傾聽音樂與數學的神奇交響

張志勇

《梁祝》優美動聽的旋律，《十面埋伏》的錚錚琵琶聲，貝多芬令人激動的交響曲，田野里昆蟲啁啾的鳴叫……當你沉浸在這些美妙的音樂聲中時，是否曾想過它們其實與數學有著密切的聯系？

“多情外化”的音樂與“嚴謹抽象”的數學間確實存在剪不斷、理還亂的緣分。姑且不提音高的數學本質，也不論曲式結構中的數學規律，只從樂曲中最基本的簡譜音符“1，2，3，4，5，6，7”是人們應用或提及最為頻繁的數字便可見一斑。事實上，樂音之所以和諧、悅耳、動聽，是因為它有著周期性的振動頻率（如國際標準音a¹的振動頻率是每秒鐘440次，e²是每秒鐘660次，a²是每秒鐘880次）；一組和聲（不同音高的樂音的組合）之所以能給聽眾以悅耳的體驗，是因為組成這組和聲的音頻間有協和的比例關系（能表示為簡單整數比）。德國著名數學家萊布尼茲說：“音樂，就它的基礎來說，是數學的；就它的出現來說，是直覺的。”而愛因斯坦說得更為風趣：“我們這個世界可以由音樂的音符組成，也可以由數學公式組成。”

物理學知識告訴我們，聲音是由振動產生的，樂音也不例外，而三角函數正是對振動波的數學描述。這樣，音樂與數學之間的不可思議的天然聯系，恰可以三角函數知識來加以闡釋。

我們知道，樂音有響度、音調、音色之分。如果用正弦函數y=Asin（ωt+φ）來表示聲音的話，那么響度反映聲音的強弱，由振動的振幅A決定，振幅越大聲音越強響度也就越大；音調反映聲音的高低，由振動的頻率f=2π*/ω決定，頻率越高振動越快音調也就越高；音色是什么