重視課本習題，舉一反三

薛朝暉

蘇科版七（下）第七章30頁習題7.5第4題：

如圖1，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD. 射線BE與CE交于點E.求證：BE⊥CE.

【分析一】由角平分線的定義，易得∠1、∠2與∠BCD、∠ABC之間的倍分關系，再利用“兩直線平行，同旁內角互補”的結論進行整體代換，即可解決問題.

解法1 （整體轉化法）

解：∵BE平分∠ABC，∴∠2=∠ABC，

同理∠1=∠BCD，

∴∠1+∠2=（∠BCD+∠ABC），

又AB∥CD，∴∠BCD+∠ABC=180°，

∴∠1+∠2=×180°=90°，

∴∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°，即BE⊥CE.

【分析二】作平行線，把∠E分成兩個角，并將這兩個角與∠1、∠2聯系起來，進行有效轉化.

解法2 （分解轉化法）

解：如圖2，過點E作EF∥AB，交BC于F，

又AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD.

∴∠BEF=∠ABE=∠2=∠ABC，

∴∠FEC=∠ECD=∠1=∠BCD，

∴∠BEC=∠BEF+∠FEC

= （∠ABC+∠BCD），

又由AB∥CD，知∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠BEC=×180°=90°，

即BE⊥CE.

【分析三】要求∠E，只需求出∠E的鄰補角，延長BE后，出現新的△CEM（如圖3）， △CEM的三個內角分別與△BEC的三個內角相等，用對應思想便可解決問題.

解法3 （對應轉換法）

解：延長BE交CD于點M.

∵AB∥CD，∴∠CME=∠ABE=∠2，

又∠1+∠2+∠BEC=∠ECM+∠CME+∠CEM=180，

而∠1=∠ECM， ∠2=∠CME，

∴∠BEC=∠CEM.

又∠BEC+∠CEM=180°，

∴∠BEC=×180°=90°，

即BE⊥CE.

【總結】把此習題概括成一句話就是：兩條平行線被第三條直線所截，一對同旁內角的角平分線互相垂直.

通過對此習題的多種解法的深入探討，可以加強知識間的聯系，實現方法和技能的融會貫通，從而培養思維的深刻性和靈活性.

【變式一】探求原習題的逆命題

例1 參照圖1，兩條直線AB、CD被第三條直線BC所截，所成的同旁內角的平分線BE和CE互相垂直，探求AB與CD的位置關系.

解：∵BE⊥CE，∴∠1+∠2=90°.

又BE、CE平分∠ABC、∠BCD，

∴∠1=∠BCD，∠2=∠ABC，

∴∠1+∠2= （∠BCD+∠ABC）=90°，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴AB∥CD.

【說明】進一步可把原習題的條件與結論進行梳理，總結如下：在圖1中，直線AB、CD被BC所截，①AB∥CD， ②BE平分∠ABC， ③CE平分∠BCD， ④BE⊥CE，以上任三個作為條件都可以推出第四個.

【變式二】在原圖基礎上，增加另一組同旁內角平分線

例2 如圖4，已知AB∥CD，BE、CE、BF、CF分別是∠ABC、∠BCD、∠MBC、∠NCB的角平分線，BC不與ND垂直，則圖中與∠FBE相等的角共有多少個？

解：由原題可知∠E=90°，

同理可得∠F=90°.

∠FBE=∠FBC+∠CBE=（∠MBC+∠CBA）=×180°=90°，

同理可得∠FCE=90°.

∴∠FBE=∠E=∠F=∠FCE=90°，

即與∠FBE相等的角共有3個.

【說明】本題可表述為：兩條平行線被第三條直線所截，兩對同旁內角的平分線組成的四邊形是矩形.

【變式三】在原圖基礎上，增加兩個相等的角或一組平行線

例3 如圖5，∠GEF與∠DFE的平分線交于點H，AB∥CD，∠B=∠D，求證：EH⊥HF.

證明：∵AB∥CD， ∴∠A=∠C，

由已知∠B=∠D，∴∠AEB=∠DFC，

又∠AEB=∠GEF， ∠DFC=∠MFE，

∴∠GEF=∠MFE， ∴EG∥FD，

則∠GEF+∠EFD=180°，

又EH、FH為角平分線，

∴∠HEF+∠EFH=（∠GEF+∠EFD）=×180°=90°，∴∠EHF=90°，

即EH⊥HF.

【說明】在原習題的基礎上添加平行線后，得到一對內錯角相等，并結合其他條件進一步得出BG∥MD，這樣就將看似復雜的問題逐步轉化成已經解決過的問題（即原習題）.

由上可見，試題一般都是從經典習題變化而來的，在平時的學習中，我們應該高度重視一些典型例題和它們的解法，充分挖掘其蘊含的數學本質，實現知識和技能的融會貫通，從而提高解題能力，做到舉一反三.

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學校）