幾何、集合起碼常識暴露中學數學一系列重大錯誤

【摘 要】人類5千年來一直認定各已知自然數n與1等的和n+1等均是已知自然數。2300年初等幾何、中學幾百年解析幾何一直認定：共過空間兩異位的直線必重合；共面平行直線之間只有重合與非重合兩種關系；R2平面中的直線的方程必可是a：y（x）=kx+b。然而幾何、集合起碼常識凸顯：一切已知自然數組成的N有元n的對應n+1是N外自然數而無窮大倍于1等，直線A沿本身平移或伸縮后就≠A了從而使R2中能由方程a表示的直線的全體只是該面上直線全體的滄海一粟。將各異直線誤為同一線自然就會將各異直線段誤為同一線段，從而使康脫推出“直線段部分點可與全部點一樣多”。人類幾千年來一直認定各已知正數x的對應x+3均是已知正數，然而區間概念凸顯R有“更無理”元x的對應x+3?R。發現幾百年函數“常識”：變域為R+的x≥0的各對應kx≥0（正常數k≠1）、xk≥0、...的變域均=R+等等，其實是違反集合、幾何起碼常識的重大錯誤。

【關鍵詞】N外無窮大自然數及其倒數；假自然數集（列）；貌似重合的偽二重直線（段）；推翻百年自然數公理和百年集論；直線的伸長與縮短變換；一次方程及其圖像；著名數學家朱梧槚、王世強

1 不是只有外國人才有發現數學危機的敏銳洞察力——不能不重視著名數學家朱梧槚9年前重大發現

中國著名數學家王世強敢于實事求是地強烈推薦[1]書，肯定朱梧槚教授、博導“在數學方面...得到一系列重大成果。”（[1]書序1）[1]書4頁：“朱梧槚的‘...等一系列重大發現表明整個數學基礎大廈已經岌岌可危！這一切將預示著怎樣的數學危機？”。李醒民著《激動人心的年代》75至76頁：“危機是科學革命的前夜，...。只有清醒認識到危機和...，才有可能...。相反，看不到危機的根源和危機的嚴重性，就難以感覺到變革舊理論的必要性和緊迫性，至多只能在舊理論框架內修修補補，甚至還會把別人所發現的觸及舊理論基礎的新現象、所提出的革命性的新概念和新理論當作異端邪說加以反對。”朱梧槚、肖奚安、杜國平、宮寧生4位數學家先知先覺地敏銳洞察到數學中占統治地位的百年集論中的“無窮集都是自相矛盾的非集[2]”。此9年前重大發現被許多沒能“清醒認識到危機”的人視為“怪論”。有人因這發現非發表在某“權威”雜志上而認為其非重大發現。“以論文發表處取文”與“以衣帽取人”一樣都是幼稚而不成熟的表現，“英雄不問出處”和“看文不看人、不看出處”才是正確的；俄羅斯一數學家獲百萬美元獎的論文甚至沒發表在任何紙質期刊上！

著名數學教育家張奠宙著《數學的明天》3頁：“數學不像有些人宣傳那樣，存在‘數學危機。數學在一日千里地前進。”人類認識自然數已有5千多年。“科學”共識：數學，尤其是關于自然數列和最簡單、基本的圖形：射線和直線（段）方面的中學知識絕不會有重大錯誤更談不上有一系列...；現代數學的嚴密精確性就如2×2=4那樣成為不容爭辯的事實；若有人聲稱憑中學數學發現“初等數學中的初等數學”有重大錯誤從而讓5千年都無人能識的自然數和中學幾百年解析幾何一直未能識的直線（段）一下子暴露出來（若屬實則是數學有史5千年來的最重大革命發現），那就是將全世界幾千年來一屆屆的高中畢業生都當成是沒思考能力的傻瓜了。“反科學”的神話般“太狂妄”發現來自于太淺顯的：①幾何起碼常識c：相等的圖形必合同。②集合起碼常識d：若有序數集A=B則A的元與B的元必可由小到大一一對應相等即有x?y=x（表A各元x均有與之對應相等的數y∈B且B各元y均有與之對應相等的數x∈A）；若A只可～B的真子集而不可～B則B的元必多于A的元。③區間概念。設R所有非負元x≥0組成R+。復變函數論一直認定平面z=x+iy的正實軸z=x≥0在映射z′=z2下“變為正實軸z′=x2≥0”（非保距變換），因有中學幾百年函數“常識”：定義域為R+的y=x2≥0的值域=R+；其實這是違反常識c、d從而使中學數學自相矛盾的肉眼直觀錯覺。

