考慮豎向地震效應的邊坡地震永久位移計算圖表

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考慮豎向地震效應的邊坡地震永久位移計算圖表

王曙光1，何光槐2，湯祖平3，王志斌4，趙煉恒5

(1.貴州省交通規(guī)劃勘察設計研究院股份有限公司，貴州 貴陽 550003；

2.中交第四航務工程局有限公司，廣東 廣州 510290；

3.上海市政工程設計研究總院(集團)有限公司深圳分公司，廣東 深圳 518013；

4.湖南科技大學 土木工程學院，湖南 湘潭 411201；

5.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

摘要:基于極限分析上限法和Newmark剛塑性滑塊模型，推導考慮水平與豎向地震效應下，對數(shù)螺旋線型滑面邊坡屈服加速度和邊坡永久位移的計算公式；采用序列二次規(guī)劃法編制非線性規(guī)劃迭代程序對邊坡地震永久位移計算模型進行優(yōu)化求解，由此探討豎向地震對邊坡永久位移的影響規(guī)律。算例分析證明了本文方法的正確性。在此基礎上，繪制邊坡屈服加速度、位移系數(shù)以及4個典型地震加速度時程的2次積分圖表，以便于邊坡地震永久位移的查表計算。并給出具體算例，說明采用本文表格進行查表計算的流程。

關鍵詞：邊坡；地震永久位移；豎向地震效應；Newmark法；極限分析上限法

地震作用下邊坡的穩(wěn)定性評價指標主要有2種：邊坡安全系數(shù)和永久位移。目前，采用單一的邊坡抗震安全系數(shù)評價邊坡動力穩(wěn)定性的不足己經(jīng)得到普遍認同。邊坡的地震永久位移量化了邊坡受損程度，為坡體穩(wěn)定性判識提供了另一種可靠依據(jù)，成為邊坡工程抗震設計的發(fā)展趨勢。其中，以Newmark于1965年提出的剛塑性滑塊模型為估算地震永久滑移量的方法較為簡便實用[1]，已廣泛地應用于土石壩、邊坡、擋土墻、城市固體廢物填埋場等土工建筑物的抗震穩(wěn)定性評價中[2-3]。地震影響效應下，巖土體強度參數(shù)等出現(xiàn)明顯劣化。李紅軍等[4]考慮土的抗剪強度在地震過程中的波動效應，在動強度的基礎上將擬靜力極限平衡分析與地震動力反應相結合，進行土工建筑物永久位移分析，并通過算例表明，考慮動強度效應得到的永久位移約為采用靜強度的2～3倍。欒茂田等[5]采用剪切條模型進行堤壩動力分析，確定堤壩的地震響應，進而基于對數(shù)螺旋面破壞機制及由此所確定的屈服加速度系數(shù)，運用Newmark計算模型進行分析，考慮土的強度參數(shù)隨滑坡體最大深度和堤壩高度之比等因素對滑坡體的屈服地震加速度和平均地震加速度之比沿深度分布的影響，建立了堤壩地震滑移量的經(jīng)驗估算模式。Jin等[6-8]則將研究拓展至考慮隨機可靠度、水力影響效應、與其他隨機振動效應耦合等復雜條件的相關研究。以上研究均未考慮地震豎向震動效應的影響，但實際上巖土邊坡在受地震影響效應過程中，同樣受到明顯的水平地震效應。如Northridge地震[9](1994，震級6.7)、Kanto 地震[10](1923，震級7.9)和Kobe地震[11](或稱Osaka-Kobe地震，Hanshin地震，1995，震級7.2)的地震譜記錄都表明震中部位的豎向加速度峰值往往也較大，可超過水平向加速度峰值的50%。因此豎向地震效應對邊坡抗震性能影響的研究也日益受到學者們的重視和關注[12-15]，但對是否需要考慮豎向地震效應分析地震對邊坡永久位移的影響尚有一定爭議[16-17]。基于以上原因，本文基于極限分析上限法和Newmark剛塑性滑塊模型，推導獲得了可考慮水平與豎向地震共同效應對邊坡地震永久位移的計算模型，并進行了優(yōu)化求解，探討了豎向地震對邊坡永久位移的影響規(guī)律。在此基礎上，繪制了便于簡單均質邊坡地震永久位移的設計計算圖表，并給出了具體分析算例。

