邏輯悖論與固定點定理

劉靖賢，王永峰

(1.遼寧大學 哲學與公共管理學院，沈陽　110036； 2.沈陽工程學院 思政部，沈陽　110136)

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邏輯悖論與固定點定理

劉靖賢1，王永峰2

(1.遼寧大學 哲學與公共管理學院，沈陽110036； 2.沈陽工程學院 思政部，沈陽110136)

摘要：羅素悖論的解決方案被劃分為兩大范疇：有類型限制的方案和無類型限制的方案。無類型限制方案的背景邏輯是多值邏輯或者不包含否定詞的經(jīng)典邏輯，它的一致性證明在實質(zhì)上是利用固定點定理構(gòu)造模型。在介紹克里悖論、莫紹揆悖論和吉爾莫爾悖論，回顧這些悖論的解決方案與布勞威爾固定點定理和塔斯基固定點定理之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)的基礎上，探討無類型限制方案在二階羅素悖論中的應用，并且證明一系列相關(guān)結(jié)果。

關(guān)鍵詞：羅素悖論；克里悖論；布勞威爾固定點定理；塔斯基固定點定理；巴拿赫固定點定理

一、導言：羅素悖論

羅素1902年在弗雷格《算術(shù)基本規(guī)律》一書中發(fā)現(xiàn)了所謂的羅素悖論，這個悖論對20世紀數(shù)學基礎研究產(chǎn)生了深遠影響，它表明樸素集合論的兩條公理導致矛盾。這兩條公理分別是概括公理(Comprehension Axiom)和外延公理(Axiom of Extensionality)。一般來說，這兩條公理被表述在一階邏輯中。一階概括公理是說，任何公式都定義一個集合，即

(C1) ?y?x(x∈y?φ(x))

一階外延公理是說，兩個集合相等當且僅當它們由相同的元素構(gòu)成，即

(E1)x=y??z(z∈x?z∈y)

根據(jù)(C1)，我們定義不屬于自身的集合r，即x∈r?x?x。然后，根據(jù)(E1)，不屬于自身這個集合屬于自身當且僅當它不屬于自身，即r∈r?r?r，矛盾。

羅素悖論之后，許多解決悖論的方案被提出，這些方案從總體上被劃分為兩大范疇：有類型限制理論(type theories)和無類型限制理論(type-free theories)。對于有類型限制理論來說，不允許自指集合存在，即不允許{x∶x∈x}存在。也就是說，不允許x∈x出現(xiàn)在概括公理右端定義集合的公式中，由此可以避免悖論，這方面以羅素的類型論為代表。而對于無類型限制理論來說，雖然允許{x∶x∈x}存在，但是不允許{x∶x?x}存在。也就是說，不允許否定出現(xiàn)在概括公理右端定義集合的公式中，從而也可以避免悖論。

二、克里悖論

然而，單純地消除否定似乎并不能避免悖論，克里悖論(Curry’sparadox)[1]表明，即使消除否定，也有可能推出悖論。定義特殊的集合c={x∶x∈x→⊥}，其中⊥表示永假。根據(jù)(C1)和(E1)得到

(3.1)c∈c?(c∈c→⊥)

而(3.1)的一個方向是

(3.2)c∈c→(c∈c→⊥)

由(3.2)經(jīng)過合并規(guī)則得到

(3.3)c∈c→⊥

而(3.1)的另一個方向是

(3.4)(c∈c→⊥)→c∈c

由(3.3)和(3.4)經(jīng)過分離規(guī)則得到

(3.5)c∈c

再由(3.3)和(3.5)經(jīng)過分離規(guī)則得到⊥。由此可見，在不使用否定的前提下，仍然從(C1)和(E1)推出不足道性。克里悖論給我們的啟示是：雖然消除了否定，但是蘊涵和永假可以等價地定義否定，由此也可以導致悖論。因此，為了避免悖論，不能單純地消除否定，而是在特定的邏輯背景中對否定進行某種限制。