2 點集相等、合同概念暴露中學幾百年解析幾何重大錯誤：將無窮多各異直線誤為同一線

點（物體）x移動到新位置成點x′還是移動前的點（物體）即移動前后的點只有位置差別而無別的差別。至少有兩元的點集甲保距變為點集乙就稱甲≌乙——表示甲與乙可通過保距變換而重合。因相等的圖形（點集）必合同故有

h定理1：至少有兩元的點集A經一次變換變為B，B=A的必要條件是該變換是保距變換即A≌B。

設本文所說變數都可形象化為沿一維空間“管道”G內運動的動點（可固定一下），n個變數可形象化為同在G內的n個動點。“集A各數（點）”說明A是數（點）集。與x相異或相等的數均可表為y=x+△x（△x可=0也可≠0）。說R軸即x軸各元點x可沿軸前移變為點x+△x=x+3=X就是說R軸可沿軸正向保距平移距離3變為元為點X的X=x+3軸。其余類推。

h定理2：管道G內x軸各點變換為還在G內的點x+△x=X形成元為點X的X=X（x）軸，x軸=X軸的必要條件是|x|=|X|（x的變域是x軸）。

證：x軸各點x到位置x=0的距離是|x|，X軸各點X到x=0處的距離是|X|，若兩軸是同一軸則這兩距離必是同一距離函數即|X|=|x|。證畢。

h定理3：起點在同一位置W的兩射線（或直線段）A與B相等的必要條件是A各點到W處的距離（這是變量）與B各點到W的距離是同一距離函數（證：若A與B是同一點集則這兩距離必是同一變量）。

x軸的射線x≥-1沿軸正向平移變為元為點X=x+1≥0的射線X=x+1≥0（x≥-1），其與射線x≥0有共同起點：位置x=0。射線x≥0各點x≥0到位置x=0的距離是ρ1=x≥0， 射線X≥0各點X=x+1≥0到x=0處的距離是ρ2=X=x+1≥0（x≥-1），由ρ1≠ρ2知這兩射線不重合。

按“橡皮幾何學”觀點R2面是橡皮面而可彈性伸縮。z=x+yi面伸展成3z=3x+3yi=X+Yi面（XY面）使z面的子部：x軸和y軸隨之伸長變換成X=3x軸和Y=3y軸， x軸的射線x≥0伸長變換成射線X=3x≥0。

中學生須正確認識定義域為R或N的y=kx（正常數k≠1）和y=x+k等一次函數的值域。自有函數概念幾百年來一直公認的中學“y=kx的值域=R”其實是違反幾何常識c和集合常識d的肉眼直觀錯覺。R軸即x軸可伸縮變換為X=kx軸（正常數k≠1）即x軸各元點x可變為點x+△x=kx=X（從而有x?X=kx）生成元為點X的X=kx軸；x軸≠X=kx軸（即定義域為R的X=kx的值域≠R）的理由：①伸縮變換是非保距變換即x軸不≌X軸——推翻舉世公認2300年的公理：凡直線必合同；據h定理1x軸≠X軸。②|x|=|X|=|kx|（x的變域是x軸）不成立，據h定理2x軸≠X軸。③顯然在x?kx中當且僅當k=1時才可有x?kx=x。故中學解析幾何一直將X=x軸與用而不知的X=2x軸、X=x/2軸、...等無窮多各異軸誤為同一軸：X=x軸，繼而將無窮多各根本不同的相應平面等誤為同一平面R2等。這自然就搞錯了無窮多變量的變域。

