表面效應(yīng)對(duì)壓電納米梁彎曲行為的影響

楊 帆

（1. 西安科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710054；2. 西安交通大學(xué) 工程力學(xué)系，陜西 西安 710049）

表面效應(yīng)對(duì)壓電納米梁彎曲行為的影響

楊 帆1,2

（1. 西安科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710054；2. 西安交通大學(xué) 工程力學(xué)系，陜西 西安 710049）

基于Euler-Bernouli模型，分析了表面效應(yīng)對(duì)壓電納米梁彎曲行為的影響?；诒砻鎻椥岳碚摵汀昂藲ぁ蹦Ｐ?，采用表面能模型引入表面效應(yīng)的影響。通過(guò)最小勢(shì)能原理建立起包含表面效應(yīng)及壓電效應(yīng)的壓電納米梁彎曲行為的控制方程和邊界條件。討論了表面效應(yīng)對(duì)氧化鋅懸臂梁結(jié)構(gòu)的壓電納米梁彎曲變形及其產(chǎn)生的感應(yīng)電荷的影響。結(jié)果表明，表面效應(yīng)使得壓電納米梁的彎曲變形變小，感應(yīng)電荷量減少。這些結(jié)論對(duì)設(shè)計(jì)、校正和測(cè)量壓電納米梁及其為基礎(chǔ)的納米器件具有重要的指導(dǎo)意義。

表面能；壓電納米梁；能量原理；彎曲變形；感應(yīng)電荷；ZnO

隨著壓電材料應(yīng)用越來(lái)越廣泛，人們想將其用于低能耗電子產(chǎn)品中，但傳統(tǒng)的壓電材料都不適合，于是研制納米級(jí)別的壓電材料成為前景不錯(cuò)的全新領(lǐng)域。美國(guó)亞特蘭大佐治亞理工學(xué)院王中林研究小組實(shí)驗(yàn)研究分析，用豎直結(jié)構(gòu)的ZnO納米線把機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)ZnO納米線具有半導(dǎo)體性能和壓電效應(yīng)，用導(dǎo)電的原子力顯微鏡探針針尖去彎曲豎直生長(zhǎng)的ZnO納米線，使ZnO納米線的內(nèi)部和外部分別發(fā)生壓縮和拉伸變形，從而導(dǎo)致彎曲的ZnO納米線的內(nèi)外表面產(chǎn)生正負(fù)極化電荷，并借助其半導(dǎo)體性質(zhì)和其金屬尖部的肖特基勢(shì)壘將電荷暫時(shí)存儲(chǔ)在體內(nèi)，然后用導(dǎo)電的原子力顯微鏡探針接通，向外界輸電以實(shí)現(xiàn)在納米尺度上把力學(xué)能轉(zhuǎn)化為電能。該研究小組表示該納米發(fā)電機(jī)的發(fā)電效率可以達(dá)到17%～30%，并提出自激勵(lì)納米裝置的概念[1-2]。

王剛鋒與馮西橋基于Euler-Bernouli梁模型研究了殘余表面應(yīng)力對(duì)壓電納米線的振動(dòng)與屈曲行為的影響[3]。利用有限元方法，Kim等[4]提出了一個(gè)理論模型以計(jì)算具有尺度效應(yīng)的ZnO線/梁的等效壓電系數(shù)。利用梁彎曲模型，Wang等[5]分析了表面效應(yīng)及小尺寸效應(yīng)對(duì)壓電納米線機(jī)電耦合性能的影響，推導(dǎo)了問(wèn)題的控制方程。利用分子動(dòng)力學(xué)“核殼”模型[6]，機(jī)、電耦合作用下壓電納米線的力學(xué)行為也得到了理論研究。

壓電納米問(wèn)題主要從材料方向和微電子方向研究壓電勢(shì)能的比較多，主要研究其材料、物理性能。研究的結(jié)構(gòu)包括有納米管、納米線、納米帶、納米須晶、納米層合結(jié)構(gòu)，主要是ZnO材料，也有BaTiO3。目前，考慮表面效應(yīng)的納米壓電力學(xué)問(wèn)題還比較少。本文基于表面彈性理論和“核殼”模型，采用表面能模型引入表面效應(yīng)的影響，分析了氧化鋅納米梁在壓電效應(yīng)及表面效應(yīng)下的線性彎曲行為。用最小勢(shì)能原理推導(dǎo)了計(jì)及壓電效應(yīng)及表面效應(yīng)的壓電納米梁彎曲控制方程及邊界條件并求解。同時(shí)還計(jì)算了壓電納米梁彎曲變形產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，分析了感應(yīng)電荷與壓電納米梁彎曲變形程度的關(guān)系。

1 壓電納米梁彎曲的基本方程

考慮如圖1所示的壓電納米梁在橫向載荷F作用下線性彎曲情況。坐標(biāo)軸y、z方向如圖所示，u和w分別為壓電納米梁上任一點(diǎn)在坐標(biāo)軸y、z上的位移。根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]，壓電納米梁在發(fā)生彎曲變形后，受壓的一面產(chǎn)生負(fù)電荷，受拉的一面產(chǎn)生正電荷。圖1所示壓電納米梁在載荷F作用下，上表面受壓，產(chǎn)生負(fù)電荷，下表面受拉，產(chǎn)生正電荷。

