起效素數的有效排除力總和與素數兩個猜想

【摘 要】本文應用起效素數的有效排除力總和與自然數擴延范圍的素數的量兩者關系之原理，對羅卡爾關于“兩個素數的平方之間至少有4個素數”的命題和杰波夫關于“在n2和（n+1）2之間有一定素數”猜想做出證明。此外，筆者發現并證明“在‘（n-1）×n至n×n之間和‘n×n至n×（n+1）之間存在一定素數”的問題。

【關鍵詞】起效素數的有效排除力總和；羅卡爾命題；杰波夫猜想；證明

1 關于羅卡爾命題的證明

筆者認為，法國數學家羅卡爾關于“兩個素數的平方之間至少有4個素數”的命題，其本質就是自然數擴延范圍的素數的量與起效素數的有效排除力總和之間關系的問題。筆者研究結果表明，羅卡爾關于“兩個素數的平方之間至少有4個素數”的命題，從“32至52”的擴圍起成立，其證明定理為：

兩個素數的平方之間的素數的量=“兩個素數的平方之間的自然數的量”減去“被起效素數有效排除的量”>4（個）

1.1 起效素數與起效素數的有效排除力

定義1 素數的有效排除線

是指一個素數作為除數，將被其整除的自然數有效排除出素數之外的起點線，亦是一個素數起到有效排除作用的起始自然數。一個素數起到有效排除作用的起始自然數即是該素數的平方數，如素數2的有效排除線從4起，素數3的有效排除線從9起，其余以此類推。

定義2 素數有效排除力

是指素數作為除數，將可被其整除的自然數排除出素數之外的實際能力，是素數有效排除的自然數的量占自然數總量的比率的反映。素數的有效排除力，可分單個素數的有效排除力和整體素數的有效排除。整體素數的有效排除力，即是單個素數有效排除力相加總和。

定義3 自然數的擴延范圍

是指依照自然數的循序逐增規律，以規律有序的數學式子表達起、至兩個自然數，此起、至兩個自然數及其間隙全體自然數組成的整體。“擴延范圍”簡稱為“擴圍”

“起效素數”，即是“起到有效排除作用的素數”的簡稱。“起效素數有效排除力總和”，即是起到有效排除作用的素數的有效排除力相加總和。

關于“起效素數與起效素數的有效排除力”的內容，筆者在《素數的有效排除與素數沒有窮盡》、《奇素數為什么不可窮盡》（《數學學習與研究》2015年第21期、第17期）兩文作了解讀。主要觀點有：

觀點1 素數將合數排除出素數之外，不是“一哄而上”的，而是遵循有效排除線而依序“登場”的（見圖1）。

觀點3 自然數的擴圍的素數的量，與起效素數的有效排除力總和有著密切聯系，自然數的擴圍的素數的量，可通過自然數的擴圍的素數的量與起效素數的有效排除力總和之間關系的原理而求得。自然數的擴圍的素數的量與起效素數的有效排除力總和之間關系的定理為：

自然數的擴圍的素數的量=自然數的擴圍的自然數的量-（自然數的擴圍的自然數的量×起效素數的有效排除力總和）

1.2 對羅卡爾命題的證明

筆者研究結果表明，羅卡爾命題可應用自然數的擴圍的素數的量與起效素數的有效排除力總和之間關系的定理做出證明。

例證1 求3與5兩個素數的平方之間的素數的量的證明

已知，自然數擴延至“52”時，起效素數共有2、3、5三個，2、3、5此三個起效素數的有效排除力總和為。

第三步，驗證。即看三角矩陣（方陣）的每一行自然數是否都存在素數，如是，則證明杰波夫猜想成立，否則就不成立。

驗證結果：從圖3看出，三角矩陣（方陣）中的可被起效素數整除的自然數篩去后，從三角矩陣的第二行起，每一行自然數均剩有2個以上自然數（即是素數），可見，杰波夫關于在n2和（n+1）2之間有一定素數的猜想成立。此證。

3 張爾光發現并證明：在“《n-1》×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”均存在一定素數

筆者在研究素數的過程中發現，在比“n2和（n+1）2”更小的自然數擴延范圍——“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”均存在一定素數。

3.1 應用起效素數的有效排除力總和原理的證明

第二步，將圖4自然數中的合數用方框框上，那么，沒框的自然數就是素數。

第三步，驗證。即看三角矩陣的每一行的“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”的自然數是否都存在素數，如是，則證明成立，否則就不成立。

驗證結果：從圖4看出，三角矩陣中的可被起效素數整除的自然數篩去后，從三角矩陣的第二行起，每一行“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”的自然數均剩有1個以上自然數（即是素數），可見，關于在“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間存在一定素數的問題成立。此證。

至此，筆者覺得有必要多說兩句的，羅卡爾命題、杰波夫猜想以及“在‘（n-1）×n至n×n之間和‘n×n至n×（n+1）之間存在一定素數”的問題，同屬于“自然數擴圍的素數的量與起效素數的有效排除力總和之間關系的問題”，筆者研究結果表明，依照循序逐增規律，設置的自然數擴延范圍，不論是依序前后兩個素數的平方之間，還是依序前后兩個自然數的平方之間，抑或是“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”，隨著n（或P）的循序逐增，其自然數擴圍在不斷擴大，而自然數擴圍越大，其存在的素數的量也越大。據此，我們可作這樣推理，既然最小的自然數擴圍“2×2至2×3之間”存在素數，而在其后、比之更大的自然數擴延范圍沒有理由不存在素數，而羅卡爾命題、杰波夫猜想以及“在‘（n-1）×n至n×n之間和‘n×n至n×（n+1）之間存在一定素數”的問題也沒有理由不能成立。

[責任編輯：湯靜]