冪零奇點小鄰域內相軌線的拓撲結構與中心問題

李鋒，張冬梅 ，竇霽虹

(1.臨沂大學數學與統計學院，山東 臨沂 276005;2.西北大學數學學院，陜西 西安 710127)

1 引言

近年來，關于平面多項式問題的中心焦點判定問題受到了國內外學者的廣泛關注，其主要方法仍然是后繼函數法，形式級數法，平均法，等等.但是對于退化奇點，由于經典的方法不再適用，相關問題的研究進展一直較為緩慢.作為一類特殊的退化奇點，冪零奇點的研究也一直吸引著眾多學者的目光.當一個以坐標原點為孤立奇點的實平面微分自治解析系統在原點鄰域的線性近似系統有兩個零特征根，但線性項的系數不全為零時，該系統的坐標原點稱為冪零奇點.考慮原點為冪零奇點的實平面微分自治系統

其中X(x，y)，Y(x，y) 在原點鄰域解析.

設y=f(x)是隱函數方程

在原點鄰域的唯一解，記

由(3)式，系統(1)可經變換

其中h(ξ)，g(ξ)，p(ξ，η) 在原點鄰域解析，且h(0)=g(0)=0.

專著[1]在定理7.2和定理7.3中引述了專著[2]中對冪零奇點的有關研究結果，轉述如下:

定理 1.1系統(1)奇點O(0，0)的性態由下式判定，其中當k=2m+1時，

在(5)式的最后一項中的“怪點”，在定理7.2引述的結論中說:這類奇點鄰域由一個橢圓扇形和一個雙曲扇形組成，如圖2所示.

圖1 k=2m時系統怪點的小鄰域內的相圖

圖2 k=2m+1時系統退化奇點的小鄰域內的相圖

本文主要從以下三個方面進行闡述:冪零奇點小鄰域內相軌線的拓撲結構，冪零奇點的中心問題，冪零奇點的局部分支問題.第二部分給出一些具體的例子說明在冪零奇點小鄰域內相軌線可能存在不同的拓撲結構.第三部分對焦點量的計算方法進行總結，進而對中心與解析中心問題進行闡釋.第四部分主要對冪零奇點小鄰域內的極限環分支問題進行總結.

2 冪零奇點小鄰域內相軌線的拓撲結構

圖2有一個值得注意的特點，即所有過原點的相軌線都是原點鄰域的奇閉軌線.然而，在本節中將舉例說明，可能存在過這類奇點的開軌線，即這類奇點鄰域相軌線的拓撲結構與圖2可能有所不同.由定理1.1，系統(1)原點為“怪點”的充分必要條件是n為奇數，且下列條件之一成立:

茲舉例說明當上述條件之一成立時系統(1)可能存在過原點的開軌線，其原點鄰域相軌線的拓撲結構不同于圖2.

例2.1考慮二次系統

令ξ=x，η=y+2x2，系統 (7)化為

從而對系統 (7)而言，k=2m+1=3，m=n=1，a3=-4(2-μ)＜0，b1=2(4-μ)，，原點O(0，0)是系統 (7)的 “怪點”.

如果0，則系統 (7)的首次積分為.以下僅就μ=0與μ=1兩種情況討論系統(7)的相圖.

當μ=0時，系統(7)化為

其右端函數滿足(6)式中的條件C1.系統(8)的首次積分為

由此得到系統(8)的相圖如圖3(a)所示.由于系統(8)有一條過原點的直線解y=0，故從大范圍看，圖3(a)與圖2的結構有所不同.

當μ=1時，系統(7)化為

其右端函數滿足(6)式中的條件C2.系統(9)的首次積分為

其相圖如圖3(b)所示，其結構與圖3(a)有很大的不同，茲說明如下:

圖3 系統(7)在不同參數下的相圖

(1)直線Γ1:y=0與拋物線Γ2:y+x2=0都過原點，是系統(9)的兩條特殊的代數曲線解，把相平面分割成下列四個子域:

(2)對任一固定的常數c＞0，曲線F=c是系統(9)的一條雙曲線解，其一支位于上半平面D1，另一支位于下半平面以Γ1，Γ2為邊界的區域中，且過原點;

(3)對任一固定的常數c＜0，曲線F=c是系統(9)的一條橢圓曲線解，位于下半平面以Γ2為邊界的區域D3中，且過原點.

綜上所述:對系統(9)而言，上半平面，D1是一個雙曲扇形，是兩個拋物扇形，而D3是一個橢圓扇形.

然而，如果只把目光局限在原點充分小的鄰域，則圖3(a)與圖3(b)中相軌線的拓撲結構是一樣的，在原點的小鄰域內的結構都如圖3(c)所示.

在整個Poincaré圓盤上，系統(8)與系統(9)的全局相圖分別如圖4與圖5所示.其中圖4含兩個子域，圖5含四個子域.

圖4 系統(8)的全局相圖

圖5 系統(9)在不同參數下的全局相圖

圖2原點鄰域相軌線的拓撲結構與圖3(c)一樣嗎？

怪點鄰域(小范圍)以及與怪點有關的子域(大范圍)相軌線究竟有哪幾種拓撲結構？如何判斷？

例2.2考慮三次系統

對系統 (10)作變換ξ=x，η=y+x2-x2y，得

從而對系統 (10)有k=2m+1=5，m=2，n=1＜m，a2m+1=-2＜0，bn=2，故 (6)式中的條件C3成立，原點是“怪點”.