圖1 壓電納米線及其橫截面形狀Fig.1 Piezoelectric nanowire & cross section

采用Euler-Bernoulli梁模型，考慮到壓電納米梁在外載荷作用下為線性彎曲，則由幾何線性關(guān)系，梁上任意一點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?/p>

對(duì)于一維壓電納米梁結(jié)構(gòu)，壓電梁的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下

式中：C為壓電材料的剛度系數(shù)；e為壓電材料的壓電常數(shù)；E為電場(chǎng)強(qiáng)度矩陣。

對(duì)于一維壓電納米梁結(jié)構(gòu)，由電磁學(xué)理論，電位移公式為

式中：D為壓電材料的電位移；λ為壓電材料的介電常數(shù)；Φ為電勢(shì)。

一維壓電納米梁結(jié)構(gòu)中，y軸方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度遠(yuǎn)小于z軸方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度，即Ey＜＜Ez，則y軸方向上的電位移Dy相對(duì)于z軸方向上的電位移Dz可忽略不計(jì)。

由電學(xué)平衡方程

將公式(1)、(2)和(3)代入公式(4)中，得到如下形式方程

式中：a1，a2為待定系數(shù)。

2 表面效應(yīng)對(duì)壓電納米梁彎曲的影響

對(duì)于表面效應(yīng)的表征有殘余表面應(yīng)力及表面能兩種形式。在本文中采用表面能模型計(jì)及表面效應(yīng)的影響。在能量模型下，表面效應(yīng)對(duì)構(gòu)件力學(xué)行為的影響可通過(guò)表面能來(lái)表征并引入計(jì)算中。

基于表面彈性理論和“核殼”模型，認(rèn)為表面是一個(gè)可以忽略厚度的薄膜如圖1(b)所示，納米梁橫截面表面薄膜厚度ts遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于梁橫截面高t與寬度b。對(duì)于線性彎曲變形的壓電納米梁，表面效應(yīng)對(duì)彎曲剛度的影響同樣可用等效彎曲剛度(EI)*及等效拉壓剛度(EA)*來(lái)計(jì)算，其式為[9-10]

式中：Es為表面彈性模量，其值可以通過(guò)分子模擬或?qū)嶒?yàn)[11]測(cè)得；E為梁體內(nèi)部的彈性模量。

表面能為由固體自由表面產(chǎn)生的額外自由能。因此，固體變形后會(huì)增加新表面積，從而需要外力做功，這部分能量也應(yīng)包含在總能量中。為了簡(jiǎn)便，這里假設(shè)表面能密度γ在整個(gè)梁表面為一常數(shù)，則整個(gè)壓電納米梁的表面能US可表示為[12]

式中：S0為梁變形前的表面積，對(duì)于矩形橫截面梁其大小為2(b+t)l，對(duì)于圓形橫截面梁為πDl；H*為與梁橫截面相關(guān)的常數(shù)，對(duì)于矩形橫截面其大小為2γ(b+t)，對(duì)于圓形橫截面為πDγ。

壓電納米梁上的應(yīng)變能Ub

假設(shè)壓電納米梁上受到分布載荷q(y)及端部外載荷F作用，外力勢(shì)能V有如下表達(dá)式

及邊界條件

利用公式(11)，聯(lián)立邊界條件公式(12)可計(jì)算考慮表面效應(yīng)時(shí)壓電納米線的彎曲撓度。對(duì)于如圖1所示的壓電納米懸臂梁結(jié)構(gòu)其邊界條件為

微分控制方程(11)聯(lián)合邊界條件公式(13)即可計(jì)算得計(jì)及表面效應(yīng)的壓電納米梁彎曲變形撓度。當(dāng)表面能密度γ=0與表面彈性模量Es=0時(shí)，微分控制方程(11)和邊界條件公式(12)退化為無(wú)表面效應(yīng)的經(jīng)典理論下普通壓電梁的問(wèn)題，即可求出普通壓電梁的彎曲問(wèn)題。

壓電納米梁上下表面可視為兩平行電板，壓電納米梁彎曲變形后產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，根據(jù)電磁學(xué)理論有以下關(guān)系式

式中：C為電容。

有電容計(jì)算公式

式中：S為電容器板的面積；d為電容器板間距離；ε0為介電常數(shù)。

故有

將公式(5)、(16)代入公式(14)，且考慮到感應(yīng)電荷產(chǎn)生于壓電納米的表面上，得到以下結(jié)果

當(dāng)壓電納米梁橫向撓度w=0時(shí)，感應(yīng)電荷Q=0，則待定系數(shù)a1=0，公式(17)可簡(jiǎn)化為

3 結(jié)果及討論

為方便計(jì)算，引入以下無(wú)量綱量代入計(jì)算：

式中：B為無(wú)量綱參數(shù)。計(jì)算過(guò)程中壓電納米梁的物理參數(shù)如表1所示。

表1 壓電納米梁的物理參數(shù)[4]Tab.1 Material parameters of piezoelectric nanowire

考慮橫截面高t=20 nm，寬b=20 nm，長(zhǎng)l=400 nm的壓電納米梁。圖2為外載荷F=80 nN時(shí)，壓電納米梁的彎曲構(gòu)型圖。從圖中可以看到，當(dāng)受到同樣大小的外載荷時(shí)，考慮表面效應(yīng)的納米壓電梁的彎曲變形比忽略表面效應(yīng)的壓電梁彎曲變形小。表面效應(yīng)使得壓電梁剛度增強(qiáng)。

