數列解題教學中重視培養學生的自主探究能力

郭志軒（利辛一中濱河校區 安徽亳州利辛縣 236700）

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數列解題教學中重視培養學生的自主探究能力

郭志軒
（利辛一中濱河校區 安徽亳州利辛縣 236700）

摘 要：培養學生自主探究的能力是《數學課程標準》的一個顯著特征，也是一個基本要求。《數學課程標準》中研究性學習的開設和開展，進一步充分說明培養學生自主探究能力的重要性和必要性，而自主探究學習能力作為學生能力的一個重要組成部分，對學生的學習、生活以及今后的發展有著不可估量的作用。

關鍵詞：學生自主探究能力 數列解題教學 積極性

一、案例背景

新一輪國家課程改革的核心目標是實現課程功能的改革，就是要改革課程教學過于注重知識傳授的傾向，強調學生形成積極主動的學習態度，使獲得的知識與技能的過程成為學習和形成正確的價值觀的過程，而實現這樣的課程功能，自主探究學習是一種較為理想的載體。

在現階段學校教育教學過程中，教師習慣充當知識的傳授角色，習慣于把知識結論直接告訴學生，從而使學生養成總是以接受學習的方式面對所學內容和學習過程的習慣。這種教學的最大弊端就是不能充分調動學生學習的積極性，嚴重忽視了學生優良學習品質的培養，建構主義學習觀指出：學生的學習過程不是對知識的被動接受，而是主動的建構過程，因此數學的課堂教學必須成為自主探索的建構者。

二、案例描述

數列的通項——遞推公式

上節課我教授了等比數列的內容，并在最后留下了一個思考題：在數列{an}中，已知a1=1,an + 1=2an+3,(n≥1)求數列的通項公式。

在課堂上我提問學生對上節課的思考題有何解法。

學生1：我考慮了很長時間也沒做出來，和周圍的幾個同學也商量了，用了不少方法，還是沒做出來，請老師給我們講講。

老師：這是已知數列的遞推公式，求數列的通項問題，這類問題在高考中是常考的一類題目。不過，這道題也是屬于較難的一類題，你們確實需要動動腦筋的，你們都想了哪些方法？

學生2：這顯然既不是等差又不是等比數列，我們用過累加、累乘，也想過轉化為等差或等比數列來做，可都沒做出來。

老師：這道題直接用累加或累乘是不行的，若把遞推公式用文字語言描述，看看是否對我們有幫助？

學生3：那就是“每一項的兩倍再加上3就是后一項”，總感覺與等比有關。

老師：既然感覺與等比說列有關，且規律是“每一項的2倍再加上3就是后一項”，那么是不是數列{an}的每一項減去或是加上一個常數后的新數列是等比數列呢？

學生4：對，我來試試，在遞推公式兩邊都減3得an+1-3 = 2an，可這不是得不到等比數列嗎？

老師：你兩邊都減3只是相當于移項.

學生4：那我再試試------可還是不行。

老師：既然這個常數值直接觀察不好找，我們不妨設其為m，使數列{an+ m }是等比數列，設法求出m的值.

學生4：那樣的話，就變為an+1+m=2(an+m)∴an+1=2an+m∴m=3

噢，相當于在遞推公式兩邊都加上3，得到an+1+3=2(an+3)，數列{an+ 3 }是以4為首項2為公比的等比數列。∴aan+3=4×2n=1∴an=2n+1-3.

學生：可以，它們和an+1=2 an+3結構是一樣。

學生5（板演）：設an+1+m =-(an+m)則an+1=-an-2m由題意知an+1=-an+2∴m=-1： 即由an+1=- an+2得an+1-1=-(an-1)∴數列{an- 1 }是以1為首項—1為公比的等比數列。∴a-1=1×(-1)n-1∴a=(-1)n-1+1。

n n

學生6（板演）：設an+1+m=(an+m)則an+1=an-m 由題意知即由a=a+2得a-4=(a-4)∴數列{a- 4 }是以—an+1=an+2∴m=-4n+1nn+1nn2為首項，為公比的等比數列。∴a-4=(-2)×()n-1∴a=-(1)n-2+4。

n n2

老師：很好，我們的學生都完成的很好。這類題屬于an+1=pan+q （p，q為常數）型。它是通過待定系數法將an+1=pan+q 化為an+1+m =p(an+m)的形式，從而構建一個新數列{an+ m }。 它是以a1+m 為首項，p為公比的等比數列，求其通項，從而求出an。

同學們的積極參與主動探索，使得課堂氣氛異常活躍，還有的同學意猶未盡，主動要求老師再給幾道題目練練。我接后出了：

（2）

同學們都非常順利的給出了答案。然后我要求同學們

n+1n

“蹲”的好處在于，可刺激不常活動的肌肉，促進血液的循環，是一種有益的健身方法。練習“蹲”時，可以采用借物蹲、實蹲、踮蹲、跟蹲、弓箭蹲練習，每次做一個動作，也可以連起來做。練習蹲時，要遵循先易后難的原則，先從借物蹲開始，然后逐漸嘗試其他蹲的練習。每一個“蹲”的姿勢，控制在一分半鐘之內，這樣來回地換不同的姿勢，更能促進血液循環，增強肌肉的伸張度，從而促進靜脈回流，改善腹部瘀血狀態，緩解視力疲勞，防止近視及視力衰退。

老師：請同學思考一下，如果我開始給出的是：

（4）a=4a+2n+2,a=2

n+1n 1

同學們怎樣解決？

學生：第（3）題：觀察式子特點，把分子與分母互換，然后再拆分成第（1）題，接著采用第（1）題的解法處理。

學生：第（4）題：觀察式子特點把式子兩端同時除以2n+1 ，然后再拆分成第（2）題，接著采用第（2）題的解法處理。

老師：做的很好，你們自己總結一下題目類型和解題方法吧。

此類問題先用“取倒數法”化簡，再轉化為等差或等比數列求解。

皮亞杰的知識建構理論指出：學生是在自己的生活經驗的基礎上，在主動的活動中建構自己的知識，也就是說，學生在走進課堂時并不是一無所知的，而是在日常生活、學習和交往中，已經慢慢形成了自己對各種現象的理解和看法，學習不單單是知識的由外到內的轉移和傳遞，而是學習者主動建構自己的知識經驗的過程。

三、反思和心得

1．本節課的設計體現了以教師為主導、學生為主體，以知識為載體，以培養學生的思維能力為重點的教學思想。教師以探究任務的方式引導學生自學自悟，提供了學生自主合作探究的舞臺，營造了思維馳騁的空間，在經歷知識的發現過程中，培養了學生探究合作歸納的能力。

2．在課堂教學設計中，盡量為學生提供“做中學”的時空，

不放過任何一個發展學生智力的契機，讓學生在“做”的過程中，借助已有的知識和方法主動探索新知識，擴大認知結構，發展了能力，完善了人格，從而使課堂教學真正落實到學生的發展上。

3.“樂思方有思泉涌”，在課堂教學中，時時注意營造積極的思維狀態，關注學生的思維發展過程，創設民主、寬松、和諧的課堂氣氛，讓學生暢所欲言。這樣，學生的創造火花才會不斷閃現，個性才得以發展。

作者簡介：

郭志軒（1983-09），男，漢族，安徽亳州市利辛縣，現高一數學教師（中教一級）研究方向：數學教育