三、無窮值邏輯

在經(jīng)典邏輯中，否定的推理強度來源于二值原則，而無類型限制理論在多值邏輯框架下對否定進行限制。典型的多值邏輯是盧卡西維茨無窮值邏輯(簡記為L∞)，它的真值集是實數(shù)區(qū)間[0,1]，它的特指值是1。令D是論域，v是賦值，那么公式的語義規(guī)則是：

v(⊥) = 0

v(﹁φ)=1-v(φ)

v(φ→ψ)=min(1,1-v(φ)+v(ψ))

v(?xφ(x))=inf{φ(a):a∈D}

v(?xφ(x))=sup{φ(a):a∈D}

其中min和max分別是相對于實數(shù)序列的最小和最大，inf和sup分別是相對于實數(shù)序列的下確界和上確界。L∞的蘊涵不是實質(zhì)蘊涵，不能用否定和析取定義；事實上，對于L∞的蘊涵來說，如下條件成立：

v(φ→ψ)=1iffv(φ)≤v(ψ)

無論如何，我們在盧卡西維茨無窮值邏輯中得到了弱于經(jīng)典邏輯的否定和蘊涵，它們似乎為我們提供一個消解悖論的途徑。為了證明在無窮值邏輯中概括公理和外延公理不導致悖論，我們必須找到通過一條可靠的性質(zhì)來保證一致性。

四、布勞威爾固定點定理

在悖論的推導過程中，我們需要定義一個特殊集合，即a= {x:﹁x∈x}，由此推出一個矛盾等價式，即

(4.1)a∈a?﹁a∈a

如果我們把否定(﹁)看作一個一元真值函數(shù)(f)，把等值(?)看作真值之間的相等(=)，那么(4.1)在語義上相當于

(4.2)v(a∈a)= f(v(a∈a))

也就是說，a∈a的語義值相等于﹁a∈a的語義值。如果(4.1)這樣的矛盾等價式不造成麻煩，那么必須允許(4.2)這樣的自返等式成立，即函數(shù)f有固定點。所謂固定點是指x這個點滿足自返等式 f (x)=x。因此，解決悖論的關(guān)鍵在于，所有出現(xiàn)在概括公理右端公式中的真值函數(shù)都應該有固定點。也就是說，在定義集合的公式中，真值連接詞必須有固定點。由此可見，避免羅素悖論的問題被轉(zhuǎn)化為尋求固定點的問題。

數(shù)學中的固定點定理恰好告訴我們，什么樣的函數(shù)有固定點。最著名的固定點定理是布勞威爾固定點定理：在n維歐式空間中，閉球體上的連續(xù)映射至少有一個不動點。希爾伯特空間是n維歐氏空間的推廣，它相當于無窮維的歐氏空間。對于希爾伯特空間來說，有如下固定點定理：在希爾伯特空間中，閉、有界、凸集上的非擴張映射至少有一個不動點。其中，閉、有界、凸集是n維歐氏空間中閉球體的推廣，非擴張映射是連續(xù)映射的推廣。

布勞威爾固定點定理告訴我們，連續(xù)函數(shù)都有固定點；我們根據(jù)語義規(guī)則可以驗證盧卡西維茨無窮值邏輯的真值函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以它們都有固定點。因此，根據(jù)布勞威爾固定點定理，連續(xù)性可以保證一致性。在此基礎上，司寇侖(Skolem)于1957年證明[2]，在盧卡西維茨無窮值邏輯中，如果量詞不出現(xiàn)在定義集合存在的公式中，那么概括公理是一致的。后來，張(Chang)[3]和范斯達特(Fenstad)[4]又分別從不同角度驗證了司寇侖的證明結(jié)果。

五、有窮值邏輯

20世紀70年代以來，關(guān)于無類型限制理論的研究又進一步深入，盧卡西維茨無窮值邏輯被限制為有窮值邏輯。典型的有窮值邏輯是三值邏輯(簡記為L3)，它的真值集是{1,n,0}，其中n表示既不真也不假，它的特指值是1。否定的真值表如下：

?～?10nn01

合取的真值表如下：

?ψψ1n0?11n0nnn00000

析取的真值表如下：

?ψψ1n0?1111n1nn01n0

蘊涵的真值表如下：

?→ψψ1n0?11n0n1nn0111

與無窮值邏輯的情形相同，全稱量詞和存在量詞分別被處理為無窮長的合取和析取。顯然，L3的否定和蘊涵也弱于經(jīng)典邏輯的否定和蘊涵。

如果對三值邏輯進一步限制，那么我們回歸到經(jīng)典二值邏輯。在經(jīng)典邏輯中，為了消解悖論，不僅要消除否定而且要消除蘊涵，即否定和蘊涵不能出現(xiàn)在定義集合的公式中。其原因在于，經(jīng)典邏輯的蘊涵是實質(zhì)蘊涵，它是由否定和析取定義得到的，所以在消除否定的同時也消除了蘊涵。