圖2 壓電納米梁在外載荷F=80 nN時(shí)彎曲構(gòu)型圖Fig.2 Deflection of the piezoelectric nanowire (F=80 nN)

圖3為無(wú)量綱載荷F/B與壓電納米梁最大變形處，即壓電納米梁的自由端無(wú)量綱橫向撓度w/t關(guān)系圖。隨著外載荷的增加，壓電納米梁的自由端無(wú)量綱橫向撓度增加。計(jì)及表面效應(yīng)的壓電納米梁與忽略表面效應(yīng)的經(jīng)典理論結(jié)果相比，在相同變形程度下，壓電納米梁需要更大的外載荷。表面效應(yīng)使得壓電納米梁彎曲變形更小，梁的剛度增加。

圖3 無(wú)量綱載荷與壓電納米梁自由端橫向撓度曲線Fig.3 The variation of tip deflection with load

圖4為無(wú)量綱外載荷F/B與壓電納米梁由于變形而產(chǎn)生的感應(yīng)電荷的關(guān)系圖。隨著從無(wú)量綱外載荷F/B的增加，壓電納米梁由于變形而產(chǎn)生的感應(yīng)電荷量增加。從圖中可以明顯看到，對(duì)于相同的外載荷，考慮表面效應(yīng)的壓電納米梁產(chǎn)生的感應(yīng)電荷比不考慮表面效應(yīng)的普通壓電梁產(chǎn)生的電荷少。這是因?yàn)閷?duì)應(yīng)相同的外載荷，壓電納米梁的彎曲變形比不考慮表面效應(yīng)的普通壓電梁的彎曲變形更小，導(dǎo)致產(chǎn)生的感應(yīng)電荷也更少，這與圖3所示的結(jié)論相吻合。

圖4 無(wú)量綱載荷與感應(yīng)電荷關(guān)系圖Fig.4 The varitaion of induced charge with load

4 結(jié)論

在壓電納米材料的逐漸應(yīng)用下，對(duì)帶壓電效應(yīng)的納米梁彎曲問(wèn)題分析就顯得意義重大。本文基于表面彈性理論和“核殼”模型，采用表面能模型引入表面效應(yīng)的影響，分析了氧化鋅納米梁在壓電效應(yīng)及表面效應(yīng)下的線性彎曲行為。用最小勢(shì)能原理推導(dǎo)了計(jì)及壓電效應(yīng)及表面效應(yīng)的納米梁彎曲控制方程及邊界條件，并對(duì)控制方程結(jié)合邊界條件進(jìn)行求解。同時(shí)還計(jì)算了壓電納米梁產(chǎn)生的感應(yīng)電荷。具體分析了一個(gè)懸臂梁結(jié)構(gòu)的壓電納米梁的線性彎曲。計(jì)算結(jié)果表明，表面效應(yīng)使得壓電納米梁彎曲變形減小，梁的剛度增加，由變形產(chǎn)生的感應(yīng)電荷減小。表面效應(yīng)對(duì)壓電納米梁的力學(xué)行為有著顯著的影響。這些結(jié)論對(duì)設(shè)計(jì)、校正和測(cè)量壓電納米梁及其為基礎(chǔ)的納米器件具有重要的指導(dǎo)意義。

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（編輯：曾革）

Effect of surface energy on the bending of piezoelectric nanowires

YANG Fan1,2
(1. College of Sciences, Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054, China; 2. Department of Engineering Mechanics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

The influence of surface energy on the bending of piezoelectric nanowire was analyzed by using the Euler-Bernouli beam model. The effects of surface was considered by surface energy model. Through the principle of minimum potential energy, the influence of surface energy on the bending performance of piezoelectric nanowire was formulated. The governing equation and the boundary conditions were obtained. It is found that the bending deformation and induced charge of piezoelectric nanowire can be decreased by the surface effects. This study is helpful for the design of nanowire-based devices and characterization of the mechanical properties of nanowires.

surface energy; piezoelectric nanowire; energy principle; bending deformation; induced charge; ZnO

10.14106/j.cnki.1001-2028.2016.08.011

TN303

:A

:1001-2028（2016）08-0046-04

2016-05-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（No. 11502197）；陜西省博士后項(xiàng)目

楊帆（1981-），女，四川資中人，講師，博士，研究方向?yàn)榧{米力學(xué)，E-mail: yangfan0832@163.com 。

時(shí)間：2016-08-03 22:36

： http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1241.TN.20160803.2236.011.html