“z=x+iy面的實軸z=x在映射z′=z+3下變為實軸z′=z+3=x+3”的理論依據是中學幾百年函數“常識”：定義域為R（即x軸）的X=x+△x=x+3的值域=R。其實這是違反集合常識d的肉眼直觀錯覺。理由：①比x大（小）的數y可稱是在x前（后）面的數y。“N各元n都有對應自然數2n及2n+1等”。N={n}={0，1，2，3，...}各元n變大為自然數n+1組成H={n+1}={1，2，3，4，...}各元n+1與各nn都在n的前面；N各元n只能與各n+1中的n=0，1，2，...一一對應相等。同樣，各元x均有對應數x+3的R各元x保距變大為X=x+3生成元為X的R′各元x+3與R各元x不可一一對應相等，因各x+3>x都在x的前面，R各x只能與各x+3中的x一一對應相等。②x軸沿軸保距平移變為元為點X=x+3的X=x+3軸，|x|=|X|=|x+3|（x的變域是x軸）不成立，據h定理2x軸與X=x+3軸不重合即定義域為R的X=x+3的值域≠R。

管道G內點集是由一個個點組成的點列。至少有兩元的點列A各點x沿G正（負）向保距前（后）移變成點x+△x≠x形成點列B不可還=A了，因各點x+△x都在點x的前（后）面從而使...。在x?x+常數△x中顯然當且僅當△x=0時才可有x?x+△x=x。

極顯然：任一無窮有序數集A各數x全都變大為y>x組成的集不能還是A了，因各y>x都在x的前面從而使...。一句話：集隨元的變換而變換，數集各數全都保序增大形成的新數集不能還是原集了。凡不合邏輯的理論必是不符合實際的錯誤理論。

注：直線y（x）=0的定義域是x軸而直線y（3x）=0中自變量3x的變域是X=3x軸≠x軸，同樣...。

3 幾何、集合起碼常識讓5千年都一直無人能識的自然數一下子暴露出來——中學幾百年重大錯誤：將無窮多假N誤為N

設兩不交且非空A、B的并集記為A+B=C。N各元n變為兩個數n、-n組成{n、-n}={n}∪{-n}各元n、-n 與N={n}各元n不可一一對應相等。N各元n一增為二地變為兩個數2n、2n+1組成N′={0，1；2，3；…；2n，2n+1；...}=N嗎？幾百年“N′=N”其實是重大錯誤。理由：

①保距變換的特點之一：一個點只能變為一個點。射線R+各點x≥0變為兩點：x≥0、-x生成R軸不是保距變換。同樣N各點n變為兩點2n、2n+1生成N′不是保距變換即N不≌N′，據h定理1N′≠N。

②N各元n變大為2n、2n+1（n=0變為兩數2n=0和2n+1=1是變大了）形成N′={2n，2n+1}={2n}+{2n+1}不能還是原集N了。在管道G內有3個N成三重點集N∪N∪N={（n，n，n）}=N而由一組組三重點（n，n，n）組成，現其中一N各點n≥0沿G正向前移成點2n≥0（生成{2n}），另一N各點n≥0前移成點2n+1（生成{2n+1}），各前移點2n、2n+1與各不動點n∈N顯然不可一一對應重合在一起，因各前移距離≠0的點2n>0和2n+1都在點n>0的前面；各前移點欲與各不動點n∈N一一對應重合顯然就只能各自退回到原位。

③因n?（2n，2n+1）故無人能證N各元n與N′各元2n、2n+1能一一配對，正如若每人有兩支筆則人和筆不可一一配對一樣；據集合常識d由N不可～N′知N′的元多于N的元——說明N′中必有N外自然數。N′={2n，2n+1}={0，1；2，3；4，5；…；... }中0與各2n>0之間的數n均∈N′，各2n中的n∈N′的全體組成I={n}=N各元n與N各元n可一一對應相等；鮮明對比的是無人能證I=N各元n與N′各元2n、2n+1能一一對應相等。n>0被限制只能代表區間

Q=（0，2n+1）=（0，n]+（n，2n]+（2n，2n+1）

內的自然數，當Q中n遍取N一切正數n時Q中（0，n]就包含N一切正數n；據區間概念和2n+1>2n>n（n遍取N一切正數）的含義，此時Q中至少有一偶數2n=T∈N′在（0，n]外而>一切已知自然數n∈N——推翻中學5千年“常識”：無自然數能>N一切數（注：非標準分析也認定各標準自然數n的對應2n等均是標準自然數）；5千年不識這類用而不知的N外T使中學一直將N的真擴集N′誤為N從而誤以為～N的{2n}?N，...。顯然T的倒數1/T<任何有窮正數ε是用而不知的無窮小正數。人類由認識自然數到發現T竟須歷時5千多年！