六、莫紹揆悖論

但是在有窮值邏輯中，我們又遇到莫紹揆悖論(Moh Shaw-Kwei’s paradox)[5]，這是克里悖論的擴展。首先，遞歸地定義蘊涵的度數(shù)：

其中→n表示n度蘊涵。如下條件被稱為蘊涵的n度吸收規(guī)則：

φ→n+1ψ ? φ→nψ

莫紹揆悖論與克里悖論類似，但在不足道性的推導過程中合并規(guī)則被替換為吸收規(guī)則。定義特殊的集合mn={x∶x∈x→n⊥}。根據(jù)(C1)和(E1)得到

(6.1) mn∈mn?(mn∈mn→n⊥)

而(6.1)的一個方向是

(6.2) mn∈mn→(mn∈mn→n⊥)

由(6.2)經(jīng)過n度吸收規(guī)則得到

(6.3)mn∈mn→n⊥

而(6.1)的另一個方向是

(6.4)(mn∈mn→n⊥)→mn∈mn

由(6.3)和(6.4)經(jīng)過分離規(guī)則得到

(6.5)mn∈ mn

再由(6.3)和(6.5)經(jīng)過分離規(guī)則得到⊥。莫紹揆證明，在盧卡西維茨無窮值邏輯中，n度吸收規(guī)則不成立，但是盧卡西維茨n值邏輯的蘊涵滿足n-1度吸收規(guī)則。特別地，三值邏輯的蘊涵滿足2度吸收規(guī)則。因此，雖然L3的蘊涵不是實質(zhì)蘊涵，但是為了避免悖論，也必須消除蘊涵，即蘊涵不能出現(xiàn)在定義集合的公式中。

七、吉爾莫爾悖論

即使蘊涵不出現(xiàn)在定義集合的公式中，也不能直接消解悖論。這里涉及到概括公理和抽象公理的區(qū)分。概括公理是前面所說的(C1)，而抽象公理是

(A1)?x(x∈{x∶φ(x)}?φ(x))

從表面上看，概括公理和抽象公理類似，它們都定義與公式等價的集合的存在，但是它們的區(qū)別在于，對于抽象公理而言，需要在背景語言中增加抽象算子，即{∶}，但是對于概括公理來說，不需要在背景語言中增加抽象算子。雖然這兩個公理看起來是等價的，但是由于抽象公理在背景語言中增加了抽象算子，所以它的表達力強于概括公理。正是抽象算子的引入和抽象公理的表述，才使得由司寇侖所開創(chuàng)的在無窮值邏輯中消解悖論的研究最終得到證實。懷特(White)于1979年證明[6]，在盧卡西維茨無窮值邏輯中，抽象公理是一致的。

但是，抽象算子的強表達力也帶來消極影響，這種強表達力在等詞的幫助下導致新悖論的出現(xiàn)。這個悖論最早由吉爾莫爾(Gilmore)發(fā)現(xiàn)[7]，我們把這個悖論稱為吉爾莫爾悖論。定義特殊集合g={x∶{y∶x∈x}={y∶⊥}}。由抽象公理得到

g∈g?{y∶g∈g}=(y∶⊥}

再由外延公理得到

{y∶g∈g}={y∶⊥}??y(g∈g?⊥)

根據(jù)量詞的規(guī)則又得到

?y(g∈g?⊥)?(g∈g?⊥)

上式的右端等價于g?g，所以又得到一個矛盾等價式g∈g?g?g。吉爾莫爾悖論表明，即使多值邏輯的否定和蘊涵不出現(xiàn)在定義集合的公式中，抽象算子和等詞仍然可以導致悖論。因此，在三值邏輯中，為了避免悖論，也必須找到通過一條可靠的性質(zhì)來保證一致性。相比而言，在無窮值邏輯中，作為真值集的實數(shù)區(qū)間是連續(xù)的，所以根據(jù)布勞威爾固定點定理，我們通過真值函數(shù)的連續(xù)性來保證一致性。然而，在三值邏輯中，真值集不再是連續(xù)的，我們無法通過真值函數(shù)的連續(xù)性來保證一致性，我們不得不轉(zhuǎn)向另一個固定點定理。

