魔方中的數學

孫峰

通常所說的魔方，其國際標準稱呼是魯比克魔方，由匈牙利布達佩斯應用藝術學院的建筑學教授魯比克·艾爾內于1974年發明. 關于魯比克發明魔方的初衷，流傳甚廣的一個說法是為了發明一種教具，以幫助學生理解、認識立體空間的構造. 魯比克一開始并沒有意識到他發明了一個極其具有挑戰性的益智玩具，當他第一次將自己發明的魔方打亂，才發現了這個后來被無數人反復證明的事實：原始狀態的魔方一旦被打亂，想要將其復原是一件極其困難的事情.

1980年初，一家玩具公司將魔方帶至在巴黎、倫敦和美國召開的國際玩具博覽會展出，此后不久，隨著魔方制造技術的改進，魔方迅速風靡全球，到1982年，短短的3年間魔方在全球就售出了200多萬只，而到今天，全世界售出了數億只魔方，魔方已經成為全球最為流行的玩具之一.

魔方核心是三個相互垂直的軸，保證魔方的順利轉動. 外觀上，由26個小正方體組成一個正方體. 其中包括與中心軸相連的中心方塊6個，相對位置固定不動，僅一面涂有顏色；棱塊12個，兩面有顏色；角塊8個，三面有色. 復原狀態下，魔方每面都涂有相同的顏色，六個面的顏色各不相同. 魔方每個面都可以自由轉動，從而打亂魔方，形成變化多端的組合.

魔方組合的數量可以按照如下方式計算：8個角塊可以互換位置，存在8！種組合（8！=8×7×6×5×4×3×2×1），又可以翻轉，每個角塊可以具有3種空間位置，但因為不能單獨翻轉一個角塊，需要除以3，總共存在8！×37種組合；12個棱塊可以互換位置，得到12！，又可以翻轉，得到212，但因為不能單獨翻轉一個棱塊，也不能單獨交換任意兩個棱塊的位置，需要分別除以2，得到12！×212/（2×2）種組合. 綜上，得到魔方的所有可能組合數為：8！×37×12！×212/（2×2）=43，252，003，274，489，856，000≈4.33×1019. 這是一個天文數字，如果某位玩家想要嘗試所有的組合，哪怕不吃不喝不睡，每秒鐘轉出十種不同的組合，也要花上千億年的時間才能如愿，這約是當前宇宙年齡的10倍.

實際上，如果將魔方拆開隨意組合，其組合情況將多達5.19×1020種. 也就是說，如果拆散魔方，再隨意安裝，有11/12的幾率無法恢復原狀. 所以如果魔方被拆散，安裝時應按復原狀態安裝，否則極可能會無法復原.

魔方復原的另一個困難來自于我們只能按特定的方式復原，即反復旋轉某一面，一面上的9個方塊必須整體參與運動，這樣我們在復原過程中總是會打亂已經復原的部分，這種限制大大加大了復原魔方的難度.

很顯然，任意組合的魔方都可以在有限步驟內復原，那么，問題來了，是否存在復原任意組合魔方所需的最少轉動次數N？也即，如果至多進行N次轉動便可以將任意魔方復原，這個N具體為多少？這個數字N被稱為上帝數字，從魔方剛剛流行的1982年便被提了出來.

當然，對任意的魔方，尋找最少的轉動步驟是極其困難的，需要針對每種情況尋找特定的步驟. 一般的，還是利用本文前面所述的復原辦法，只需學習記憶少量的套路或公式，如CFOP法，需要學習記憶119個公式，平均只需55次轉動便可復原魔方.

數學是一門充滿魅力的學科，在它復雜表面的背后，隱藏著大量極其簡單、漂亮的規律. 有趣的游戲、手頭的玩具，往往在簡單中蘊藏著深刻的數學規律. 而復雜的數學經常以極其簡單、漂亮的形式展現.