同理，N各元n變為3個數3n、3n+1、3n+2組成N″={0，1，2；3，4，5；…；3n，3n+1，3n+2；...}的元3倍于N的元（下節更有力證明此事實）；N各n變為4個數4n、4n+1、4n+2、4n+3組成的集的元4倍于N的元；...；N′各元m=0，1，2，…變為2個數2m、2m+1組成{2m，2m+1}的元2倍于N′的元使其是假N；...——說明已知整數全體僅是整數全體的滄海一粟。可見幾何、集合起碼常識和區間概念使持續幾百年的將無窮多假N誤為N的重大錯誤“N=N′=N″=....”一下子暴露出來。真正建立在此重大錯誤之上的理論必是錯上加錯的更重大錯誤。

4 數列起碼常識、相等與區間概念凸顯：N有最大元，R有正數x的對應x+3?R

h定理4：不含負數的數（點）集A與B相等的充分必要條件：A各元x到0的距離|x|=x=y（B各元y到0的距離）即x=y，若y=y（x）則y（x）=x是恒等變換式。

證：A（或B）各元x（或y）（非負數）到0的距離是變量x-0（或y-0），顯然若A與B是同一集則x與y必是同一距離變量即y=x。證畢。

數列起碼常識：無窮數列A={an}（其中各數相異）各數an均有序號數n與之配對而均在第n號位；A各數任意改變前后位置后就形成≠A的數列了，故A是由數與容納數的位置兩部分組成，A第n項有兩要素：an和與其配對的第n號位置。所以相應各數與各位置序號數n一一配對才能構成一數列。級數論的“黎曼更序定理”說明數列N={0，1，2，3，...}各數n可任意改變前后位置例{0，1，2，4，3，6，8，5，10，12，...}（不同位置有不同的數）還由N全部數與位置組成；同樣...。顯然應有h邏輯學常識：N各數任意改變前后位置形成的數列的各數與N各位置還是已一一配對，所以無論怎樣改配對方案，在各新配對方案下構成的新數列的各數都在N的位置內。N={0，1，2，...}各數n都“坐”在n號位，一n前移“奪占”n′的座位的同時其原座位也變空，故被奪座位的數都可后移到空位內。所以N各非0數n=1，2，3，…均可左移一格改與n-1號位配對，在這新配對方案下原在第0號位的0也必可有N的座位與其配對即0可右移到空位內從而處在新數列（由N全部數與座位組成）各非0數n≥1的后面而在第n=Ω號位，詳論見[3]。據相等概念若A=N則A各元n與N各元n不論在何配對法則下都必可一一配對而不是只有在某特殊配對法則（例n?n）下才可，即不論如何配對都必能保證A=N每一元n都能配到“配偶”∈N。否則“相等”是不合邏輯的假象。所以在A=N各非0數n≥1都有配偶n-1（≥0）∈N（所有配偶n-1組成{n-1}）的同時A=N的0也必可按另一配對法則有配偶Ω∈N；顯然這{n-1}外的Ω∈N是N的最大元。凡不合邏輯的理論必是不符合實際的錯誤理論。文[4]有一改天換地的改偶定理：

h定理5：各x與各y一一配對成一無窮“夫妻”數偶集F={（x，y）}內“男、女”雙方中有“人”“喜新厭舊另結新歡”改配偶使有的人變成“單身”后，一方出多少個單身，對方也只能出多少個單身。

證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新夫妻的各自原配偶x0與y0就成一對單身，一單身x0“再婚”就或使對方一單身也再婚或拆散一對夫妻（x1，y1）而生一新單身x1，...，沒別的可能。故F中非單身任意改配偶（新配偶必是F中人）后一方出n個單身的同時對方也只能出n個單身。證畢。

h定理6：若非空A～B?無窮集C=（C-B）+B則A不可～C；故C的任何真子集B～B?C都不可～C。

證：用反證法。假設A～C成立則在A、C雙方的元一一配對后再令A各元x都改與C中B～A的元y配對從而有x?y∈B后，A～B?C就有0個單身，據h定理5（改偶定理）C=（C-B）+B也只有0個單身，然而事實上（C-B）?C各元都是單身，故假設不成立。證畢。

