向量

朱勝強

問路時，有人告訴你“向東走500m”。這里，“向東”指的是方向，“500m”指的是行走的路程，也就是大小。數學中我們把既有大小又有方向的量稱為向量。

物理中的力、速度、位移、加速度、電場強度、磁感應強度等都是向量。或許我們覺得奇怪：向量怎么會與物理中的許多概念有密切聯系的呢？如若追根溯源，則會發現向量其實起源于物理中的力學。

早在古希臘，著名學者亞里士多德就知道力可表示成向量形式，兩個力的組合作用可用平行四邊形法則來得到。1788年，法國數學家、物理學家拉格朗日在《分析力學》中把帶有方向的物理量數學化，即用數學方法來表示它們，但拉格朗日沒有使用“向量”一詞。直到1844年，德國數學家格拉斯曼才引入有向線段的概念，稱之為向量，并引入向量的一般運算法則。

從向量的定義可感受到其雙重身份。方向反映的是幾何特征，而大小則是數量特征。因此，向量概念本身便是一個數形結合體。

向量可以運算，如我們所知道的線性運算與數量積運算。當見到下面一系列等式

-（-n）=n；

a+0=0+a=a：

（a+b）+c=a+（b+c）；

a-b=a+（-6）；

λ（a+6）=λa+λb；

（a+6）²=a²+2a·b+b²；

（a-b）·（a+b）=a²-b²，

要不是向量獨特的表示方式，我們幾乎就把它當成了數。這與我們平常熟知的代數恒等式是多么相似！

或許正是向量擁有的這種可貴的代數屬性成就了其非凡的品質。當已知兩個向量后，我們并不需要知道它們對應的幾何對象，便可以依據既有的規則進行運算，得到相應的結果。這純粹是代數運算。但每一向量又有具體的幾何含義，依托向量的運算，便可以建立起幾何圖形之間的某種內在聯系。因此，我們在研究幾何問題時，不再非得依賴于全等、相似等關系，不再非得絞盡腦汁地添加輔助線。問題的答案或許就在一系列向量運算所得的結果中。這種顛覆了傳統習慣的思維方式，充分展示了其數與形雙重身份的魅力，使其成為解決問題的強有力的工具。

問題

求證：三角形的三條高線交于一點。

已知△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，D，E，F分別為垂足。AD，BE相交于點O。

求證：直線CF過點O（如圖1）。

分析 只要設法證明CO⊥AB即可。

所以三角形的三條高線交于一點。

通過向量運算成功解決了形的問題，思路十分簡潔。用平面幾何的方法，卻比較復雜。不信你可以試試。

當我們用向量工具解決問題時，常會有一種困惑：問題中涉及許多向量，究竟哪些向量是更值得關注的呢？平面內雖有無窮多的向量，但它們之間存在著一定的聯系。

如共線向量，若已知一個非零向量a，則所有與a共線的向量，都可以表示為λa。這樣，只要知道一個非零向量，就可表示出所有與該向量共線的向量（如圖2）。

然而，平面內不同直線的方向是無窮的，按如上所述仍要涉及無窮多個向量。是否能用有限的向量來表示平面內的所有向量呢？平面向量基本定理告訴我們，只要兩個不共線的向量就足夠了。定理是這樣的：

如果e₁，e₂是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ₁，λ₂，使

a=λ₁e₁+λ₂e₂。

我們把不共線的向量e₁，e₂叫做表示這一平面內所有向量的一組基底（如圖3）。

這樣，在平面內，只要選兩個不共線的向量作為基底，其他的向量都可以用這兩個向量線性表示。這就可以使原本復雜的問題得以簡化。

如果再進一步考慮選擇一些特殊的基底，則問題還會得到進一步簡化。比如，選擇兩個互相垂直的向量作為基底，這樣的基底也稱為正交基底，甚至選擇兩個互相垂直的單位向量作基底，這樣的基底也稱為單位正交基底。這時，用基底表示的各向量間的運算也會變得十分簡潔。

假如研究是在平面直角坐標系中進行的，則可選擇x軸方向與y軸方向上的單位向量i，j作為基底。這樣，坐標平面中的任一向量a均可表示為a=xi+yj，也可以簡記為a=（x，y）。這就是向量的坐標表示。

許多工具，在前人剛剛發明創造出來的時候肯定不是現在這個樣子，工具總是在運用的過程中不斷獲得改進，使它變得更好用、更適用，有更為強大的功能。向量的產生與發展不也如此嗎？