rGFM方法在二維流-固問題模擬中的應(yīng)用探討

剛 蕾 徐 爽 唐 強

（1.南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院，江蘇 南京211156；2.中國直升機設(shè)計研究所，中國 天津300300；3.上海航天局第八設(shè)計部，中國 上海200233)

rGFM方法在二維流-固問題模擬中的應(yīng)用探討

剛 蕾1徐 爽2唐 強3

（1.南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院，江蘇 南京211156；2.中國直升機設(shè)計研究所，中國 天津300300；3.上海航天局第八設(shè)計部，中國 上海200233)

本文結(jié)合rGFM(real Ghost Fluid Method),Hydro-elasto-plastic固體模型，在流-固界眠的二維模擬計算中推廣使用rGFM方法，針對界面處的二維Riemann問題進(jìn)行構(gòu)造和求解，進(jìn)而獲取界面處流體準(zhǔn)確的流動狀態(tài)，進(jìn)而用該流動狀態(tài)來對界眠的邊界條件進(jìn)行定義，進(jìn)而將流動問題的多個介質(zhì)轉(zhuǎn)化成單個的介質(zhì)進(jìn)行求解。二維實驗結(jié)果模擬顯示，在流-固界眠采用rGFM方法進(jìn)行數(shù)值計算，界眠與其他間斷之間計算十分準(zhǔn)確，精確解與二維問題之間具有較高的吻合度。

Riemann問題；rGFM方法；二維流－固問題

1 方程

考慮二維可壓縮多介質(zhì)流體力學(xué)方程組

這里e為單位質(zhì)量的內(nèi)能。

可壓縮水和氣體的狀態(tài)使用以下的公式進(jìn)行表示：

這里的常數(shù)為γ和B。對于理想狀態(tài)下的氣體，γ=1.4,B=0。對水(Tait方程)γ=7.15，

B=3309..一般情況下，流體和固體在狀態(tài)上會有很大的不同，但是如果在固體上作用一個很大的力，那么固體就會具有流體的性質(zhì)。而這個固體的狀態(tài)模型即為 Hydro-elasto-plastic body，其狀態(tài)用方程表示為：

其中,ω（V）為流體靜壓力，s（Vs，τs，V）為流體的剪切應(yīng)力,單位質(zhì)量體積為,在公式中表示為下標(biāo)s為初始狀態(tài),流體靜壓力用

為了跟蹤流體的運動界面,建立如下二維LevelSet方程[3]

其中φ（x,y,t）為符號距離函數(shù),采用二階格式[4]表示方程的空間離散，采用Euler方法表示時間離散。方程(8)可以轉(zhuǎn)化為：

2 界面邊界條件

界面的邊界條件在二維問題中確定時，需要給出密度、x方向速度、y方向速度和壓力四個變化的量，首先針對流體1，構(gòu)造出Riemann問題，如下所示：在流體1中選擇任意一個與界面向鄰近的網(wǎng)格點A，如圖1所示。在流體2中找出一個與流體1中網(wǎng)格點A所對應(yīng)且與流體2界面相臨近的網(wǎng)格點B，使得網(wǎng)格點A和網(wǎng)格點B兩個法向所成的夾角最小，由于已知A點和B點流體的狀態(tài)，那么可以設(shè),其中為A點的法向速度，為B點的法向速度，設(shè)為在界面法線方向定義的Riemann問題的初始條件，求解Riemann問題就能夠得到界面流體的狀態(tài)，為

圖1 界面處Riemann問題的構(gòu)造

更新A點的狀態(tài),由于在界面處法向速度和壓力具有連續(xù)性，A點的法向速度為，壓力為，會出現(xiàn)間斷的切向速度和密度，切向速度為A點原有的切向速度，密度為。如果流體1與界面之間最接近的網(wǎng)格點進(jìn)行了狀態(tài)的更新，那么就會出現(xiàn)一個方程，表示為0，它可以作為流體1在界面中的邊界條件，同理能夠得到流體2的邊界條件[1，6]。

3 數(shù)值試驗

二維問題主要是將液固界面以及激波氣固界面的相互作用力進(jìn)行數(shù)值計算，主要是在二維界面處檢驗強間斷問題的有效性，通過數(shù)值計算可以得到，該算法能夠準(zhǔn)確的獲取流場內(nèi)的物理現(xiàn)象。由于在固體的內(nèi)部激波比較微弱，為了能夠清晰的顯示出激波，本文用Schlieren圖像來顯示密度間斷，得到如下的計算公式：

算例 氣體中激波與鋼柱相互作用問題。

圖（a）-（d）給出了界面和激波發(fā)生作用的完整過程。由圖可以看出，激波和界面相互作用后，分解成了一個激波為入射狀態(tài)，該激波在固體和氣體中都能夠傳播，從圖（a）中可以看出，氣體的激波又被反射出來，圖（b）和圖（c）中反射的激波能夠在氣體中流暢的傳播，圖（d）中反射回來的激波與界面發(fā)生了相互的作用，并且產(chǎn)生了新的入射激波。

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［3］徐懷好.自適應(yīng)網(wǎng)格上的多介質(zhì)流動問題的數(shù)值模擬[D].南京:南京航空航天大學(xué),2008.

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［責(zé)任編輯：田吉捷］

江蘇省自然科學(xué)基金重點項目（BK20140059）。

剛蕾（1983—）,女,漢族,南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院，講師,計算數(shù)學(xué)—計算流體力學(xué)。