基于稀疏表示的人臉識別方法研究

摘要：稀疏性是信號表示非零系數個數的度量，一個信號越稀疏，它的非零系數個數越多。稀疏表示一種信號的基礎研究，它在人臉識別、圖像復原、圖像去噪等領域有著極為重要的意義。文章基于信號的稀疏特性在人臉識別、圖像去噪等方面的應用，對信號在過完備字典下的表示進行了研究。

關鍵詞：稀疏表示；人臉識別方法；圖像復原；圖像去噪；字典優化 文獻標識碼：A

中圖分類號：TP393 文章編號：1009-2374（2015）36-0001-03 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.36.001

稀疏性是指信號進行某種變換后，用來表示該信號的非零系數遠小于信號本身的長度。這種特性使得與信號相關的信息提取變得快速有效，減少信號在處理過程中所需要的成本。稀疏表示使得圖像的能量只集中于部分少量的原子，這些非零系數對應的原子揭示了圖像主要的特征及內在的結構。近百年來，信號處理經歷了小波變換、正交基變換、多尺度變換，直到20世紀末則使用過完備字典的稀疏表示，過完備字典的表示是指構成字典的基原子的個數遠大于基元素的維數，這樣便構成了一個扁矩陣，進而將問題轉換成為求解欠定方程的問題。

1 基于稀疏表示的人臉識別

人臉識別（Face Recognition，FR）技術是基于人臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術，因為人臉的唯一性和不容易復制性，為人物的身份進行正確的判定提供了重要線索，人臉識別技術也已成為模式識別、計算機視覺、圖像處理等領域的研究熱點。2009年，J.Wright等人在前人的人臉識別算法基礎上，提出了基于稀疏表示的穩健人臉識別方法（Sparse Representation-based Classification，SRC），與其他的算法相比，即使在圖片具有高污染或陰影的情況下，仍然可以保持較高的識別率。

人臉識別問題也就是監督學習分類問題，即已知一些數據的正確結果，然后對未知的數據做出預測。在已有監督學習分類識別中，它的基本問題描述如下：給定個不同種類的人臉數據，共個樣本集，假設給定的第類樣本中有個樣本人臉圖片，且滿足：

利用這些已知類別的個訓練樣本集，來判斷新的測試樣本屬于哪一類別。在人臉識別中，一張像素為的黑白人臉圖片，就是一個的矩陣圖片信息，矩陣的每一個元素就對應人臉圖片的一個灰度值。通過把這張人臉圖片構成的矩陣堆積成一個維度為的列向量，在第類中，把這個樣本人臉圖片合并成一個維的矩陣，其中作為矩陣的列向量，即，則就表示第個人的人臉訓練集。

在實際的人臉識別問題中，通常一張普通的人臉圖片的分辨率為像素，則一張圖片的維度為個數量級，所以圖片維度大大超過訓練樣本的個數，即，這樣求解是一個過定方程，得到的解是一個唯一的解，作為之后的分類判別效果很不好，并且圖片的維數過高，但計算量太大，超出普通計算機可以承受的范圍，所以需要對進行降維處理。

如圖2所示，由于噪聲的存在，導致求得的系數在不相關的類別上，并不是嚴格的零。如何針對求得的系數進行正確的分類是算法的核心問題。

基于全局的稀疏表示，可以設計出多種不同的分類器，SRC算法采用了使用系數向量與所有樣本直接的相關程度來分類的方式，即用余差法的方式，具體過程如下：

對于每一個類別，讓作為第個類別的對應系數的特征函數，對于，是一個新的系數向量，它當中的元素除了與它對應的第類的系數，其他元素都為零，即。使用這個只與第類對應的系數相關的向量，可以把測試樣本重新表示為。接下來，將通過最小化和的范數來對進行分類：

（6）

在計算過程中，如果第類恢復得到誤差最小，那么就判斷測試樣本屬于第類。至此，可以總結得出SRC算法的基本過程：（1）輸入：類訓練樣本的共張圖片，構造出訓練樣本矩陣以及一個測試樣本；（2）將樣本矩陣的列向量歸一化。identity（y）=argminiri（y）；（3）求解最小化范數問題，得到稀疏系數： subject to ；（4）計算出測試樣本對應的每一類的余差值： ；（5）輸出：判斷圖片的類別：。

2 字典優化

為了應對現實模型分析，產生了基于學習的冗余字典。在基于稀疏表示的人臉識別建模中，就是使用基于訓練樣本學習的方法來構造過完備冗余字典。特征空間的提取對于稀疏表示模型的一個好處是：減少數據的維數，降低計算的成本。在SRC算法中，訓練樣本矩陣被替代為，d

，基本模型由前式（1）至式（5）可得。

為驗證不同降維方法對SRC算法性能的影響，選取了兩種降維方式：一是傳統的通過主元分析（PCA）得到的特征臉Eigenfaces；二是一種隨機臉（Randomfaces）的降維方法。

由參考文獻[2]和參考文獻[3]可得，通過PCA降維的主要思想是：尋找一個維子空間來表示數據，并盡量保持原始數據的方差不變。在運行PCA算法之前，首先需要對訓練樣本進行預處理，以保證不同刻量單位的數據具有零均值和單位的方差，下面是PCA算法通常的預處理步驟：（1）計算樣本均值：；（2）替換每一個為；（3）計算所有類的第個數據的方差：；（4）替換每一個為。

