說謊者悖論中的自指與否定

趙　震

(安徽大學 哲學系，合肥　230601)

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說謊者悖論中的自指與否定

趙震

(安徽大學 哲學系，合肥230601)

摘要：通過列舉并分析一些常見說謊者悖論的例子，對說謊者悖論中的自指與否定這兩個重要概念及相關問題進行了討論。討論了自指及其實現方式，以及自指與說謊者悖論產生的關系；討論了說謊者悖論中否定的含義及其在說謊者悖論中的實現方式，以及否定與說謊者悖論的關系。

關鍵詞：說謊者悖論；自指；否定

一、說謊者悖論的例子

說謊者悖論的例子有很多，這里介紹幾個典型代表：

例(1)例 (1) 不是真的。

這個句子的真值是什么？如果它是真的，根據(1)自身它是假的；如果它不是真的，根據(1)它是真的。用邏輯的方法可以把這個推理描述如下：

1.(1)=(1) 不是真的

已知

2.(1) 不是真的

假設

3.(1)不是真的不是真的

1 ,2,等值置換

4.并非 (1) 不是真的

3,(T),等值置換

5.(1)不是真的并且并非(1)不是真的

6.(1)是真的

2～5,歸謬法

7.(1)不是真的是真的

1,6,等值置換

8.(1) 不是真的

7,(T)

9.(1)是真的并且(1)不是真的

上面這個直接帶有自指的說謊者悖論被稱為“簡單的說謊者”，這個例子還有一些變體，它們沒有直接的自指，但是有間接的自指，比如下面這個例子：

例(2)A:B 不是真的。

B：A是真的。

使用相似的推理可以得出：如果 A 是真的，那么 B 不是真的，因而 A 不是真的；如果 A 不是真的，那么 B 不是真的不是真的，所以 B 是真的，因此 A 是真的。所以 A 是真的當且僅當 A 不是真的。同樣的推理也可以得到 B 是真的當且僅當B 不是真的。

上面例子的一個典型特點就是都包含自指和否定，這似乎說明說謊者悖論都與這二者有關，但是下面的這個說謊者悖論就沒有否定，至少表面上沒有否定。

例(3)克里(H.Curry) 悖論：令 K 是下面的這個句子的縮寫：

True()→ 地球是平的

1.K?(True()→⊥)

K的構造

2.True()?(True()→⊥)

1,(T),等值置換

3.True()→(True()→⊥)

?-

3,一階邏輯定理

5.True()→ ⊥

6.(True()→⊥)→ True()

?-

7.True()

5,6,MP

8.⊥

5,7,MP

從上面的例子看，雖然不是所有的說謊者悖論都包含否定(至少表面上不包含否定)，但是它們都包含自指。這讓人感覺似乎說謊者悖論必須有自指。但是，并非如此，還有另一個例子表明可以不使用自指也能構造出說謊者悖論。

例(4)雅布羅 (S.Yablo) 悖論：設想一個無窮的句子序列 (S1),(S2),(S3)……每一個句子說的都是接下來的句子都是不真的：

(S1) 任給k>1,Sk是不真的

(S2) 任給k>2,Sk是不真的

?

假設有Sn是真的，如果 Sn說的是真的，那么任給k>n，Sk是不真的。因此，(a) Sn+1 是不真的，并且(b)任給m>k+1，Sm是不真的。根據(b)，Sn+1 所說的恰是這種情況，而這與(a)相矛盾。所以，任給n，序列中的句子 Sn是不真的。但是這又恰說明任給n，Sn是真的。因此，對于任何n，Sn是真的當且僅當 Sn不是真的。很明顯，這個例子里并沒有自指，但是依然產生了與“真”有關的悖論。這個悖論表明，我們可以不需要自指而僅需要非良基性就能構造出悖論。

二、說謊者悖論中的自指

從上面的例子可以看出，除了雅布羅悖論之外，其他的說謊者悖論都涉及自指。自指可以說是說謊者悖論甚至語形悖論產生的一個很重要的原因。自指 (self-reference) 就是指涉自己。這種現象廣泛存在于現實之中，比如，北京天安門上有國徽，而國徽上有天安門，那么這個國徽上的天安門也應該有國徽，這樣就形成了“自指”。再比如，兩面相對放著的鏡子，其中任何一面鏡子中都有“自己”。不過，這里討論的主要是語言中的一個現象。語言中的自指主要是指一個句子(或陳述、或命題等)談論了它自己這個句子(或陳述、或命題等)自身的一些屬性或關系。

