魔方中的數(shù)學(xué)

孫峰

通常所說(shuō)的魔方，其國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)稱呼是魯比克魔方，由匈牙利布達(dá)佩斯應(yīng)用藝術(shù)學(xué)院的建筑學(xué)教授魯比克·艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明. 關(guān)于魯比克發(fā)明魔方的初衷，流傳甚廣的一個(gè)說(shuō)法是為了發(fā)明一種教具，以幫助學(xué)生理解、認(rèn)識(shí)立體空間的構(gòu)造. 魯比克一開(kāi)始并沒(méi)有意識(shí)到他發(fā)明了一個(gè)極其具有挑戰(zhàn)性的益智玩具，當(dāng)他第一次將自己發(fā)明的魔方打亂，才發(fā)現(xiàn)了這個(gè)后來(lái)被無(wú)數(shù)人反復(fù)證明的事實(shí)：原始狀態(tài)的魔方一旦被打亂，想要將其復(fù)原是一件極其困難的事情.

1980年初，一家玩具公司將魔方帶至在巴黎、倫敦和美國(guó)召開(kāi)的國(guó)際玩具博覽會(huì)展出，此后不久，隨著魔方制造技術(shù)的改進(jìn)，魔方迅速風(fēng)靡全球，到1982年，短短的3年間魔方在全球就售出了200多萬(wàn)只，而到今天，全世界售出了數(shù)億只魔方，魔方已經(jīng)成為全球最為流行的玩具之一.

魔方核心是三個(gè)相互垂直的軸，保證魔方的順利轉(zhuǎn)動(dòng). 外觀上，由26個(gè)小正方體組成一個(gè)正方體. 其中包括與中心軸相連的中心方塊6個(gè)，相對(duì)位置固定不動(dòng)，僅一面涂有顏色；棱塊12個(gè)，兩面有顏色；角塊8個(gè)，三面有色. 復(fù)原狀態(tài)下，魔方每面都涂有相同的顏色，六個(gè)面的顏色各不相同. 魔方每個(gè)面都可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，從而打亂魔方，形成變化多端的組合.

魔方組合的數(shù)量可以按照如下方式計(jì)算：8個(gè)角塊可以互換位置，存在8！種組合（8！=8×7×6×5×4×3×2×1），又可以翻轉(zhuǎn)，每個(gè)角塊可以具有3種空間位置，但因?yàn)椴荒軉为?dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)角塊，需要除以3，總共存在8！×37種組合；12個(gè)棱塊可以互換位置，得到12！，又可以翻轉(zhuǎn)，得到212，但因?yàn)椴荒軉为?dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)棱塊，也不能單獨(dú)交換任意兩個(gè)棱塊的位置，需要分別除以2，得到12！×212/（2×2）種組合. 綜上，得到魔方的所有可能組合數(shù)為：8！×37×12！×212/（2×2）=43，252，003，274，489，856，000≈4.33×1019. 這是一個(gè)天文數(shù)字，如果某位玩家想要嘗試所有的組合，哪怕不吃不喝不睡，每秒鐘轉(zhuǎn)出十種不同的組合，也要花上千億年的時(shí)間才能如愿，這約是當(dāng)前宇宙年齡的10倍.

實(shí)際上，如果將魔方拆開(kāi)隨意組合，其組合情況將多達(dá)5.19×1020種. 也就是說(shuō)，如果拆散魔方，再隨意安裝，有11/12的幾率無(wú)法恢復(fù)原狀. 所以如果魔方被拆散，安裝時(shí)應(yīng)按復(fù)原狀態(tài)安裝，否則極可能會(huì)無(wú)法復(fù)原.

魔方復(fù)原的另一個(gè)困難來(lái)自于我們只能按特定的方式復(fù)原，即反復(fù)旋轉(zhuǎn)某一面，一面上的9個(gè)方塊必須整體參與運(yùn)動(dòng)，這樣我們?cè)趶?fù)原過(guò)程中總是會(huì)打亂已經(jīng)復(fù)原的部分，這種限制大大加大了復(fù)原魔方的難度.

很顯然，任意組合的魔方都可以在有限步驟內(nèi)復(fù)原，那么，問(wèn)題來(lái)了，是否存在復(fù)原任意組合魔方所需的最少轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)N？也即，如果至多進(jìn)行N次轉(zhuǎn)動(dòng)便可以將任意魔方復(fù)原，這個(gè)N具體為多少？這個(gè)數(shù)字N被稱為上帝數(shù)字，從魔方剛剛流行的1982年便被提了出來(lái).

當(dāng)然，對(duì)任意的魔方，尋找最少的轉(zhuǎn)動(dòng)步驟是極其困難的，需要針對(duì)每種情況尋找特定的步驟. 一般的，還是利用本文前面所述的復(fù)原辦法，只需學(xué)習(xí)記憶少量的套路或公式，如CFOP法，需要學(xué)習(xí)記憶119個(gè)公式，平均只需55次轉(zhuǎn)動(dòng)便可復(fù)原魔方.

數(shù)學(xué)是一門充滿魅力的學(xué)科，在它復(fù)雜表面的背后，隱藏著大量極其簡(jiǎn)單、漂亮的規(guī)律. 有趣的游戲、手頭的玩具，往往在簡(jiǎn)單中蘊(yùn)藏著深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律. 而復(fù)雜的數(shù)學(xué)經(jīng)常以極其簡(jiǎn)單、漂亮的形式展現(xiàn).