由于圖片灰度值都是0到255統一的刻度標準，所以步驟3、4在算法中可以省略。假設一個單位向量和一個空間的數據點，那么點到向量的投影的長度可以表示為，那么如果是數據集中的一個點，那么它到向量的投影就是到原點的距離。因此，為了最大化投影的方差，可以選擇一個單位長度的向量進行最大化：

（7）

其中是數據的協方差矩陣，在的條件下，由拉格朗日乘子可得，最大化，需要是數據的主元特征向量。當投影到一維子空間的時候，需要選擇是的主元特征向量。更一般地，如果我們想把數據投影到一個維子空間（），需要選擇是的前個特征值對應的特征向量，所有的都是正交的。因此，要表示投影后的數據，只需要計算對應的向量：

（8）

因為，因此向量就給出了低維空間的表示。向量叫做數據的前個主元成分。在稀疏表示人臉識別中，可以根據具體情況選擇最合適的維投影空間，再由以上介紹的PCA過程計算出訓練樣本數據的前個特征向量作為投影矩陣來對數據進行降維。

通過隨機臉降維的主要思想是：使用隨機采樣法，用一個高斯隨機矩陣作為投影矩陣對人臉數據進行線性地投影。研究表明，在范數的求解過程中，如果系數解是足夠的稀疏，有個非零元素，且t

（9）

那么隨機線性測量對于范數優化問題求解已經足夠了，由此可以得出隨機臉的定義：考慮一個投影矩陣，它的元素是零均值的正態分布且線性獨立（高斯隨機陣即可滿足），那么歸一化它的行向量后，這個矩陣的行向量就可以看作是維空間的隨機臉。

3 實驗結果及分析

在本文的人臉識別仿真中，使用了兩種常用的人臉數據庫，下面首先對這兩個常用的人臉數據庫進行介紹，分別是Yale Database人臉數據庫和AR Database人臉數據庫。

Yale Database：由耶魯大學計算視覺和控制中心產生，一共有15位志愿者的165張圖片，每人11張，包括表情、光照、姿態的變化，如圖3所示是其中第一個志愿者的部分人臉圖片。

AR Database：由100個人組成，其中50個男性，50個女性，每人26張圖片，分兩次拍攝完成，每次每人拍攝13張，如圖4所示。其中14張圖片只有光照和表情的變化，另外12張圖片是戴著圍巾或墨鏡，是有遮擋的情況，比較符合現實中實際的人臉圖片。

下面給出基于以上介紹的SRC稀疏人臉識別算法的Matlab仿真實驗結果。這個實驗是基于AR人臉數據庫進行的仿真，選用100個人臉中每人7張圖片共700張圖片作為訓練樣本構造冗余字典。如圖5所示，由于噪聲的存在，求解得到的稀疏系數在其他人臉空間并不是嚴格的零，但系數分布仍然十分稀疏，較大的幅值主要集中于測試樣本所屬的人臉空間。從圖中較大的系數可以看到，最大幅值所對應x的位置是8，由于每個人是7張訓練圖片，第8張圖片恰好對應第二個人的訓練圖片的第一張。雖然算法并不是直接使用最大幅值來作為分類標準，是使用余差值的方法，但仍然可以由圖中系數分布情況得到與算法一致的分類效果。

在本實驗中，選取Yale Database人臉數據庫中每個人10張圖片作為訓練樣本集，剩余1張圖片作為測試樣本。在AR Database人臉數據庫中，選取僅有光照和表情變化的14張圖片進行實驗，其中7張作為訓練樣本集，7張作為測試樣本集。在選取過程中，以隨機選取為原則，隨機性地選擇圖片，保證了實驗結果不依賴于某些特別的圖片，從而保證實驗的準確性。在這兩個人臉庫中，使用以上介紹的PCA和Randomfaces兩種降維方法進行了正確識別率的測試，測試結果如下：

由圖6和圖7分析可得，無論使用哪種降維方法，算法的正確識別率都是隨著特征空間維度的增加而增大，并且SRC對于特征空間的選取方式并不敏感，即使是隨機臉，它的人臉識別率仍與Eigenface差不多，這與傳統的人臉識別方法有很大的不同，傳統的人臉識別分類依靠特征臉的選取，同一分類方法，使用不同的特征空間提取方法，分類效果差異很大，往往需要試驗得出哪種分類效果更好。

既然SRC算法對于特征空間的選取不敏感，那么在對數據進行降維時，可以選取隨機臉作為投影矩陣。隨機臉易于產生，且與訓練數據獨立，不受訓練數據集的影響，這些優點大大降低了降維過程中計算的成本。

4 結語

本文是基于稀疏表示的人臉識別。通過信號的稀疏表示，在Extend Yale B Database和AR Database人臉數據庫仿真模擬下分析了SRC算法在不同的人臉特征空間的性能。

參考文獻

[1] J.Wright，Allen Y.Yang and A.Ganesh.Robust Face Recognition via Sparse Representation[J].IEEE Tans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，2009，31（2）.

[2] P.Belhumeur，J.Hespanda，and D.Kriegman.Eigenfaces versus Fisherfaces：Recognition Using Class Specific Linear Projection[J].IEEE Trans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，1997，19（7）.

[3] R.Basri and D.Jacobs.Lambertian Reflection and Linear Subspaces[J].IEEE Trans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，2003，25（3）.

[4] D.Donoho.High-Dimensional Data Analysis：The Curses and Blessings of Dimensionality[M].AMS Math Challenges Lecture，2000.

作者簡介：劉敏（1986-），女，四川瀘州人，西南科技大學信息工程學院碩士，研究方向：圖像處理。

（責任編輯：周 瓊）