1邊坡地震永久位移計算極限分析上限法

1.1基本假定及破壞模式

為了簡化研究對象，本文在參考有關研究成果的基礎上，應用如下基本假設：

1)按平面應變問題進行分析；2)邊坡巖土體為理想剛塑性體，服從M-C強度準則，遵循相關聯(lián)流動法則；3)不考慮巖土體孔隙水壓力作用，也不考慮巖土體抗剪強度參數(shù)c和φ因地震荷載作用而產(chǎn)生變化；4)主應力軸和主應變軸重合；5)采用擬靜力法分析水平向、豎向地震作用效應。盡管考慮到豎向地震較少與水平向地震同時達到加速度峰值[10]，但此處為簡化計算，將豎向地震擬靜力值等效為水平向地震擬靜力值的一個分量，即：kv=λkh，λ為kv相對于kh的比例系數(shù)。其中，kv和kh分別為豎向地震系數(shù)和水平向地震系數(shù)。

已有研究成果表明[10，18]：簡單均質土坡的破壞面更接近對數(shù)螺旋面形狀，因此本文也采用這種旋轉破壞機構為例對邊坡地震永久位移進行分析。其破壞機構如圖1所示。

(a)破壞機理；(b)位移模式圖1　邊坡旋轉破壞機構Fig.1 Rotational failure mechanism of slope

其中旋轉機構破壞面為對數(shù)螺旋方程面，可表示為：

r=r0·e(θ-θ0)·tanφ

(1)

式中：θ0和θ為描述螺旋線破壞機構的角度參數(shù)；r為與θ定義的極徑；r0為θ=θ0的極徑；φ為土體內摩擦角；H為坡高，m；β為土坡傾斜角；kv=av/g，kh=ah/g，av和ah分別為豎直和水平地震加速度，g為重力加速度；其他參數(shù)含義見圖1，根據(jù)螺旋線破壞面的幾何關系有：

(2)

(3)

1.2能耗計算

在地震的作用下，外功率主要有滑體重力和地震力引起的，而坡體內的內能耗散功率主要由沿滑面的土體內能耗散功率組成。

1.2.1外功率

自重功率:

(4)

豎直地震引起的功率:

(5)

水平地震引起的功率:

(6)

(sinθh+3tanφcosθh)e3(θh-θ0)tanφ

(7)

(8)

(9)

(3tanφsinθh-cosθh)e[3(θh-θ0)tanφ]

(10)

(11)

(12)

1.2.2內部功率

內部耗散率發(fā)生在間斷面BC上。依據(jù)相關聯(lián)流動法則，沿間斷面BC能量耗散率的積分，可以由該面微分dθ/cosφ與黏聚力c以及該面上切線間斷速度(vcosφ)乘積得到(Chen，1975[18])。沿整個間斷面積分，即可得到總的內部能量耗散率：

(13)

式中：v為速度間斷量且v=ωr0e(θ-θ0)tanφ。

1.3邊坡屈服加速度

當均勻邊坡處于臨界狀態(tài)時，以水平地震加速度系數(shù)kh表征的地震荷載效應參數(shù)恰好達到臨界屈服加速度kc，由功率平衡方程可得：

(14)

均勻邊坡的臨界屈服加速度kc可由式(14)求出，如下所示：

(15)

對于給定的邊坡和給定的比例系數(shù)λ(即邊坡傾角β、內摩擦角φ、無量綱系數(shù)c/γH、地震比例系數(shù)λ為已知)，由式(15)可以看出：kc是θ0和θh2個未知參數(shù)的函數(shù)kc(θ0，θh)。當θ0和θh滿足條件：

?kc/?θ0=0、?kc/?θh=0

(16)

時，函數(shù)kc(θ0，θh)取得一個極值，進而獲得邊坡屈服加速度kc的一個上限解答。基于數(shù)學軟件MATLAB平臺，本文采用序列二次優(yōu)化法對函數(shù)kc(θ0，θh)進行了優(yōu)化求解，其數(shù)學規(guī)劃表達式為：

minkc=kc(θ0,θh)

(17)

(18)

常規(guī)巖土參數(shù)條件下，簡單邊坡動力穩(wěn)定性擬靜力分析的屈服加速度kc計算結果如圖2所示。

1.4邊坡在地震作用下產(chǎn)生的永久位移計算

(19)

結合式(15)和(16)可得：

(20)