所以“可～其真子集”的“無窮集”確實“都是自相矛盾的非集[2]”。

N各數n≥0的后繼n+1≥1的全體組成H={1，2，...，n+1，...}～N， 中學幾百年“H=N一切正數n≥1組成的N+={1，2，...，n≥1，...}?N”其實是將兩異數列誤為同一數列。理由：⑴據h定理6～N的H不是N的真子集N+?N。⑵N+各點n≥1到點n=0的距離是n≥1， H各點n+1（n≥0）到點n=0的距離n+1≥1與n≥1不是同一距離函數，據h定理4N+≠H。⑶顯然當區間E=[0，n+1]=[0，n≥0]+（n，n+1]中的n≥0由小到大遍取N一切數n時E中[0，n]就包含N，據區間概念此時E中至少有一自然數n0+1（>n0∈N）∈H在[0，n]外而>N?E一切數n；顯然n0=Ω是N的最大元——其后繼Ω+1是N外數。極顯然：能由可變E中n代表的數的全體N之外還有自然數∈E。

N各元n變為兩數n、n+1組成S={n、n+1}各元n、n+1與N各元n∈S不可一一對應相等，包含N一切數n的S≠N說明S中至少有一數n0+1（>n0∈N）在N外而>N一切數n；顯然n0=Ω是N的最大元——...。

不斷增元的集是變集。其項不斷由n個增加到n+1個的數列是變數列B：由{0}變到{0，1}變到{0，1，2}變到…，當且僅當其項不再增加而有末項時B才成固定數列N。“實無窮”觀認為可有包含無窮多個項的固定數列，但又斷定其沒末項；這顯然是不合邏輯的自相矛盾。所以“沒最大元”的“無窮集N”確是“自相矛盾的非集”。詳論見[3]。稍有一點頭腦的人都不否認：既然N={0，1，2，...}是無窮數列，那當然就有與0相隔寫不完的那么多（即無窮多）個自然數的自然數n，雖然永生不死的人也不可由0寫到此n，但此n卻是數列中的無窮大自然數，否則就不是無窮數列了。所以“無窮集N各數n都是有窮大自然數”中的N確是“自相矛盾的非集”。以非集為集的理論必是錯上加錯的更重大錯誤。

R各元x變大為x、x+3>x組成C={x、x+3}=R∪{x+3}（非保距變換）不能還是原集 R了，據h定理1也得此結論。包含R的C≠R說明C中必有數x+3>x∈R在R外而>R一切數x。同樣R+-{0}=U各元x>0變小為x、x/20。可見有用而不知的正實數分別>和0推翻百年“R完備、封閉”論。

R+所有≥3的數x≥3組成A（中學記A=[3，∞））?R+。R+各元x≥0保距變大為X=x+3≥3組成元為X≥3的A′（現有數學記A′=[3，∞））～R+。問題是A≠A′！理由：① 據h定理6～R+的A′不是R+的真子集A?R+。②A各元x≥3到0的距離是變量x≥3而A′各元X=x+3≥3到0的距離是x+3≥3，據h定理4A≠A′。③z=x+yi面有射線z=x≥0和z=x≥3，射線z=x≥0可平移成射線z+3=x+3≥3，說射線z+3≥3與射線z≥3重合就是說兩射線的差別為0：z+3-z=0或z-（z+3）=0，即說±3=0——矛盾；④據h定理3起點在同一位置的射線z+3≥3與射線z≥3不重合。⑤當區間K=[3，x+3）=[3，x]+（x，x+3=X）中的x≥3由小到大遍取A一切數x≥3時K就包含A?R+，據區間概念此時K外至少有一數X=x+3（>x∈A）∈A′大于A?R+一切數x≥3。對A任何（一切）元x≥3有區間q=[x，x+3）（x≥3遍取A一切數），注意到A中一個不漏的一切數都由q中x代表，故據區間集概念在各q=[x，x+3）（x≥3）外必有數X=x+3（∈A′）>A一切（任何）數x≥3。不識這類用而不知的R+外數X∈A′及其倒數使中學一直將兩異集例A與A′誤為同一集。可見流傳幾百年使世人深信不疑的中學函數“常識”：“射線A=A′”其實是被偽二重射線迷惑。

