新工具，新面貌

丁興春

平面向量融數形于一體，具有幾何形式與代數形式的雙重身份。構造向量來解決代數、三角中的一些問題，不但方法新穎，運算簡潔，而且也是啟迪我們思維的一種有效的方法。下面我們通過舉例說明平面向量這個工具在代數中的一些應用。

一、求值

例1 已知3sinθ+4cosθ=5，求tanθ的值。

解析 本題的一般解法是將3sinθ+4cosθ=5與sin²θ+cos²θ=1聯立建立方程組，解出sinθ，cosθ，再求tanθ。這里我們利用向量來解決該問題。

構造向量a=（3，4），b=（sinθ，cosθ），貝a·b=5，且|a|=5，|b|=1，

又由a·b=|a||b|cos，得cos=1，即a，b同向平行，于是有4sinθ=3cosθ，

從而可得tanθ=3/4。

例2 已知0<α<β<γ<2π，且cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求β-α的值。

解析 構造向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），c=（cosγ，sinγ），貝a，b，c有共同的起點O（坐標原點），它們的終點A，B，C均在以O為圓心的單位圓上，且A，B，c三點按逆時針方向排列。依題意得a+b+c=0，因此點O為△ABC的重心，又知點O為△ABC的外心，從而可知△ABC為等邊三角形，于是β-α-γ-β=2π/3。

二、求函數的最值

利用向量方法往往可以解決一些帶根式的函數最值問題。

如圖1可知，欲使得最大，則a的終點應為（2，0），故當x=0時，f（x）取到最小值為6。

沒有而去構造，構造而去應用，解題另辟蹊徑，面貌煥然一新。這是解題的智慧，這是數學的魅力，這是創造的價值。

當然不是所有的代數與三角問題都可以通過構造向量的方法解決，當一個代數問題中蘊含了一些與向量相關的量，比如常見的數量積、模長等，這個時候不妨考慮構造恰當的向量來解決問題，這是利用向量工具來解決代數與三角問題的關鍵。