自指有直接自指和間接自指兩類。直接自指就是直接說自己，比如說上面的例(1)。而間接自指則是通過某些媒介轉一圈之后再指涉自己，比如說上面的例(2)。那么自指是如何實現的呢？自指是指稱的一種，所以有必要先談一下指稱的方式。

最簡單最自然的指稱方式是日常語言中的指稱。日常語言中的指稱方式概括起來大概有三類：一是通過描述來指稱，二是通過代詞來實現指稱，三是通過直接命名來實現指稱。

第一種，比如我正和一些人在屋子里并且我只說了下面這句話：

這個屋子里 IQ 最低的人說的那句話是假的。

經過 IQ 測試之后，發現我恰好是那個智商最低的人，所以“這個屋子里 IQ 最低的人說的那句話”就指稱“這個屋子里 IQ 最低的人說的那句話是假的”這句話，并且因為我只說了這一句話，因此它不僅是指稱這個句子，而且是自指。但是，這是通過描述恰好和實際情況相符合來實現自指的。如果我的 IQ 不是最低的，那么這句話就沒有實現自指，甚至如果這個屋子里的別人都沒有說話，那么這個句子都沒有指稱。所以說，通過描述來實現指稱進而實現自指的方法帶有一定的偶然性。

第二種，自指的方式是通過代詞實現自指，比如下面這句話：

本句話由 20 個漢字組成。

這里就通過“本”(this) 這個指稱代詞實現指稱，并且是自指這句話本身。

直接命名指稱的方式也有兩種。一種是著名的引號命名法，即直接給某個表達式(這里沒有用句子或公式，因為可能是不合語法的字符串)加上引號，以此作為它的名字，比如用 (x) 表示下面這句話的縮寫：

“(x)”這句話是用英文寫的。

“(x)”是 (x) 這個句子的名字。這里不僅有指稱，而且顯然是自指。這種方法相對于上面的描述法來說更確定，沒有偶然性，因為它命名的那個表達式就在引號里面。

此外，還有一種直接命名的方法叫作結構描述法。這種方法(以英文為例)首先為語言的每一個字母指定一個名字，比如用 “Sn”“Nn”“On”“Wn”“In”“Sn”“Hn”“Tn”“En” 等分別命名 “s”“n”“o”“w”“i”“s”“h”“t”“e”，然后可以為每一個詞命名，比如 “snow” 這個詞命名為“由 Sn，Nn，On，Wn依次連接所構成的那個詞”。然后，可以進一步得到表達式的名字，比如可以用“由這樣三個詞組成的句子，第一個詞由 Sn，Nn，On，Wn依次連接所構成，第二個詞由 In、Sn 依次連接構成，第三個詞由Wn、Hn、In、Tn、En依次連接構成”這個名字來命名“snow is white.”這種方法可以實現指稱，而且因為自然語言不區分對象語言和元語言，這種方法也很容易實現自指。

除了上述日常語言中的命名之外，還有更精確的形式化的方法命名。這種命名有兩種最著名的方法：一種是塔爾斯基的方法，一種是哥德爾的方法。

另一種方法是著名的哥德爾編碼的方法。這種方法簡單說來就是先通過一套算法為每一個字母和符號 t 指派一個與之一一對應的自然數，其中<>可以理解為一個編碼函數。進而再為每一個表達式φ指派一個與之一一對應的自然數<φ>。這種方法不僅能夠實現指稱，而且能夠實現自指，比如后面的對角線定理證明中構造的那個句子。

大多數悖論都是通過構造一個指稱自己的句子來實現的，這個句子一方面有某種性質(比如說是真的)，另一方面又沒有某種性質，以此來構造矛盾。上面提到的可以實現自指的幾種語言都很容易導致悖論。但是，取消自指顯然不是解決悖論的好的方法，因為有自指不一定有悖論，而且如前所述，自指是語言和現實中非常常見的一種現象，若拋棄自指，語言中的很多現象將不能表達，比如不能再說像“本句話是用中文寫的”這樣非常自然的句子。所以，取消自指就相當于“潑洗澡水的時候把孩子一塊倒掉了”，損失太多，代價太大，并非上策，但是保留自指又很容易產生悖論。

三、說謊者悖論中的否定

羅素曾經在其著名的文章《論指稱》(OnDenoting) 中區分了指稱詞的“初現(primary occurrence)”和“次現 (secondary occurrence)”[2]490。與之相對應，否定詞也可以區分為對于整個句子的否定和對于謂詞的否定，對句子的否定相當于否定詞的初現，對謂詞的否定則相當于次現。以“蘇格拉底是哲學家”為例，對謂詞的否定就是“蘇格拉底不是哲學家”，而對整個句子的否定就是“并非蘇格拉底是哲學家”。對謂詞的否定是在承認主詞 a 存在的前提下否認其具有謂詞 P 所表達的這種性質。以上面例子來說，其確切表述應該是“存在一個 x，x 是蘇格拉底并且他不是哲學家”。而對整個句子的否定，則是對 a 存在以及 a 具有 P 這種性質的共同否定。以上面的例子來說，其確切表述應該是“并非存在一個 x，x 是蘇格拉底并且 x 是哲學家”。說謊者悖論中的否定一般都是次現的否定。

