一維隨機Landau-Lifshitz-Bloch方程的平均化原理

尹修偉 ，申廣君，吳獎倫

(1.安徽師范大學統計系，安徽 蕪湖 241000;2.斯旺西大學數學系，英國 斯旺西 SA1 8EN)

1 引言

物質的磁化是物理學中的一個重要現象.當溫度低于臨界溫度時，物質將會發生磁化現象，可以用 Landau-Lifshitz-Gilbert方程來描述這種磁化現象，參見文獻[1].但是對于較高的溫度來說，必須用一個更合適的模型例如Landau-Lifshitz-Bloch方程來替代[2-3].Landau-Lifshitz-Bloch方程的一般形式為

其中u=u(t)=u(t，x)∈R3，x∈D?R，且|·|與×分別表示 R3中的歐幾里得范數和向量的叉積.此外，

表示有效磁場，其中ξ為縱向磁化率.本文只考慮T＞Tc和L1=L2=:ν1的情形.利用恒等式a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b)可以將方程(1)改寫為

本文主要考慮一維隨機Landau-Lifshitz-Bloch方程的平均化原理，即研究下述隨機系統當ε→0時的漸近行為:

其中為邊界?D的單位外法向量，W為無窮維的 Wiener過程，G∈L2(H0;H1)為Hilbert-Schmidt算子(詳見第二部分).由Krylov與Bogolyubov建立的平均化原理是研究非線性動力系統的有效工具.與此同時，Khasminskii[10]建立了隨機平均化原理.隨后大量的文獻研究了有限維或無窮維隨機動力系統的平均化原理，參見文獻[11-16]等.

受上述文獻啟發，本文的主旨是建立隨機系統(3)的平均化原理.本文結構安排如下，第二部分簡要回顧本文需要的一些基本事實，第三部分敘述并證明本文的主要結論.

2 準備知識

為簡單起見，用C表示非負常數，它在不同位置的取值可以不同，當強調C依賴于參數時，有時也將依賴性表示出來.假定D?R為具有光滑邊界的有界區域.Lp(D)=Lp(D;R3)，p≥1 為向量值的Lp空間，并賦予范數‖·‖Lp.令〈·，·〉L2為空間L2(D)的內積.給定非負整數m≥0，令Hm為D通常的Sobolev空間，并賦予范數和內積〈·，·〉Hm.約定H:=H0=L2(D).

設(Ω，F，Ft，P)為給定的帶域流概率空間并且滿足通常條件，{ek，k∈N}為H的標準正交基，且Q為H上對稱，正定的跡類算子并且滿足Qek=μkek，k∈N.設W(·)為H值的Q-Wiener過程，W(·)可以表示為

3 主要結論