石家莊郵電職業技術學院基礎部，講師，研究方向為近現代數學史。

鄧碩（1987—），女，河北石家莊人，河北地質大學數理學院，助教，研究方向為代數編碼理論。