次現的否定還可以進一步區分為兩種：一種是排除性否定 (exclusion negation)，一種是選擇性否定 (choice negation)。排除性否定是說：a 不屬于 P，但是可以屬于 P 之外的任何屬性。選擇性否定是說：a 不屬于 P 而只屬于與 P 正好相反的那個屬性 Q。以“a 不是黑色的”為例，如果這里的否定詞“不是”是排除性否定，那么 a 可以是任何非黑色的東西，比如 a 可以是“土豆”。如果“不是” 是選擇性否定，那么 a 只能是“白色”。再以多值情況下的語義取值為例，假設語義值有多個值，分別為n0，n1，n2，n3…，令 n1為指定值(指定值就是模型中的真句子所被賦予的值，非指定值就是除此之外的其他值。指定值一般就是“1”，這里用 n1代替，通常都把假句子的賦值規定為“0”，這里用 n0來代替)，排除性否定是指任何一個非指定值的否定都是 n1，即任給i≠1，都有﹁ni=n1。當然，反過來，n1的否定也可能是 n1之外的任意值(這只是一種直觀的想法，具體操作起來似乎比較麻煩，而且顯然會導致悖論)。選擇性否定是指任何一個值的否定都只能是取值中的某一個值，即任給i，存在唯一的 k(k可以等于i)，使得﹁ni=nk(當然，一般來說，﹁n1=n0，其他值的否定任意)。說謊者悖論的構造中用到的否定一般都是排除性否定。

多值邏輯的解悖方案往往都是在否定詞上做文章，企圖通過承認多值，并且把否定詞理解為選擇性否定來避免悖論句成為真正的矛盾。比如，弗完備類解悖方案，就是通過承認有既不真也不假的真值間隙使矛盾形式不再是矛盾來解決悖論的。但是，也受到反對者的指責，因為現實的語言或思維中確實有排除性否定，忽視排除性否定的做法未免有避重就輕或者偷換概念之嫌。

討論否定其實是在討論它背后的邏輯，一般而言，邏輯可以理解為一個三元組，其中 L 是句法，它提供各種初始非邏輯符號及合式的項和公式；M 是模型，它對 L 中的初始非邏輯符號進行解釋；σ是賦值模式，它對變項進行指派，并對 L 中的合式公式進行賦值，同時也就解釋了邏輯符號。公理化不過是賦值模式下所有有效式的集合(A)的一個子集(B)，如果這個邏輯有完全性，那么 A=B。不同的邏輯的區別主要是模型和語義賦值不同，正是因為否定在不同的邏輯那里有不同的解釋，相應的公式有不同的賦值，相應的公理和推理規則也就有所差別，是否能推出悖論也就不一定了。所以，當說到否定的時候，討論的實際上是邏輯問題。當然，邏輯并不只處理否定符號，它還要處理其他的邏輯符號，因此在對否定有相同解釋的情況下，可以通過修改其他邏輯符號的解釋而產生不同的邏輯。

參考文獻：

[1]TARSKI A.Logic,semantics and metamathematics[M].Oxford:Clarendon press,1956.

[2]RUSSELL B.On denoting[J].Mind,1905,14(56):479-493.

(責任編輯張佑法)

Self-Reference and Negation in Liar’s Paradox

ZHAO Zhen

(Department of Philosophy, Anhui University, Hefei 230601, China)

Abstract:The two important conceptions and related problems of self-reference and negation were discussed through analyzing some liar’s paradoxes. The paper described the way to realize self-reference, the relationship between self-reference and liar’s paradoxes. The paper also discussed the meaning of negation in liar’s paradoxes, the way to construct a liar paradox by negation and the relationship of deny and Liar’s Paradox.

Key words:liar’s paradox; self-reference; negation

文章編號：1674-8425(2016)01-0027-04

中圖分類號：B81

文獻標識碼：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(s).2016.01.005

作者簡介：趙震(1984—)，男，河北滄州人，講師，博士，研究方向：悖論與真理論。

收稿日期：2015-12-14

引用格式：趙震.說謊者悖論中的自指與否定[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2016(1):27-30.

Citation format：ZHAO Zhen.Self-Reference and Negation in Liar’s Paradox[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2016(1):27-30.