八、塔斯基固定點定理

我們的背景邏輯從無窮值邏輯轉(zhuǎn)向有窮值邏輯，真值集從連續(xù)轉(zhuǎn)向離散，為了消解悖論，我們需要從布勞威爾固定點定理轉(zhuǎn)向塔斯基固定點定理。前面我們用真值函數(shù)的連續(xù)性來保證一致性，現(xiàn)在我們用真值函數(shù)的單調(diào)性來保證一致性。

塔斯基固定點定理是說，如果D是有向完備偏序集，并且f是單調(diào)函數(shù)，那么f有一個固定點，也就是說，至少存在一個m∈D使得f(m)=m。讓我們來具體解釋上述定理中的基本概念。如果一個關(guān)系R滿足自返性、反對稱性和傳遞性，那么這個關(guān)系被稱為偏序關(guān)系。集合A與A上的偏序關(guān)系R構(gòu)成的序?qū)?A,R)稱為偏序集。如果任給偏序集A中元素a和b，存在A中元素c，使得Rac并且Rbc，那么A被稱為有向的。如果偏序集A的任何有向子集都有上確界，那么稱A是有向完備的。如果偏序集上的函數(shù)f滿足如下條件：

?a∈A?b∈A(Rab→Rf(a)f(b))

那么f是單調(diào)函數(shù)。

顯然，如果把三值邏輯的真值集看作T={1,2,3}，其偏序關(guān)系是≥T(其中3≥T2≥T1)，即

那么除否定和蘊涵外，所有真值函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)。如果把三值邏輯的真值集看作K={0,0.5,1}，其偏序關(guān)系是≥K(其中1≥K0.5并且0≥K0.5)，即

那么除蘊涵外，所有真值函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)。特別地，如果回歸到經(jīng)典的二值邏輯，那么除否定和蘊涵外，所有真值函數(shù)也都是單調(diào)函數(shù)。因此，根據(jù)塔斯基固定點定理，單調(diào)性也可以保證一致性。在此基礎上，吉爾莫爾證明[7]，在三值邏輯中，如果定義集合的公式不包含蘊涵，那么抽象公理是一致的。克里普克還把固定點定理應用于說謊者悖論的研究[8]，他證明，在三值邏輯中，T模式是一致的。后來，費弗曼(Feferman)系統(tǒng)地總結(jié)了吉爾莫爾和克里普克的證明[9]，這些證明在實質(zhì)上都訴諸于歸納方法。對于經(jīng)典二值邏輯來說，情形也類似，錫寧(Hinnion)證明[10]，如果定義集合的公式不包含否定和蘊涵，那么抽象公理是一致的；福蒂(Forti)和錫寧又證明[11]，如果定義集合的公式不包含否定和蘊涵，那么概括公理和外延公理是一致的。

事實上，塔斯基固定點定理中的有向完備偏序集恰好對應于斯科特拓撲空間。斯科特(Scott)在關(guān)于無類型限制λ演算的研究中使用逆極限方法證明了與塔斯基固定點定理類似的結(jié)果，雖然斯科特本人的目的是為程序語言提供語義域，這在理論計算機中被稱為域理論(Domain Theory)[12]，但是斯科特的證明結(jié)論把邏輯悖論的研究引入一個新的方向，即集合論拓撲模型(Topological Model for Set Theory)和超宇宙(Hyperuniverse)[13]。

九、二階羅素悖論

以上我們回顧和梳理了利用固定點定理消解一階羅素悖論的歷史，下面我們把固定點定理的應用推廣到二階邏輯中。事實上，弗雷格《算術(shù)基本規(guī)律》中的邏輯系統(tǒng)是高階的，其中概括公理和外延公理被表述在二階邏輯中。二階概括公理是說，任何公式都斷定一個的概念的存在，即

(C2) ?X?x(Xx?φ(x))

二階外延公理是說，兩個概念的外延相等當且僅當這兩個概念等價，即

(E2)εX=εY??x(Xx?Yx)