系統(10)的首次積分為

其中拋物線y+x2=0與直線y=0是系統(10)的代數曲線解.

系統(10)原點鄰域的相圖類似于圖b(參見圖6).

圖6 系統(10)的原點小鄰域內的相圖

3 冪零奇點的焦點量計算與中心問題

當奇點是冪零奇點且滿足在(5)式的中心型奇點的條件時，一個重要的問題就是中心焦點的判定問題.而解決該問題的主要方法就是焦點量的計算.對于冪零奇點，由于其退化性，初等中心型奇點的焦點量的計算方法不再適用，本節主要對焦點量的計算方法進行總結.由定理1.1得

性質 3.1設函數y=f(x)是隱函數方程(2)在原點鄰域的唯一解，則系統(1)原點為中心或焦點的充分必要條件是存在一個的正整數n，使得

當原點為冪零奇點時，專著[2]中通過變換

把系統(11)化為

在理論上，諸νk(?)可以逐項求出，故可定義焦點量，細焦點及其階數等概念，并可研究后繼函數的零點.從而可以把有關后繼函數的理論作為研究系統(1)原點的中心焦點判定與極限環分支問題的最原始的理論根據.

然而，在針對具體系統進行研究時，要把諸νk(?)逐項求出來是有困難的.

說明 3.1在變換 (12)中，若用f(x)代替fn+1(x)，則可使由系統 (1)得到系統(13)的推導較為簡單.但由于f(x)通常不能精確地求出，故在針對具體系統進行計算時還得使用fn+1(x).

專著 [2]中還證明了:如果bn=0，則可逐項確定在原點鄰域定正的形式級數F(x，y)，使得

由于避免了逐項積分，故{Vk}比{νk(2π)}容易計算.然而如果在{Vk}中第一個不為零Vk下標可能為奇數，故不能直接由它的正負符號來判定系統(1)原點的穩定性.

專著[2]以及文獻[3-7]中研究了系統(1)原點鄰域的規范型.由專著[2]中的定理19.10得

定理 3.1當性質3.1的條件成立時，存在形式變換

文獻[7]中進一步證明了以下定理.

定理 3.2當性質3.1的條件成立時，存在一個形如變換(15)的在原點鄰域解析的變換，使系統(1)經變換(15)化為下列Liénard方程

從而可以把諸B2k看作原點的各階Lyapunov常數.

文獻[8]對規范型的方法再次進行研究，給出相應的Maple程序.但是，無論廣義極坐標變換還是規范型的方法，都牽扯到大量的符號計算，與初等中心的形式級數法，后繼函數法相比較，其難度非常大.文獻[9-10]專門研究了三次冪零奇點的中心焦點判定與極限環分支問題.

性質 3.2系統(1)的坐標原點為三次奇點，且為中心或焦點的充分必要條件是

當 (16)式成立時，不妨設a20=μ，b20=0，b11=2μ，b30=-2，否則記

并對系統 (1)作變換ξ=λx，，從而可以把具有三次冪零型中心或焦點的實平面微分自治解析系統化為下列形式

證明了該系統一定存在逆積分因子，并給出了計算焦點量的逆積分因子法，該方法只涉及系數的代數運算，計算較為簡單.

說明 3.2逆積分因子法只適用于三重冪零奇點，對于更高重次的奇點，該方法不再適用.即使對于三重冪零奇點，當μ=0時，其計算量遠小于0的情形.

對于冪零奇點，可積性條件并不意味著解析可積，也就是說中心不一定是解析中心，在原點的小鄰域內不一定有解析的首次積分.例如系統

的原點是中心，但不是解析可積的.再例如對于系統

容易驗證對于任何的μ，該原點都為中心，但是它也不是解析可積的.它在原點的小鄰域內有如下首次積分.也就是說，對于冪零奇點，即使是中心，在奇點的小鄰域內也不一定存在解析的首次積分，甚至連形式的首次積分也不存在.但是對于系統(17)，文獻[11]運用逆積分因子法完全解決了具有三重冪零奇點的微分系統的解析可積問題.

說明 3.3對于具有三重冪零奇點的系統，μ=0是奇點解析可積的必要條件，這也能說明為何μ=0時其焦點量計算相對簡單.

對于重次更高的冪零奇點的解析可積性，也就是解析中心問題，最近有很多學者給予了關注.文獻[12-13]先后研究了下列系統

最近，對于退化程度更高的一些系統的解析可積性也有了一些較好的結果.文獻[14-15]運用規范型的方法先后研究了下列三類系統

其中P2(x，y)，Q2(x，y)是齊二次函數，得到了原點解析可積的條件.隨著退化程度的提高，奇點的可積性與解析可積性問題的難度也隨之不斷增大.

4 冪零奇點小鄰域內的極限環分支問題

文獻[6-7]證明了當系統(1)的原點為m階細焦點時可以在原點鄰域擾動出m-1個極限環.由于對系統的線性項沒加擾動，故擾動系統的坐標原點仍為2n-1次高次奇點(即該奇點可以通過適當的擾動在原點鄰域分解為2n-1個復初等奇點).對于系統

有如下定理.

在退化奇點的小鄰域內，其穩定性變得更加脆弱，動力學行為變得更加復雜，會出現更加復雜的分支現象，這都有待進一步的研究.