廣義逆及其在線性方程組中的應用

陳保周

摘 要：現實生活中，很多現實問題最終都可以轉化成線性方程組的求解問題，如何求解線性方程組的解成為解決很多問題的關鍵。線性代數課程中可以解決系數矩陣為可逆方陣的線性方程組的解的問題，而對于系數矩陣不是方陣或者不可逆的時候，是沒有很好的方法的。本文首先給出了一般矩陣廣義逆的概念。然后利用矩陣的廣義逆指出了線性方程組解的存在條件，并給出了具體的求解步驟，最后列舉了具體的求解實例。本文的研究對于一般線性方程組的求解問題具有一定的指導意義。

關鍵詞：矩陣；廣義逆矩陣；線性方程組；最小二乘解

一、引言

現實生活中，很多現實問題最終都可以轉化成線性方程組的求解問題，如何求解線性方程組的解成為解決很多問題的關鍵。線性代數課程中對于相容線性方程組 ，如果矩陣 是方陣且可逆，那么線性方程組的解。對于不相容的方程組我們通常稱為無解。無解的線性方程組是很乏味且沒有實際意義的。但事實上，在很多實際問題中，如數據處理、多元分析、最優化理論、現代控制理論、網絡理論等學科中，我們所遇到的方程組往往是不相容的方程組。所以，我們就在想當一個方程組的系數矩陣不是方陣或者不可逆的時候，是不是也存在類似的解的表達形式呢？對于這類問題，E.H.Moore于1920年在美國數學會上提出了他的廣義逆矩陣的一個論文摘要。論文發表在他死后的1935年。直到1955年，R.Penrose發表了和E.H.Moore等價的廣義逆矩陣理論，同年Rao提出了更一般的廣義逆矩陣的概念。廣義逆矩陣的出現，不僅從理論上還從實際應用上使得線性方程組的理論更加系統化，為線性方程組的求解問題提供了更廣闊的思路。當一個方程組的系數矩陣不是方陣或者不可逆的時候，我們不能求得的解，而可以利用廣義逆矩陣求得 使得 最小，當為歐式范數時，這樣的解稱為線性方程組的最小二乘解。這就是本文將要討論的問題。

二、相關定義與定理

定義1 設 是行最大秩的 階實矩陣 ，如果存在一個階矩陣 ，當右乘后得到一個 階單位陣I，即 則叫做的右逆，

記作 （1）

一般來說，右逆 可用下面的方法來計算，因為是 滿秩的方陣，故有 （2）

比較式（1） 和（2），可得 （3）

定義2 設是列最大秩的實矩陣，如果存在一個階矩陣，當左乘后得到一個 階單位陣，即 （4）

則 叫做的左逆，記做 ，這就是說，有 （5）

同理可得計算的公式是 （6）

這里值得指出的是，對于行（或列）最大秩的階矩陣，和是不可能同時存在的。顯然，當且僅當 時，同時存在，并且就等于普通的逆矩陣 。

定義3 設復矩陣，若有一個矩陣，滿足：

及 （AX）H=AX，

則稱為的最小二乘廣義逆，記作

定理1 不相容方程組AX=b有最小二乘解

， （7）

其中是的最小二乘廣義逆.

證明 設是的一個最小二乘廣義逆，，于是對任意的恒有，

所以，是不相容方程組Ax=b的最小二乘解.

必須注意，矛盾方程組（不相容方程組）的最小二乘解導致的誤差平方和（即在最小二乘意義下）是唯一的，但是，最小二乘解可以不惟一。為此，有下面的定理。

定理2 不相容方程組Ax=b的最小二乘解可表示為

， （8）

其中是任意列向量.

證明 先證（8）式中的確為最小二乘解.因為是Ax=b的最小二乘解，所以取最小值，而，所以，

也取最小值，即為最小二乘解.

再證Ax=b的任一個最小二乘解必可表示成（8）式的形式.事實上，類似于定理1的證明有

從而有，即，這說明 為齊次線性方程組Ax=0的一個解，所以，

，即 ，

其中是任意列向量.

如定理2所述，不相容方程組的最小二乘解不是唯一的，而由前面章節知道最小二乘廣義逆也不是唯一的，并且，最小二乘廣義逆的通式與最小二乘解的通式（8）形式上有類似之處。

三、實例分析

在最小二乘解、曲線擬合和多元線性回歸分析中常常要計算不相容方程組的最小二乘解.廣義逆矩陣的理論使得求不相容方程組最小二乘解的方法簡單化、標準化、規范化了.整個求解過程的關鍵在于求出的最小二乘廣義逆，而用不著先求誤差平方和，再利用極值條件，最后求解一個新的方程組等一系列煩瑣的步驟。

參考文獻：

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