幾何之父

高宏志

歐幾里得（Euclid）是古希臘著名數學家、歐氏幾何學開創者. 歐幾里得生于雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心. 濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入“柏拉圖學園”學習.

一天，一群年輕人來到位于雅典城郊林蔭中的“柏拉圖學園”. 只見學園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂幾何者，不得入內！”這是當年柏拉圖親自立下的規矩，為的是讓學生們知道他對數學的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊涂了. 有人在想，正是因為我不懂數學，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什么？正在人們面面相覷，不知是退、是進的時候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷地推開了學園大門，頭也不回地走了進去.

“柏拉圖學園”是柏拉圖40歲時創辦的一所以講授數學為主要內容的學校. 在學園里，師生之間的教學完全通過對話的形式進行，因此要求學生具有高度的抽象思維能力. 數學，尤其是幾何學，所涉及的對象都是普遍而抽象的東西. 它們同生活中的實物有關，但是又不同于這些具體的事物，因此學習幾何被認為是尋求真理的最有效的途徑.

柏拉圖甚至聲稱：“上帝就是幾何學家. ”這一觀點不僅成為學園的主導思想，而且也為越來越多的希臘民眾所接受. 人們都逐漸地喜歡上了數學，歐幾里得也不例外. 他在有幸進入學園之后，便全身心地沉潛在數學王國里. 他潛心求索，以繼承柏拉圖的學術為奮斗目標，除此之外，他哪兒也不去，什么也不干，熬夜翻閱和研究柏拉圖的所有著作和手稿.可以說，連柏拉圖的親傳弟子也沒有誰能像他那樣熟悉柏拉圖的學術思想、數學理論. 經過對柏拉圖思想的深入探究，他得出結論：圖形是神繪制的，所有一切現象的邏輯規律都體現在圖形之中. 因此，對智慧訓練，就應該從以圖形為主要研究對象的幾何學開始. 他確實領悟到了柏拉圖思想的要旨，并開始沿著柏拉圖當年走過的道路，把幾何學的研究作為自己的主要任務，并最終取得了世人敬仰的成就.

最早的幾何學興起于公元前7世紀的古埃及，后經古希臘人傳到古希臘的都城，又借畢達哥拉斯學派系統奠基. 在歐幾里得以前，人們已經積累了許多幾何學的知識，然而這些知識存在一個很大的缺點和不足，就是缺乏系統性，它們大多數是片斷、零碎的，公理與公理之間、證明與證明之間并沒有什么很強的聯系性，更不要說對公式和定理進行嚴格的邏輯論證和說明. 因此，隨著社會經濟的繁榮和發展，特別是隨著農林畜牧業的發展、土地開發和利用的增多，把這些幾何學知識加以條理化和系統化，成為一整套可以自圓其說、前后貫通的知識體系，已經是刻不容緩，成為科學進步的大勢所趨. 歐幾里得通過對柏拉圖早期數學思想，尤其是幾何學理論系統而周詳的研究，已敏銳地察覺到了幾何學理論的發展趨勢. 他下定決心，要在有生之年完成這一工作. 為了完成這一重任，歐幾里得不辭辛苦，長途跋涉，從愛琴海邊的雅典古城，來到尼羅河流域的埃及新埠——亞歷山大城，為的就是在這座新興的，但文化蘊藏豐富的異域城市實現自己的初衷. 在此地的無數個日日夜夜里，他一邊收集以往的數學專著和手稿，向有關學者請教，一邊試著著書立說，闡明自己對幾何學的理解，哪怕是尚膚淺的理解. 經過歐幾里得忘我的勞動，終于在公元前300年結出豐碩的果實，這就是幾經易稿而最終定形的《幾何原本》一書. 這是一部傳世之作，幾何學正是有了它，不僅第一次實現了系統化、條理化，而且又孕育出一個全新的研究領域——歐幾里得幾何學，簡稱歐氏幾何.

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創造性于一體的不朽之作. 傳到今天的歐幾里得著作并不多，然而我們卻可以從這部書詳細的寫作筆調中，看出他真實的思想底蘊.

全書共分13卷. 書中包含了5條“公理”、5條“公設”、23個定義和467個命題. 在每一卷內容當中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設和定義，然后再由簡到繁地證明它們， 這使得全書的論述更加緊湊和明快. 而在整部書的內容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨具匠心的安排. 它由淺到深，從簡至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數、立體幾何以及窮竭法等內容. 其中有關窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源. 僅僅從這些卷帙的內容安排上，我們就不難發現，這部書已經基本囊括了幾何學從公元前7世紀的古埃及，一直到公元前4世紀的古希臘——歐幾里得生活時期——前后總共400多年的數學發展歷史. 這其中，頗有代表性的便是在第1卷到第4卷中，歐幾里得對直邊形和圓的論述. 正是在這幾卷中，他總結和發揮了前人的思維成果，巧妙地論證了畢達哥拉斯定理，也稱“勾股定理”，即在一直角三角形中，斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上的兩個正方形的面積之和. 他的這一證明，從此確定了勾股定理的正確性并延續了2 000多年. 《幾何原本》是一部在科學史上千古流芳的巨著. 它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學理論，而且通過歐幾里得開創性的系統整理和完整闡述，使這些遠古的數學思想發揚光大. 它開創了古典數論的研究，在一系列公理、定義、公設的基礎上，創立了歐幾里得幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典范. 照歐氏幾何學的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的. 在這種演繹推理中，對定理的每個證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最后做出結論. 這一方法后來成了用以建立任何知識體系的嚴格方式，人們不僅把它應用于數學中，也把它應用于科學中，而且也應用于神學甚至哲學和倫理學中，對后世產生了深遠的影響. 盡管歐幾里得的幾何學在差不多2 000年間，被奉為嚴格思維的范例，但實際上它并非那么完美. 人們發現，一些被歐幾里得作為不證自明的公理，卻難以自明，越來越遭到懷疑. 比如“第五平行公設”，歐幾里得在《幾何原本》一書中斷言：“通過已知直線外一已知點，能作且僅能作一條直線與已知直線平行. ”這個結果在普通平面當中尚能夠得到經驗的印證，但是在無處不在的閉合球面之中（地球就是個大曲面）這個平行公理卻是不成立的. 俄國人羅巴切夫斯基和德國人黎曼由此創立了非歐幾何學.

歐幾里得將公元前7世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果整理在嚴密的邏輯系統之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學. 除了《幾何原本》之外，他還有不少著作，可惜大都失傳. 《已知數》是除《原本》之外唯一保存下來的他的希臘文純粹幾何著作，體例和《原本》前6卷相近，包括94個命題，指出若圖形中某些元素已知，則另外一些元素也可以確定. 《圖形的分割》現存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分. 《光學》是早期幾何光學著作之一，研究透視問題，敘述光的反射角等于入射角，認為視覺是眼睛發出光線到達物體的結果. 還有一些著作未能確定是否屬于歐幾里得，而且已經散失.

除了《幾何原本》之外，歐幾里得還有另外五本著作流傳至今. 它們與《幾何原本》一樣，內容都包含定義及證明.