高中數學中的分類討論思想

龔波

（江西省南昌市十三中）

高中數學中的分類討論思想

龔波

（江西省南昌市十三中）

數學思想的培養貫穿于整個高中數學教學中，在此過程中，教師不僅需要教會學生數學知識，掌握數學方法，培養數學能力，更應該引導學生感悟數學思想。分類討論既是一種重要的數學思想，又是解決問題的邏輯方法。這種方法對于簡化研究對象、發展人的思維有著重要幫助。在教學活動中“分類討論思想”是數學發現的一種重要手段，它能揭示研究對象之間的內在聯系，學生可以用它解決問題，使數學知識結構更有條理。此外，運用分類討論來解決的題目在高考試題中也必然存在。重點論述高中數學中分類討論的原理、類型以及討論的步驟，講述分類討論的具體應用。

高中數學；分類討論；數學思想

一、分類討論思想的概念

所謂分類討論，就是在解決一個問題時，若所研究對象或者答案不能統一表述，我們就按照某一確定標準，將對象嚴格按標準分為幾個小類，然后逐一研究每一類情況，最后綜合各類結果，得到完整答案。這樣的思想方法，我們就稱之為“分類討論思想”。

分類討論是數學發現的一種重要手段，是解決問題的一種重要思想方法。它體現了化整為零、積零為整的思想與方法。

二、分類討論的原則

想要完整準確地解決數學問題，必須遵循分類討論的原則。

復雜問題存在不確定因素，或者答案不能統一表述，此時可以將其劃分為幾個簡單子問題。首先，必須明確分類的標準，即分類的標準要統一，不能出現按不同標準來分類，這是正確分類的前提。其次，做到不重復、不遺漏，一個元素不能既在這一類，又在另一類；同時，在將每一類解答綜合時應與原題等價。最后，注意多層分類時，不能越層次討論。

三、分類討論思想解題的一般步驟

1.確定什么要分類討論以及分類的準則

2.對需要討論的問題進行準確的分類

3.逐類討論：即對各類問題分別解答

4.歸納總結各類答案，整合得出最后結論。

四、具體應用與實例

1.因數學定義和規則必須分類討論的

如，開偶次方、不等式兩邊同乘、去絕對值等。

2.由定理、性質、公式的限制引起的分類討論

對數函數的單調性因底數a的取值范圍不同而不同，故需對a進行分類討論。

3.由幾何圖形中由于相對位置不確定引起的分類討論

4.某些含有參數的問題，由于參數的取值不同對結果有影響，所以要分類討論

例如，有關一元二次函數最值、值域等問題，如果含有參數，需要對開口方向、對稱軸的位置進行分類討論，最后綜合各種情況得到答案。

5.其他情形，具體問題要根據實際情況具體分析

對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并沒有絕對規定，我們要在解題時不斷地總結經驗。另外，數學中的一些結論一般情形是正確的，但要考慮特殊情況。解題時，應注意就這些特殊情形進行討論。常見的有以下幾例：

（1）“一元二次方程有實數解”轉化為Δ≥0時，忽略了個別情形：當a=0時，方程有解不能轉化為Δ≥0；

（2）等比數列前n項和公式中：q=1時，公式不成立，而是Sn= na1。

（3）直線方程時，設直線的斜率為k，但當直線與x軸垂直時無斜率，應另行討論。

五、教學啟示

數學的學習過程就是一個提出問題、分析問題，進而解決問題的過程。分類討論思想正體現了這么一個數學學習過程。遇到一個實際的復雜問題，盲目地去做，這樣往往不能對問題進行很好的解決。根據自己掌握的知識，對原來的復雜問題進行分解，得到幾個簡單的子問題。為了做到問題分解不重不漏，在分類講解時要具有條理性。對分解得到的每一個子問題逐一進行分析解答，并對所有子問題的解進行歸納總結，得到原問題的完整解答。

分類與討論是解決高中數學復雜問題的一個重要策略。它貫穿于整個數學理論體系，在中學數學教學中起著非常重要的作用。這一思想有助于培養學生的思維能力，提高學生解決實際問題的能力。

數學思維的教學和數學的一般知識不一樣，很難在短時間內掌握。教師在教學過程中不要急于求成，應該在平時的教學中有意識地將分類討論的思想滲透其中，讓學生一步一步地學習分類方法，加強思考，提高解決復雜問題的能力。最后，必須指出的是，不要盲目或機械地進行分類討論，要與化歸思想、類比思想、數形結合思想等綜合，力求迅速準確地解決問題。

孫姣.多元化自學輔導法”在中學數學教學中的實踐探索［J］.中國創新科技導刊，2011（32）.

·編輯王團蘭