式中：l為滑動體重心到轉動圓心O點的距離；G為滑體的重力大小，可以通過簡單計算獲得：

(a)λ=kv/kh=0.0；(b)λ=kv/kh=0.5；(c)λ=kv/kh=1.0圖2　邊坡水平屈服加速度Fig.2 Horizontal yield acceleration of slopes

(21)

由于滑體重力和地震力所做功率分別如下：

重力功率：

(22)

水平地震力功率：

(23)

豎直地震力功率：

(24)

因此，聯(lián)立上述3式，可求得l為：

(25)

由式(19)可以看出，坡體的轉動加速度是一個與作用在坡體上的地震水平加速度有關的函數(shù)。在確定出坡體地震屈服加速度后，對式(20)進行二次積分，便可得到滑塊ABC的累計轉動滑移量，因此，通過幾何關系可求得邊坡坡腳的水平永久位移：

(26)

式中C為位移系數(shù)：

(27)

當λ確定以后，對于一個給定的邊坡(β，φ，c/γH)，由式(15)可優(yōu)化出屈服加速度kc，并可確定最危險滑裂面(θ0，θh)，將其代入式(27)即可確定地震位移系數(shù)C。由此可知，地震位移系數(shù)C可由4個參數(shù)(λ，β，φ和c/γH)確定。屈服加速度kc也可表示為參數(shù)(λ，β，φ和c/γH)的函數(shù)，故地震位移系數(shù)可以方便地表示為參數(shù)(λ，β，φ和kc)的函數(shù)。

簡單邊坡常規(guī)巖土參數(shù)條件下，邊坡動力穩(wěn)定性擬靜力分析時，對于給定的(λ，β，φ和kc)，可以給出地震位移系數(shù)C的圖如圖3所示。

(a)λ=kv/kh=0.0;(b)λ=kv/kh=0.5;(c)λ=kv/kh=1.0圖3　邊坡位移系數(shù)CFig.3 Displacement coefficient C of slopes

2邊坡地震永久位移圖表

為便于工程實際，選取4個比較典型的地震數(shù)據(jù)(Northridge1994，Kobe 1995，Imperial Valley1940，CHICHI 1999)各地震的信息如表1所示。對其加速度-時程曲線成比例的增大或者減小，得到一系列相同形式的加速度-時程曲線，然后對它們按式(25)進行2次積分，其結果便可表示為k-kc和km的函數(shù)，如圖4所示。則對于給定的邊坡，由圖2和圖3可查出邊坡的屈服加速度kc和地震位移系數(shù)C，然后通過圖4查出的地震位移乘以地震系數(shù)C就可得到邊坡永久位移。

表1　地震信息

注：PGA峰值加速度，PGV峰值速度，PGD峰值位移，Pref.Vs30為場地地下30 m平均剪切波速度。

(a)Northridge地震；(b)Kobe地震；(c)Imperial Valley地震；(d)CHI-CHI地震圖4　地震波2次積分后得到的位移Fig.4 Displacement resulting from two integral of seismic wave

為說明此圖表的作用，選取邊坡算例，邊坡參數(shù)為：邊坡傾角β=45°，高度H=15 m土體內摩擦角φ=20°，c=15 kN/m2，γ=20 kN/m3，λ=0.5。在地震永久位移計算中以Kobe地震記錄為例，將其地震波的加速度-時程曲線成比例增大，并使它們的峰值加速度增大到0.4g。首先，通過計算可得c/γH=0.106，由圖2可查得邊坡的屈服加速度kc為0.17g，然后通過圖3查得地震位移系數(shù)C=1.47，由km-kc=0.43，由圖4可查出其加速度時程曲線的2次積分為5.02 cm，則邊坡坡腳的水平永久位移為：1.47×5.02=7.18 cm。

3對比驗證與參數(shù)分析

3.1算例分析

基于數(shù)學軟件MATLAB平臺，采用序列二次優(yōu)化法對函數(shù)kc(θ0，θh)進行了優(yōu)化求解，并依據(jù)優(yōu)化得到的滑裂面參數(shù)(θ0，θh)。為了驗證本文公式和程序的正確性，選取Liangzhi You(1999)[3]中的算例結果與本文的結果進行對比，邊坡算例參數(shù)為：坡傾角β=55°，坡高H=18m，重度γ=17 kN/m3，黏聚力c=15.3 kN/m2，內摩擦角φ=36°。