其中ε是外延算子，概念的外延不再是概念而是對象。我們用外延算子定義屬于關(guān)系，即

然后，與一階的情形類似，用屬于關(guān)系定義不屬于自身這個概念的外延，由此也可以從(C2)和(E2)推出矛盾。

從語義上看，二階羅素悖論也體現(xiàn)了康托的對角線定理。一方面，二階概括公理要求，如果一階變元的取值范圍是D，那么二階變元的取值范圍是D的冪集，即P(D)；而二階外延公理要求，存在二階變元和一階變元之間的一一對應。但是，根據(jù)康托對角線定理，這兩個要求不能同時滿足。也就是說，不存在集合D與其冪集P(D)之間的一一對應，即并非D≈P(D)。為了消解悖論，我們必須繞開康托定理的障礙。事實上，如果把P(D)限制為它的真子集P′(D)，即P′(D)?P(D)，那么有可能找到D和P′(D)之間的一一對應。由此看來，固定點定理可以更為自然地應用于二階羅素悖論的消解。如果把等數(shù)關(guān)系(≈)看作相等關(guān)系(=)，把P′數(shù)(f)，即P′把一個集合映射為這個集合的冪集的真子集，那么與求解等式f(x)=x類似，悖論的消解實質(zhì)上也是尋找函數(shù)P′的固定點，即D≈P′(D)。

十、余有窮拓撲空間

為了消解羅素悖論，我們把二階概括公理限制為二階正概括公理，即

(PC2) ?X?x(Xx?φ(x)) ，其中否定和蘊涵不出現(xiàn)在φ(x)中。

為了證明二階概括公理和二階外延公理的一致性，我們先給出一個簡單的模型。令N是自然數(shù)集，令Pcf(N) = {U?N∶U是N的有限子集}∪{?}；也就是說，Pcf(N)是自然數(shù)上余有窮拓撲空間的所有閉集。令一階變元(對象變元)的取值范圍是N，二階變元(概念變元)的取值范圍是Pcf(N)。

顯然，存在自然數(shù)與其余有窮拓撲空間閉集之間的一一對應，即N≈Pcf(N)，所以上述模型滿足二階外延公理，即存在一階變元和二階變元之間的一一對應。因為我們對概念變元的取值范圍進行了限制，所以我們也對定義概念的公式進行限制，即否定和蘊涵不出現(xiàn)在定義概念的公式中，這樣的二階概括公理被稱為二階正概括公理。為了證明上述模型滿足二階正概括公理，我們對定義概念的公式進行歸納。假定公式φ(x)定義的概念是{x:φ(x)}。

(10.3) 帶一階全稱量詞的公式?yφ(x,y)被處理為無窮長的合取。如果任給a∈N，φ(x,a)定義的概念都在Pcf(N)中，那么根據(jù)拓撲空間的性質(zhì)(任意多個閉集的交集仍是閉集)，?yφ(x,y)定義的概念{x∶?yφ(x,y)}也在Pcf(N)中。

(10.4) 對于帶一階存在量詞的公式?yφ(x,y)，它定義的概念被看作有序?qū)Φ募蟵(x,y)∶φ(x,y)} 在投射p∶N×N→N下的像。余有窮拓撲空間(co-finite topology)是緊致空間，而在緊致空間中投射p是閉映射，即把閉集映射為閉集。因此，如果有序?qū)Φ募蟵(x,y)∶φ(x,y)}在乘積空間中，即在Pcf(N)×Pcf(N)中，那么公式?yφ(x,y)定義的概念{x∶?yφ(x,y)}也在Pcf(N)中。

十一、二階吉爾莫爾悖論

上一節(jié)我們給出了一個簡單的模型，由此可窺探到二階正概括公理一致性證明的思路；然而，為了完成嚴格的證明，還有很多細節(jié)需要補充。特別地，我們還沒有考慮原子公式的情況，例如公式x=y定義的集合什么。與一階吉爾莫爾悖論類似，如果等詞出現(xiàn)在二階正概括公理右端的公式中，即出現(xiàn)在定義概念的公式中，那么仍然有可能導致悖論。另外，如果把二階概括公理限制為二階正概括公理，那么需要區(qū)分兩個不同版本的外延公理，即公理版本外延公理和模式版本外延公理。公理版本與(E2)相同，而模式版本是

(E2′) {x∶φ(x)}={x∶ψ(x)}??x(φ(x)?ψ(x))