物理學要知運動質點p在各時刻的速度就須研究p的非0位移，而這位移的長ρ須可<“任意給定”的正數ε，當ε=普朗克長度數P時非0的ρ<ε就是

5 幾何起碼常識暴露xoy平面上有無窮多類直線的方程均非y（x）=kx+b——集合起碼常識凸顯直線y=2x≠直線y+3=2x+2（3/2）

h定理7：任一數集A=B的必要條件之一：A各元x到0的距離|x|=|y|（B各元y到0的距離）；若A、B的元分別是復數z1、z2則|z1|=|z2|。

證：如[5]所述A（或B）各元x（或y）到0的距離是變量|x|（|y|），顯然若A與B是同一集則|x|與|y|必是同一距離變量；A（或B）各元z1（或z2）到位置z=0的距離是|z1|（或|z2|），若A=B則|z1|與|z2|必是同一距離變量。證畢。

射影幾何學有線束概念：過一定點a的直線繞a旋轉所產生的圖形稱為線束。中學生就要求直線y（x）=kx繞點x=y=0旋轉變成斜率為k+△k的新直線的方程，幾百年解析幾何一直認定：方程必是y=（k+△k）x，R2面上過位置x=y=0的一切直線（⊥x軸的直線除外）的方程必是關于x、y的方程y=kx，斜率相同且過點x=y=0的直線必重合相等；其實這是違反幾何、集合起碼常識的“以井代天”錯誤。

R軸的射線R+各元x≥0保序變為x+△x=kx（正常數k≠1）≥0（非恒等變換）組成的集可記為kR+，據h定理4kR+≠R+。射線R+各元x≥0變為x+△x=y=xn（n≥2）≥0組成元為y的J（非恒等變換也非保距變換），據h定理4或h定理1J≠R+；同樣...。所以中學幾百年“定義域為R+的X=kx≥0的值域=R+”、“J=R+”等等，其實是違反幾何常識c的一系列肉眼直觀錯覺。

將兩異射線誤為同一線自然就會將兩異直線段誤為同一線段，從而使康脫推出病態的“直線段部分點可與全部點一樣多”。線段D=[0，1]?射線R+各點x（非負數）變為點X=x+△x=xk（正常數k≠1）≥0組成元為點xk（0≤xk≤1）的D′覆蓋在D上是非恒等變換也非保距變換，據h定理4或h定理1 D′≠D；...。線段Z′=[0，2]?R+的子部D=[0，1]?Z′各點x變為點X=x+△x=2x∈2R+≠R+生成元為點X=2x的線段Z=[0，2]（～D）?2R+覆蓋在Z′上。Z′各點x到點x=0的距離是變量x，Z各點X=2x到點X=2x=0的距離是2x≠x，據h定理4或h定理3等長的Z′與Z不相等，是偽二重線段；據h定理6～D?Z′的Z≠Z′。同樣....。但限于篇幅本文無法詳談。

z=x+iy面的實軸z1=x繞其中心點z=0反時針旋轉θ角成斜率為k=tanθ的直線z2=z1（cosθ+isinθ）=xcosθ+ixsinθ=X+iY（Y/X=tanθ）即直線Y=tanθX=kX（0<θ<1800）（保距變換），直線z1=x各點z1=x+i0的高度（可<0）均由y=0變為y=kx生成斜率為k的直線z3=x+ikx即y=kx是不保距變換，使直線z3不≌x軸從而也不≌直線z2；中學解析幾何一直認定直線y=kx與直線Y=kX重合，其實這是違反幾何常識c的重大錯誤。理由：①|z3|=（x2+（kx）2）1/2=|x|（1+k2）1/2≠|z2|=|x|，據h定理7直線z3≠直線z2；②據h定理1由直線z3不≌直線z2也得此結論。③兩線各點的橫坐標x與X=xcosθ不可一一對應相等說明兩線不相等。④直線z3即直線y=kx在x軸的正投影是x軸（即y=kx的定義域是x軸）而直線z2=X+iY即直線Y=kX在x軸的正投影是X=xcosθ軸（即Y=kX的定義域是X=xcosθ軸）≠x軸——說明直線Y=kX≠直線y=kx。

z面上直線y=kx即z3=x+ikx伸縮變換為直線az3=ax+iakx（伸縮系數a≠1可取無窮多正數）≠直線z3的理由：①兩線各點的橫坐標x 與ax不可一一對應相等說明兩線不相等。②直線z3=x+ikx在x軸的正投影是x軸而直線az3=ax+iakx=X+iY在x軸的正投影是X=ax軸≠x軸——說明兩線不相等。③|z3|≠|az3|，據h定理7直線z3≠直線az3。④伸縮變換是非保距變換，據h定理1直線z3≠直線az3。