對該邊坡輸入如圖5所示的Northridge(1994)的水平方向的地震波，其加速度峰值為286.5 cm/s2，時間步長為0.02。當只輸入水平地震波時則λ=0。計算得到的邊坡永久位移為4.201 1 cm，與Liangzhi You(1999)[3]文中的計算結果4.2 cm基本一致，這說明了本文公式和所編程序的正確性。且求得滑裂面參數(shù)(θ0，θh)=[53.356°，98.81°]，計算所得的邊坡角速度-時程和位移-時程圖如圖6~7所示。

圖5　1994年Northridge水平方向的地震記錄(記錄地點：Moorpark)Fig.5 Horizontal ground acceleration of Northridge 1994earthquake records (Moorpark Station)

圖6　邊坡的速度-時程圖Fig.6 Angular velocity of slopes against times

圖7　邊坡的永久位移-時程圖Fig.7 Permanent displacement of slopes against times

3.2豎向地震對邊坡永久位移的影響

為了分析豎直和水平地震加速度的比例系數(shù)λ對永久位移的影響，選取Liangzhi You(1999)[3]文中的算例，并取λ=-1.0～1.0，求得邊坡永久位移如圖8所示。

圖8　邊坡的永久位移隨比例系數(shù)λ變化Fig.8 Permanent displacement of slopesagainstscale factor λ

由圖8可知，邊坡永久位移與比例系數(shù)λ的增大而增大，呈現(xiàn)出非線性增大趨勢。且當λ=-1.0和1.0的時候，坡腳水平地震累計位移分別為2.16 cm和7.37 cm，分別與λ=0的地震位移4.20 cm相差48.5%和75.5%，說明豎向加速度對簡單均質邊坡永久位移的影響不容忽略。

4結論

1)基于極限分析上限法和Newmark剛塑性滑塊模型，推導出了考慮水平與豎向地震效應下，對數(shù)螺旋線型滑面邊坡屈服加速度kc和邊坡永久位移的計算公式；采用序列二次規(guī)劃法編制了非線性規(guī)劃迭代程序對邊坡地震永久位移計算模型進行優(yōu)化求解，由此探討了豎向地震對邊坡永久位移的影響規(guī)律。

2)繪制了邊坡屈服加速度、位移系數(shù)以及4個典型地震加速度時程的兩次積分圖表，以便于邊坡地震永久位移的查表。并給出了采用本文表格進行查表計算的流程。

3)參數(shù)分析顯示邊坡永久位移隨比例系數(shù)λ的增大而增大，呈現(xiàn)出非線性增大趨勢，表明豎向加速度對簡單均質邊坡永久位移的影響不容忽略。

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(編輯陽麗霞)

Design tables of seismic permanent displacement for soil slope considering the vertical earthquake effectWANG Shuguang1, HE guanghuai2, TANG Zuping3, WANG Zhibin4, ZHAO Lianheng5

(1. Guizhou Transportation Planning Surver and Design Academy Co., Ltd, Guiyang 550003, China;

2. CCCC Fourth Harbor Engineering Co., Ltd., Guangzhou 510000, China;

3. Shanghai Municipal Engineering Design Intitute (Group) Co., Ltd - Shenzhen Branch, Shenzhen 518013, China;

4. School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China;

5.School of Civil Engineering，Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract:The formulas of yield acceleration and permanent displacement of slopes against logarithmic spiral failure surface are deduced considering horizontal and vertical seismic effect based on upper bound limit analysis and Newmark rigid-plastic sliding block model. The nonlinear programming iteration procedure is compiled to calculate the optimal solution of slope seismic permanent displacement by adopting sequential quadratic programming, thus the influence rule of vertical earthquake on the slope permanent displacement is studied. Example analysis proves the correctness of this method. On this basis, graphs of yield acceleration, displacement coefficient and the two integral tables of four typical earthquake acceleration time history are drawn, which make it easy to get the seismic permanent displacement. And calculation process of adopting this article tables is illustrated by a specific example.

Key words：slope; seismic permanent displacement; vertical seismic effect; Newmark method; upper bound limit analysis

中圖分類號：TU435

文獻標志碼：A

文章編號：1672-7029(2016)01-0055-08

通訊作者：趙煉恒(1980-)，男，湖南益陽人，副教授，博士，從事道路與鐵道工程、巖土極限分析理論與應用方面的教學與科研工作；E-mail:zlh8076@163.com

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51208522)；湖南省科學技術廳科技資助項目(2012SK3231,2012TT2039)

收稿日期：*2014-10-20