對于公理版本來說，外延算子ε把一個概念F映為外延εF，而對于模式版本來說，外延算子{∶}把一個公式φ(x)映為外延{x∶φ(x)}。如果不限制二階概括公理，那么兩個版本的外延公理是等價的；原因在于，任何公式都定義概念，而任何概念都有外延，這相當于說，任何公式都有外延。但是，如果對二階概括公理進行限制，那么模式版本強于公理版本；原因在于，并非任何公式都定義概念，所以雖然任何概念都有外延，但并非任何公式都有外延。事實上，二階正概括公理與模式版本外延公理導致悖論，我們把這個悖論稱為二階吉爾莫爾悖論。根據(jù)模式版本外延公理，屬于關(guān)系被定義為：

根據(jù)二階正概括公理，對于任何正公式φ(y)，如下結(jié)論成立：

(∈)x∈{y∶φ(y)}?φ(x)

定義特殊的外延u={x∶{y∶x∈x}={y∶⊥}}。由(∈)得到

u∈u?{y∶u∈u}={y∶⊥}

再由模式版本外延公理得到

{y∶u∈u}={y∶⊥}??y(u∈u?⊥)

根據(jù)量詞的規(guī)則得到

?y(u∈u?⊥)?(u∈u?⊥)

上式的右端等價于u?u，所以得到一個矛盾等價式u∈u?u?u。

十二、巴拿赫固定點定理

二階吉爾莫爾悖論表明，二階正概括公理與模式版本外延公理是不一致的；然而，這并沒有排除二階正概括公理與公理版本外延公理的一致性。事實上，它們是一致的，這個一致性證明訴諸于另一個固定點定理，即范疇論版本的巴拿赫固定點定理。

巴拿赫固定點定理是說，如果M是完備度量空間，并且f∶M→M是壓縮函數(shù)，那么f有唯一的固定點，也就是說，存在唯一的m∈M使得f(m)=m。范疇論版本的巴拿赫固定點定理是說[14]，如果C是完備度量空間的類，Pcl是定義在C上的函子，即任給R∈C，Pcl(R)={A?R∶A是閉集}，那么Pcl有唯一的固定點。也就是說，存在唯一的R∈C使得R?Pcl(R)，其中?是等距同構(gòu)。事實上，我們不需要知道R的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，從緊致度量空間R到Pcl(R)的同胚足夠讓我們完成一致性證明。令一階變元的取值范圍是R，二階變元的取值范圍是Pcl(R)。顯然，存在概念和外延(對象)之間的一一對應，所以上述模型滿足公理版本外延公理。

為了證明上述模型滿足二階正概括公理，我們把二階邏輯看作一階多類理論。也就是說，既然存在R和Pcl(R)之間的一一對應，令二階變元的取值范圍是R′，R與R′基數(shù)相同但是種類不同，令從R′到Pcl(R)的同胚映射是h。為了證明正概括公理定義的概念都在Pcl(R)中，即這些概念都是空集，我們?nèi)匀皇w納于正公式。我們僅考慮原子公式和帶二階量詞的公式。對于原子公式來說，有6種情況：⊥、x=x、x=y、Xx、XεY或者XεX。

(12.1) 公式⊥定義的概念是空集，空集是閉集。

(12.2) 公式x=x定義的概念是大全集，大全集是閉集。

(12.3) 公式x=y定義的概念是{(x,y)∈R×R∶x=y}。根據(jù)拓撲空間的性質(zhì)，在豪斯道夫空間中，{(x,y)∈R×R∶x=y}是閉集。因為度量空間是豪斯道夫空間，所以x=y定義的概念是閉集。

(12.4) 公式Xx定義的概念是{(x,y)∈R×R′∶x∈h(y)}。李博特(Libert)證明[15] 36，如果h是連續(xù)函數(shù)，那么{(x,y)∈D×D∶x∈h(y)}是閉集。因為同胚是連續(xù)函數(shù)，所以Xx定義的集合是閉集。

(12.5) 公式Y(jié)εX定義的概念也是{(x,y)∈R×R′∶x∈h(y)}，情況與(1.4)類似。

(12.6) 公式XεX定義的概念是{(x,y)∈R×R′∶x∈h(y)}∩{(x,y)∈D×D∶x=y},這是兩個閉集的交集，根據(jù)拓撲空間的性質(zhì)，這兩個集合的交集也是閉集。