同理可證直線z3=x+ikx沿本身伸縮平移成直線z′=az3+c（覆蓋在直線z3上）≠直線z3，其中實常數a>0是伸縮因子，復常數c=b+ikb≠0是平移因子；顯然在點z3?點az3+c中當且僅當a=1、c=0時才可有點z3?點az3+c=z3。

直線y=x即直線z4=x+ix繞點z=0反時針旋轉θ角（0<θ<1350且θ≠450）成斜率為k=tan（450+θ）的直線z5=z4eiθ=（x+ix）（cosθ+isinθ）=x（cosθ-sinθ）+ix（sinθ+cosθ）=X+iY，Y=kX（保距變換）。直線y=x各點的高度均由y=x變為y=kx生成直線y=kx（不保距變換）在x軸的正投影是x軸，而直線Y=kX在x軸的正投影是X=x（cosθ-sinθ）軸≠x軸——說明直線y=kx≠直線Y=kX；據h定理1或h定理7 也得此結論。

可見z面上過位置z=0且斜率為k的直線有無窮多條，而中學幾百年解析幾何一直只識其中的一條直線y=kx即z3=x+ikx，且將無窮多各異直線誤為同一線：直線z3。同樣...——說明已知直線全體僅是直線全體的滄海一粟。

c是非0實常數，直線L1：y（x）=kx（k≠0）沿本身保距平移變為元為點（X，Y）的直線L2：

y+c=kx+k（c/k）=k（x+c/k）即Y=kX

疊壓在L1上。L1≠L2的理由：①L1在x軸的正投影是x軸而L2在x軸的正投影是X=x+c/k軸≠x軸。②兩線各點的縱坐標y與Y=y+c不可一一對應相等說明兩線不相等，雖然兩線有無窮多公共點即相應的兩個二元一次方程組成的聯立方程組有無窮多組解。其余理由略。

6 結束語

錯誤的基礎教育會使受教育者打歪成才的基礎。破除迷信、解放思想、實事求是才能創造幾千載難逢的神話般世界奇跡使數學發生革命飛躍：從以井代天的“井底”誤區一下子躍出從而不再被蒙在“井”里。目光太短淺、視野太狹窄的井底數學一直被無窮對象的假象迷惑從而將違反幾何、集合起碼常識的假無窮集誤為無窮集，“井”外數學才能用無窮大整數定量描述真正無窮集有多少個元，才能看到各固定射線均有固定長度從而應有表示其長度的無窮大數。詳論見[5]。王前：“當代數學大師陳省身先生曾預言：21世紀將是中國數學界在世界上發揮重大影響的世紀[6]”。

備注：已對本文采取法律公證等法律保護措施。

【參考文獻】

[1]李緒蓉.朱梧槚傳[M].北京：清華大學出版社，2014.

[2]朱梧槚，肖奚安，杜國平，宮寧生.關于無窮集合概念的不相容性問題的研究[J].南京郵電大學學報：自然版，2006（6）.

[3]黃小寧.數列、集合、邏輯學起碼常識暴露課本一系列重大錯誤——數列起碼常識否定5千年“常識”：無最大自然數[J].科技視界，2015（32）：5.

[4]黃小寧.極限論總極難學真因：人有抵制思想混亂學說本能——為偉大科學家遠超后人地使用無窮數光輝實踐正名[J].科技信息，2010（33）：61.

[5]黃小寧.著名數學家朱梧槚的發現揭示課本有一系列重大錯誤——發現最小、大正數推翻百年集論破解2500年芝諾著名世界難題[J].科技視界，2014（10）：70.

[6]王前.探索數學的生命：哲人科學家大衛·希爾伯特[M].福州：福建教育出版社，1996：188.

[7]黃小寧.兩集相等概念推翻百年集論和幾百年函數“常識”——課本重大錯誤：定義域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2][J].數學學習與研究，2015（3）：117.

[8]黃小寧.課本一系列重大根本錯誤：將兩異圖形（數列）誤為同一圖形（數列）——書中x軸確如朱梧槚等4位數學家所說“是自相矛盾的非集”[J].科技視界，2015（3）：332.

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