集合的基本概念與表示方法

李斌

（重慶市酉陽第一中學校）

集合的基本概念與表示方法

李斌

（重慶市酉陽第一中學校）

“集合”這一節內容是進入高中數學學習的敲門磚，而“集合”這兩個字是大家都不陌生的詞語。學校一般進入高一前都會進行軍訓，而教官使用頻率較高的詞語就有“集合”，通常會說“一連集合”“一連女生集合”“一連男生集合”等等。這些都是關于“集合”在生活中的應用。

一、集合的理解

教材上是這樣定義集合的：一般的，我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱集）。比如在軍訓中的“一連女生集合”中的一連每一個女生就是一個元素，而一連中所有的女生就構成一個集合。這樣看感覺集合很簡單，但是要理解集合要從以下幾方面來理解：

1.集合中的元素具有確定性：比如說“漂亮的女生”就不是一個集合，因為每一個人評價漂亮的標準不同，就會出現張三覺得漂亮，王五覺得不漂亮這種情況，因此就無法判斷該女生是否在該集合內，這就與集合元素的確定性相悖。簡單地說就是一個元素要么屬于集合，要么不屬于集合，二者必居其一，且只居其一。

2.集合中的元素具有互異性：比如：5∈ ｛1，m+2，m2+4｝，則m的取值集合為 ｛1，-1，3｝。這是錯誤的，因為如果m取的值是-1，那么原集合就變成了 ｛1，1，5｝，這里的兩個1相同，就與集合元素的互異性矛盾。也就是說若元素a屬于集合A，元素b屬于集合A，則元素a不等于元素b。

3.集合中的元素具有無序性：｛a，b｝與 ｛b，a｝表示同一個集合。也就是說集合中元素的位置沒有前后左右之分。

二、集合的表示方法

1.列舉法：常用于表示有限集，就是把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在花括號“｛ ｝”內，這種表示集合的方法叫做列舉法。比如要表示“中國的直轄市”可以用集合表示為｛北京市，天津市，上海市，重慶市｝；要表示小于11的所有自然數組成的集合可以表示為 ｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝；要表示由方程x2=x的所有實數根組成的集合可以表示為 ｛0，1｝；要表示1～19以內的所有素數組成的集合可以表示為 ｛2，3，5，7，11，13，17｝等等，這些有限集都可以用列舉法來表示。用它來表示集合簡潔明了，一目了然，但只能表示有限集，且有限集里面的元素盡量少才能表示。

2.描述法：常用于表示無限集，把集合所含元素的共同特征在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。這種表示集合的方法叫做描述法。即：｛x|P｝（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）比如：｛x|y=x2｝表示函數y=x2的定義域即為R， ｛y|y=x2｝表示函數的值域即為非負數集，｛（x，y）|y=x2｝表示的是函數y=x2的圖像拋物線上所有點集合。這三個集合看起來相同，實際上大相徑庭，因此教學時一定要強調代表元素的重要性。又比如要表示不等式x-3＞2的解集可以表示為 ｛x|x-3＞2｝；要表示二次函數y=x2-15圖像上的所有點組成的集合可以表示為｛（x，y）|y=x2-15｝；要表示方程x2+ y2+4x-6y+13=0的解集可以表示為｛（x，y）|x2+y2+4x-6y+13=0｝等等，這些集合都可以用描述法來表示，而對于方程x2+y2+4x-6y+ 13=0的解集，它既可以用列舉法也可以用描述法來表示，如果用列舉法表示就是｛（-2，3）｝，這表示集合中有且只有一個元素，即（-2，3）。顯然，用列舉法表示集合時，豎線前的代表元素非常關鍵，還有就是后面的描述也非常關鍵，一旦描述得不同，結果就有可能完全不同了，因此一定要認真讀題，仔細分析。用描述法來表示集合不僅表達比較簡潔，而且能把元素間的相互關系表達清楚，因此描述法是表示集合的一種重要方法。

3.自然語言法：顧名思義就是用自然語言來描述集合的一種方法。例如：我國從1992～2016年內所發射的所有人造衛星；重慶市酉陽第一中學校在2016年9月1日入學的所有高一學生；方程x2+y2+4x-6y+13=0的所有實數根；到直線l的距離等于定長d的所有點的集合等等。這些都是用自然語言表示集合的例子。用自然語言可以表示所有的集合。

4.圖示法：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內部表示一個集合。這樣可以形象直觀地表示集合，通常用于處理抽象集合間的相互關系。

5.常用數集及表示法：R：實數集；Q：有理數集；Z：整數集；N：自然數集（非負整數集）；N*正整數集；φ：空集；C：復數集。

一旦掌握了集合的定義和集合的表示方法后，關于集合概念的問題就會迎刃而解了，因此，我們在教學中應該多舉形象生動的例子，讓學生切實體會其中的深意。

［1］周煥山.集合的基本概況及其教學［J］.江蘇教育，1982.

［2］陳宏偉.怎樣學好“集合”［J］.中學生數理化，2006.

·編輯張慧