(12.7) 帶二階全稱量詞的公式?Yφ(x,Y)被處理為無窮長的合取。如果任給a∈R′，φ(x,a)定義的概念都是閉集，那么根據(jù)拓撲空間的性質(zhì)(任意多個閉集的交集仍是閉集)，?Yφ(x,Y)定義的概念{x∶?Yφ(x,Y)}也是閉集。

(12.8) 對于帶二階存在量詞的公式?Yφ(x,Y)，它定義的概念被看作有序?qū)Φ募蟵(x,y)∈R×R′∶φ(x,y)}在投射q∶R×R′→R下的像。在緊致度量空間中，投射q也是閉映射。因此，如果有序?qū)Φ募蟵(x,y)∈R×R′∶φ(x,y)}是乘積空間的閉集，那么?Yφ(x,y)定義的概念{x∶?Yφ(x,Y)}也是閉集。

十三、結(jié)束語

綜上所述，一階羅素悖論是由一階概括公理(C1)和一階外延公理(E1)導致的，羅素悖論的根源被歸結(jié)為自指和否定。相應地，悖論的消解方案被劃分為有類型限制的方案和無類型限制的方案，前者相當于限制了自指，而后者相當于限制了否定。然而，克里悖論表明，因為蘊涵和永假可以等價地定義否定，所以即使消除否定也不能避免悖論。為了限制否定，我們首先從經(jīng)典的二值邏輯轉(zhuǎn)向多值邏輯。在盧卡西維茨無窮值邏輯中，所有的真值函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)布勞威爾固定點定理，連續(xù)性保證了一致性，由此我們找到一條消解悖論的途徑。然后，我們又從無窮值邏輯轉(zhuǎn)向有窮值邏輯。但是，在有窮值邏輯中我們遇到莫紹揆悖論和吉爾莫爾悖論，前者是由于蘊涵和永假出現(xiàn)在概括公理的右端而導致的，后者是由于等詞和抽象公理(A1)導致的。在三值邏輯中，除蘊涵外所有的真值函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，而且在二值邏輯中，除否定和蘊涵外所有的真值函數(shù)也都是單調(diào)函數(shù)。根據(jù)塔斯基固定點定理，單調(diào)性保證了一致性，由此我們也找到一條消解悖論的途徑。與一階羅素悖論相應，我們還探求了無類型限制方案對二階羅素悖論的消解。二階羅素悖論是由二階概括公理(C2)和二階外延公理(E2)導致的。我們區(qū)分了公理版本外延公理和模式版本外延公理(E2′)。類似于吉爾莫爾悖論，我們證明二階正概括公理(PC2)與模式版本外延公理是不一致的。但是，利用范疇論版本的巴拿赫固定點定理，我們證明二階正概括公理與公理版本外延公理是一致的。

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(責任編輯張佑法)

Logical Paradox and Fixed Point Theorem

LIU Jing-xian1, WANG Yong-feng2

(1.Philosophy and Public Management School, Liaoning University, Shenyang 110036, China;

2.Department of Ideological and Political Education, Shenyang Institute of Engineering, Shenyang 110136, China)

Abstract:Solutions to Russell’s paradox can be classified into two categories: type theories and type-free theories. The background logic of type-free theories is many-valued logic or classical logic without negation, and the consistency proof of type-free theories essentially relies on fixed point theorems to construct models. This paper introduced Curry’s paradox, Moh Shaw-Kwei’s paradox and Gilmore’s paradox, and it also reviewed their connection with Brower fixed point theorem and Tarski fixed point theorem. This paper also explored the application of fixed point theorem in second-order version of Russell’s paradox and verified related results.

Key words:Russell’s paradox；Curry’s paradox; Brower fixed point theorem；Tarski fixed point theorem；Banach fixed point theorem

文章編號：1674-8425(2016)01-0012-08

中圖分類號：B81

文獻標識碼：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(s).2016.01.003

作者簡介：劉靖賢(1982—)，男，河北唐山人，副教授，博士，研究方向：邏輯哲學；王永峰(1979—)，男，新疆哈密人，講師，碩士，研究方向：科學技術(shù)哲學。

基金項目：國家社會科學基金青年項目“弗雷格哲學著作編譯研究”(15CZX035)

收稿日期：2015-12-14

引用格式：劉靖賢，王永峰.邏輯悖論與固定點定理[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2016(1):12-19.

Citation format：LIU Jing-xian, WANG Yong-feng.Logical Paradox and Fixed Point Theorem[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2016(1):12-19.